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1、第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 圆锥曲线的性质 一、基础知识 （一）椭圆： 1、定义和标准方程： （1）平面上到两个定点 的距离和为定值（定值大于 ）的点的轨迹称为椭圆，12,F12F 其中 称为椭圆的焦点， 称为椭圆的焦距2,F （2）标准方程： 焦点在 轴上的椭圆：设椭圆上一点 ， ，设距离和x,Pxy12,0,Fc ，则椭圆的标准方程为： ，其中12PFa 2ab220,abac 焦点在 轴上的椭圆：设椭圆上一点 ， ，设距离和y,xy120,c ，则椭圆的标准方程为： ，其中12a 2ab220,abac 焦点在哪个轴上，则标准方程中哪个字母的分母更大 2、椭圆的性质：以焦点在 轴的

2、椭圆为例：x 210xyab （1） ：与长轴的顶点有关： ， 称为长轴长a12,0,A12Aa ：与短轴的顶点有关： ， 称为短轴长bBB ：与焦点有关： ， 称为焦距c12,Fc12Fc （2）对称性：椭圆关于 轴， 轴对称，且关于原点中心对称xy （3）椭圆上点的坐标范围：设 ，则0,P00,axby （4）通径：焦点弦长的最小值 焦点弦：椭圆中过焦点的弦 过焦点且与长轴垂直的弦 2bPQa 说明：假设 过 ，且与长轴垂直，则 ，所以P1,0Fc00,PcyQy 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 ，可得 。则 242001cybaba20bya2bPQa （5）离心率： ，因为 ，所以c

3、e,1e （6）焦半径公式：称 到焦点的距离为椭圆的焦半径P 设椭圆上一点 ，则 （可记为“左加右减” ）0,xy1020,FaxPaex 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为 ，最小值为cac （7）焦点三角形面积： （其中 ）12tnPFSbA 12F 证明： 12 2siPFSA 且 2112cosP 122FF2 14cscaP221211cosobFFPF12 21212 121insincPFSA 2112sitacobbPF 因为 ，所以 ，由此得到的推论：120PFSyA 2120tnFPcy 的大小与 之间可相互求出 的最大值： 最大 最大 最大 为短轴顶点121

4、2PF12PFSA0yP （二）双曲线： 1、定义：平面上到两个定点 距离差的绝对值为一个常数（小于 ）的点的轨迹12, 12F 称为双曲线，其中 称为椭圆的焦点， 称为椭圆的焦距；如果只是到两个定点12,F12F 距离差为一个常数，则轨迹为双曲线的一支12,F 2、标准方程： 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 焦点在 轴：设双曲线上一点 ， ，设距离差的绝对值x,Pxy12,0,Fc ，则双曲线标准方程为： ，其中12PFa 2ab20,abc 焦点在 轴：设双曲线上一点 ， ，设距离差的绝对值y,Pxy120,Fc ，则双曲线标准方程为： ，其中12PFa 2ab20,abc 焦点在哪个轴

5、上，则对应字母作为被减数 2、双曲线的性质：以焦点在 轴的双曲线为例：x 210,xyab （1） ：与实轴的顶点有关： ， 称为实轴长a12,0,Aa12A ：与虚轴的顶点有关： ， 称为虚轴长bBbBb ：与焦点有关： ， 称为焦距c12,Fc12Fc （2）对称性：双曲线关于 轴， 轴对称，且关于原点中心对称xy （3）双曲线上点坐标的范围：设 ，则有 或 ， 0,P0xa00yR （4）离心率： ，因为 ，所以 cea1,e （5）渐近线：当 或 时，双曲线在向两方无限延伸时，会向某条直线无x 限靠近，但不相交，则称这条直线为曲线的渐近线。 双曲线渐近线的求法：无论双曲线的焦点位于哪条

6、轴上，只需让右侧的 1 变为 0，再解 出 关于 的直线即可。例如在 中，求渐近线即解：yx 210,xyab ，变形为 ，所以 即为双曲线的渐近线 20abbyax 渐近线的几何特点：直线 所围成的矩形，其对角线即为双,xyb 曲线的渐近线 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 渐近线的作用：一是可以辅助作出双曲线的图像；二是渐近线的斜率也能体现 的,abc 关系。 （6）通径： 内弦：双曲线同一支上的两点连成的线段 外弦：双曲线两支上各取一点连成的线段 通径：过双曲线焦点的内弦中长度的最小值，此时弦 轴， PQx 2ba （7）焦半径公式：设双曲线上一点 ，左右焦点分别为 ，则0,Pxy12,

7、F （可记为“左加右减” ）102,PFaexae 由焦半径公式可得：双曲线上距离焦点最近的点为双曲线的顶点，距离为 ca （8）焦点三角形面积：设双曲线上一点 ，则 （其中0,Pxy12otPFSbA ）12PF （三）抛物线： 1、定义：平面内到一定点的距离等于到一条定直线（定点不在定直线上）的距离的点的轨 迹为抛物线 2、抛物线的标准方程及焦点位置： （1）焦点在 轴正半轴： ，焦点坐标x20ypx,02p （2）焦点在 轴负半轴： ，焦点坐标2, （3）焦点在 轴正半轴： ，焦点坐标y20xpy0,2p （4）焦点在 轴负半轴： ，焦点坐标2, 小结：通过方程即可判断出焦点的位置与坐标

8、：那个字母是一次项，则焦点在哪条轴上； 其坐标为一次项系数除以 4，例如： ，则焦点在 轴上，且坐标为24xyy0,1 3、焦半径公式：设抛物线 的焦点为 ， ，则20ypF,Ax2pFx 4、焦点弦长：设过抛物线 焦点的直线与抛物线交于 ，x 1,yB 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 则 （ ，再由焦半径公式即可得到）12ABxpABF 二、典型例题： 例 1：已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则该双曲线的焦 214yb21yx 点到其渐近线的距离等于（ ） A. B. C. D. 5235 思路：先从常系数方程入手，抛物线 的焦点为 ，即双曲线中的 ，所1yx,03c 以 ，从而

9、双曲线方程为： ，其渐近线方程： ，由225bca 2452yx 对称性可得焦点到两渐近线的距离相等，不妨选择 ，右焦点 ，所:20lx3,0F 以 222 35Fld 答案：A 小炼有话说：（1）一道题含多个圆锥曲线方程，往往以某些特殊点（焦点，顶点）为桥梁 联接这些方程，在处理时通常以其中一个曲线方程（不含参）为入手点，确定特殊点的坐 标，进而解出其他圆锥曲线的要素 答案：A 例 2： 已知双曲线 的实轴长为 ，虚轴的一个端点与抛物线 210,xyab42 的焦点重合，直线 与抛物线相切且与双曲线的一条渐近线平0xpy1kx 行，则 （ ） A. B. C. D. 4321 思路：本题涉及

10、圆锥曲线和字母较多，所以首先要确定核心变量，从所求出发可尝试以 作为核心变量，抛物线 的焦点为 ，所以可得 ，因为p2xpy0,2p2pb ，所以双曲线方程为 ，可求得渐近线方程为24a2418xy 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 ，不妨设 与 平行，则有 。从相切可想到与抛42pyx1ykx42pyx42pk 物线联立消元后的方程 ： ，所以022 10xxpy 解得 28p4 答案：A 例 3：如图， 是椭圆 与双曲线12,F 21:0xyCmn 的公共焦点，将 的离心 2:0,xyCab12,C 率分别记为 ，点 是 在第一象限的公共点，若12,eA12, 的一条渐近线是线段 的中垂线

11、，则 （ 2 1F21e ） A. B. C. D. 52724 思路：椭圆与双曲线共焦点，所以有 ，所求表达式22cmnab ，本题与焦半径相关，所以考虑 2221maec 。结合 的中点与 的中点可得双曲线的渐近212,AFAFa1AF12 线与 平行，从而 ，所以有 ，联系上面条件224c 可得： ，所以222 2112124c ma 221mae 答案：A 例 4：已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点， 21:0xyCab22:14yCx 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于 两点，若 恰好将线段 三等分，2C1C,AB1CAB 则（ ） A. B.

12、C. D. 23a213a2b2b 思路：因为 有公共焦点，所以通过 可得 ，从而 ，12,C2C125,0,F5c 圆的直径为 ，所以 截椭圆的弦长为 。由双曲线得 ，进而与椭圆方AB3:AByx 程联立，再利用弦长公式即可得到关于 （或 ）的方程，解方程即可ab 解：通过 可得 ，2C125,0,F5c 不妨设 ，则 ，所以 :AByx 224byaxbx 24abx 利用弦长公式可得 21253da 又因为 解得： ，故选 C225abc245 ba21b 答案：C 例 5：（2014，山东，10）已知 ，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方0ab1C 21xyab2C 程是 ， 与 的离心率

13、之积为 ，则 的渐近线方程为（ ） 21xyabC2322 A. B. C. D. 00xy0xy20xy 思路：要想求渐近线方程，关键在 的比值，所以将两个离心率均用 表示，再利用,ab,ab 乘积为 即可得到 关系，进而求出渐近线方程32, 解：设曲线 的离心率分别为 ，则12,C12,e 2212,cabcabe2412 23ababe 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 即 1444312abba 因为双曲线的渐近线方程为： ，代入可得：yxa20yxy 答案：A 小炼有话说：本题在设计上利用椭圆和双曲线中 的求法不同，从而使得两条曲线在c 相同的情况下，离心率的乘积中含有平方差公式的特

14、点，从而简化运算，较易得出,ab 关系 例 6：椭圆 和双曲线 的公共焦点为 ， 210xymn210xyab12,F 是两曲线的一个交点，那么 的值是（ ）P12PF A. B. C. D. a2amma 思路：所求 既是椭圆的焦半径，又是双曲线的焦半径。所以由椭圆和双曲线定12,F 义可得： ， ，由此联想到两个式子的完全平方公式，P12PF 进而可求出 ，则1222212 14F ma 答案：B 例 7：已知抛物线 的焦点 与双曲线 的右焦点重合，抛物20ypxF 2145xy 线的准线与 轴的交点为 ，点 在抛物线上且 ，则 点的横坐标为（ xKAKAF ） A. B. C. D. 2

15、3234 思路：因为两条曲线的焦点重合，所以可用双曲线计算出焦点的坐标 ，所以259c ，进而可确定抛物线方程： ，以及准线方程 ： 。所以3,0F21yxl3x ，设 点横坐标为 ，则 ，所以 ，由焦KAx,A221AK 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 半径公式可得： ，所以 ，即32pAFx222AKFAKF ，可解得： 231xx 答案：B 例 8：设 为双曲线 的左焦点，在 轴上 点的右侧有一点 ，以 为直F 2169xyxFAF 径的圆与双曲线左，右两支在 轴上方的交点分别为 ，则 的值为（ ,MN ） A. B. C. D. 25525445 思路：因为所求分式涉及到三条线段长度

16、，若直接用距离公式则异常复杂，所以考虑时刻 简化计算，首先由 联想到焦半径公式，设 ，则有,FMN12,MxyN ， ，所以1aexa2exa ，设 ，由双曲线可知 ，则 的中点2FN,0Am5,0FA ，圆半径 ，所以圆方程为： ，整5,02mC5r 22mxy 理后可得： ，因为 的值与 相关，所以20xxyNM12x 考虑联立圆和双曲线方程： 消去 可得： 2250169mxyy ，所以 ，代入 可得：2595016xmx1265xFN ，因为 ，所以原式的值为 1648425mFNMAm45 答案：D 小炼有话说：本题可发现无论 的位置如何，从选项上来看 应该为定值，故AFNM 可以利

17、用特殊位置，比如 为右焦点时，便可轻松得到答案：由对称性可得 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 ，且 ，所以28FNMa210FAc245FNMaAc 例 9：如图，从双曲线 的左焦点 引圆 的切线，切 2,xyab22xy 点为 ，延长 交双曲线右支于 点，若 为线段 的中点， 为坐标原点，则TFPFPO 的值为_（用含 的表达式表示） MO, 思路：首先要将 向 靠拢，因为 与圆切于,T,ab ，连结 ，可知 ，且 为直角三角形，TrFOTA ，从而 ，进OFc222cab 而 ，在寻找 ，因为 为线段 的中点，且由双1MTPbMFP 曲线性质得 为 的中点，所以连结 ，则由中位线性质可得

18、 ，而 F12OM 恰好是另一焦半径。所以PF ，由双曲线定义可得： 1122OTPFbP ，从而aMOTa 答案： b 小炼有话说：（1）题目中遇到中点问题，除了已知条件外，在椭圆和双曲线中还要注意 “原点也是两焦点的中点”这一隐藏条件 （2）在椭圆与双曲线中，因为两条焦半径存在几何关系（和差与 相关） ，所以题中出现a 一条焦半径时，常见的辅助线是连出另一条焦半径。 例 10：如图，椭圆 ，圆 ， 2:124xyCa22:4Oxy 椭圆的左右焦点分别为 ，过椭圆上一点 和原点 作直线 交12,FPl 圆 于 两点，若 ，则 的值为O,MN6PMN _ 思路：本题很难直接求出 的值，从而考虑将其视为整体，进行转化：从图上可, 第九章 圆锥曲线的性质 解析几何 得： ，从而,PMOPrNOPr ，所以只需确定 即可，设 ，即224Nra 2,Pxy ，已知 ，则需利用好 ，想到焦半径公式：则22xy21xy126F ，所以 ，所以1,PFaeae12Paex ，即 ，所 2222244xcxy2224ya 以 6MN 答案：