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积分第一中值定理及其推广证明.doc

1、2.1积分第一中值定理证明 积分第一中值定理: 如果函数 ()fx在闭区间 ,ab上连续, ()gx在 ,ab上不变号,并且 ()gx在 闭区间 ,ab上是可积的,则在 上至少存在一点 ,使得()(),()bbaafgxdfd 成立。 证明如下: 由于 ()gx在闭区间 ,ab上不变号,我们不妨假设 ()0gx,并且记 ()fx在闭区 间 ,ab上的最大值和最小值为 M和 m,即 fM,我们将不等式两边同 乘以 ()可以推出,此时对于任意的 ,xab都会有()()()gfgx 成立。对上式在闭区间 ,ab上进行积分,可以得到()()()bbaamxdfdMd 。 此时在 ,M之间必存在数值 ,

2、使得 ,即有()()bbaafgxx 成立。 由于 ()fx在区间 ,上是连续的,则在 ,上必定存在一点 ,使()f 成立。此时即可得到 ()()bbaafxgdfgxd , 命题得证。 2.2积分第一中值定理的推广 定理:(推广的第一积分中值定理)若函数 ()fx是闭区间 ,ab上为可积函数,()gx 在 ,ab上可积且不变号,那么在开区间 ,ab上至少存在一点 ,使得()()(,)bafxgdfgd 成立。 推广的第一积分中值定理很重要,在这里给出两种证明方法。 证法1:由于函数 ()fx在闭区间 ,ab上是可积的, ()gx在 ,ab上可积且不 变号,令 ()xaFtgd, ()()xG

3、gtd,很显然 FG在 上连 续。并且 0,()baft, 0,()()batd,()f , () 。由柯西中值定理即可得到 (),(,)FGb , 化简,即 ()()abftgdfg , 根据上式我们很容易得出 ()(),(,)bbaaftgdfgtdab , 命题得证。 证法2:由于函数 ()x在 ,上可积且不变号,我们不妨假设 ()0gx。而 函数 ()fx在闭区间 ,ab上可积,我们令 inf()|,mxab,sup|M 。假设 ()F是 f在闭区间 上的一个原函数,即(),Ff 。我们就可以得到下面等式() ()bbbaaamgxdfgxdMgxd (2.2.1) 此时由于 ()0x

4、,则会有 ()0,由于存在两种可能性,那么下面我们 就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论: (1).如果 ()bagxd,由等式(2.2.1)可得出 ()0bafxgd,那么对 于 (, 都有 ()0()b ba afxgdfgxd 恒成立。 (2).如果 ()0bagxd,将(2.2.1)除以 ()bax可得 ()bafxgdmM ,(2.2.2) 我们记 ()bafxgd ,(2.2.3) 此时我们又分两种情形继续进行讨论: ()如果(2.2.2)式中的等号不成立,即有 ()bafxgdmM 成立 ,则此时一定就存在 mM,可以使得 12(),()fxfxM , 我们不妨假设 12x

5、,这其中 2,ab。因为 ()Ffx, ,ab,则会 有 1122()()()Fxffx 。 此时至少存在一点 2,,使得 ,即有 12()(),(,),bbaafgdfgdxab 成立,从而结论成立。 ()如果(2.2.2)式中仅有一个等号成立时,我们不妨假设 M,因 为 ()0bagxd,此时一定存在区间 1,(,)ab(其中 1ab),使得1, ,恒有 ()gx成立,我们可以将(2.2.3)式进行简化()()bbaagxdfxgd , 因为 M,则有 ()0baf (2.2.4) 而且我们已知 ()0fxg,则10()()0by afxdMfxd 。 于是 1()0xyMfgxd(2.2.5) 在式子(2.2.5)下必定存在 1,)ab,使得 ()fM。 如果不存在一个 1,(,使得 f,则在闭区间 1,xy 上必定有 ()0fx及 )g成立,从而使得 ()0fxg。 如果 1baMdx,由达布定理在 1,ab上有 ()fx: ,这与 ()fx矛盾。 如果 1()0bafgd ,这与(2.2.5)式矛盾。所以存在 ,ab,使(),(,)bafxfxab ,定理证毕。

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