1、2.1积分第一中值定理证明 积分第一中值定理: 如果函数 ()fx在闭区间 ,ab上连续， ()gx在 ,ab上不变号，并且 ()gx在 闭区间 ,ab上是可积的，则在 上至少存在一点 ，使得()(),()bbaafgxdfd 成立。 证明如下： 由于 ()gx在闭区间 ,ab上不变号，我们不妨假设 ()0gx，并且记 ()fx在闭区 间 ,ab上的最大值和最小值为 M和 m，即 fM，我们将不等式两边同 乘以 ()可以推出，此时对于任意的 ,xab都会有()()()gfgx 成立。对上式在闭区间 ,ab上进行积分，可以得到()()()bbaamxdfdMd 。 此时在 ,M之间必存在数值 ，
2、使得 ，即有()()bbaafgxx 成立。 由于 ()fx在区间 ,上是连续的，则在 ,上必定存在一点 ，使()f 成立。此时即可得到 ()()bbaafxgdfgxd ， 命题得证。 2.2积分第一中值定理的推广 定理：（推广的第一积分中值定理）若函数 ()fx是闭区间 ,ab上为可积函数，()gx 在 ,ab上可积且不变号，那么在开区间 ,ab上至少存在一点 ，使得()()(,)bafxgdfgd 成立。 推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。 证法1：由于函数 ()fx在闭区间 ,ab上是可积的， ()gx在 ,ab上可积且不 变号，令 ()xaFtgd， ()()xG
3、gtd，很显然 FG在 上连 续。并且 0,()baft， 0,()()batd，()f ， () 。由柯西中值定理即可得到 (),(,)FGb ， 化简，即 ()()abftgdfg ， 根据上式我们很容易得出 ()(),(,)bbaaftgdfgtdab ， 命题得证。 证法2：由于函数 ()x在 ,上可积且不变号，我们不妨假设 ()0gx。而 函数 ()fx在闭区间 ,ab上可积，我们令 inf()|,mxab，sup|M 。假设 ()F是 f在闭区间 上的一个原函数，即(),Ff 。我们就可以得到下面等式() ()bbbaaamgxdfgxdMgxd （2.2.1） 此时由于 ()0x
4、，则会有 ()0，由于存在两种可能性，那么下面我们 就要分两种情况以下我们分两种情形来进行讨论： (1).如果 ()bagxd，由等式（2.2.1）可得出 ()0bafxgd，那么对 于 (, 都有 ()0()b ba afxgdfgxd 恒成立。 (2).如果 ()0bagxd，将（2.2.1）除以 ()bax可得 ()bafxgdmM ，（2.2.2） 我们记 ()bafxgd ，（2.2.3） 此时我们又分两种情形继续进行讨论： （）如果（2.2.2）式中的等号不成立，即有 ()bafxgdmM 成立 ，则此时一定就存在 mM，可以使得 12(),()fxfxM ， 我们不妨假设 12x
5、，这其中 2,ab。因为 ()Ffx， ,ab，则会 有 1122()()()Fxffx 。 此时至少存在一点 2,，使得 ，即有 12()(),(,),bbaafgdfgdxab 成立，从而结论成立。 （）如果（2.2.2）式中仅有一个等号成立时，我们不妨假设 M，因 为 ()0bagxd，此时一定存在区间 1,(,)ab（其中 1ab），使得1, ，恒有 ()gx成立，我们可以将（2.2.3）式进行简化()()bbaagxdfxgd ， 因为 M，则有 ()0baf （2.2.4） 而且我们已知 ()0fxg，则10()()0by afxdMfxd 。 于是 1()0xyMfgxd（2.2.5） 在式子（2.2.5）下必定存在 1,)ab，使得 ()fM。 如果不存在一个 1,(，使得 f，则在闭区间 1,xy 上必定有 ()0fx及 )g成立，从而使得 ()0fxg。 如果 1baMdx，由达布定理在 1,ab上有 ()fx: ，这与 ()fx矛盾。 如果 1()0bafgd ，这与（2.2.5）式矛盾。所以存在 ,ab，使(),(,)bafxfxab ，定理证毕。
