2017年中考专题复习讲义三角形和全等三角形.doc

1、WUMENG【中考考点梳理】考点一 全等三角形的概念与性质1概念：能够重合的两个三角形叫做全等三角形温馨提示：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.如右图，ABC和DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，记作ABCDBC2全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等，对应角相等；(2)全等三角形的对应线段(包括角平分线、中线、高线)相等、周长相等、面积相等3常见全等三角形的基本图形(1)平移全等型(2)翻折全等型(3)旋转全等型考点二 全等三角形的判定1全等三角形的判定方法方法内容符号适用范围方法1三边对应相等的两个三角形全等SSS所有三角形方法2两边

2、及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS所有三角形方法3两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等ASA所有三角形方法4两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等AAS所有三角形方法5斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL直角三角形温馨提示：1方法2是两边和它们的夹角，如果说“两边及其中一边的对角对应相等”，则不能判定两个三角形全等2三个角对应相等的两个三角形不一定全等2全等三角形的判定思路说明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法，一般可按下面的思路进行考点三 角平分线的性质定理及其逆定

3、理)1性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等即如图，点P在AOB的平分线上，PDOA于点D，PEOB于点E，PDPE.2性质定理的逆定理：角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上即如上图，PDOA，PEOB，PDPE，OP是AOB的平分线温馨提示：应用角平分线的性质定理就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化，所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用角平分线的性质定理解决问题考点四 线段垂直平分线的性质与判定1定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线2性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等3性质定理的

4、逆定理：与一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【例1】(2015温州)如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，ABCD，AEDF，AD(1)求证：ABCD；(2)若ABCF，B30，求D的度数【思路点拨】(1)由ABCD，可得BC，再有AEDF，AD，可得ABEDCF，由全等三角形的性质可证；(2)通过等量代换得到DCF为等腰三角形，且CB30，再通过三角形内角和求得D的度数【自主解答】(1)证明：ABCD, BCAEDF，AD, ABEDCF(AAS)ABCD(2)解：ABCF，ABCD，CDCF，DCFDBC30，D75.方法总结：判定两个三角形全等时，

5、常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等【变式训练】 1、如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BMCN，AM交BN于点P.(1)求证：ABMBCN；(2)求APN的度数(1)证明：五边形ABCDE是正五边形，ABBC，ABMBCN.又BMCN，ABMBCN.(2)解：APN是ABP的一个外角，APNBAMABNCBNABNABC108.2、如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M、N，则图中的全等三角形共有（）A2对 B3对 C4对

6、D5对【考点】正方形的性质；全等三角形的判定【分析】可以判断ABDBCD，MDOMBO，NODNOB，MONMON由此即可对称结论【解答】解：四边形ABCD是正方形，AB=CD=CB=AD，A=C=ABC=ADC=90，ADBC，在ABD和BCD中，ABDBCD，ADBC，MDO=MBO，在MOD和MOB中，MDOMBO，同理可证NODNOB，MONMON，全等三角形一共有4对故选C3、如图，在矩形ABCD中（ADAB），点E是BC上一点，且DE=DA，AFDE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）AAFDDCE BAF=AD CAB=AF DBE=ADDF【考点】矩形的性质；全等三角

7、形的判定【分析】先根据已知条件判定判定AFDDCE（AAS），再根据矩形的对边相等，以及全等三角形的对应边相等进行判断即可【解答】解：（A）由矩形ABCD，AFDE可得C=AFD=90，ADBC，ADF=DEC又DE=AD，AFDDCE（AAS），故（A）正确；（B）ADF不一定等于30，直角三角形ADF中，AF不一定等于AD的一半，故（B）错误；（C）由AFDDCE，可得AF=CD，由矩形ABCD，可得AB=CD，AB=AF，故（C）正确；（D）由AFDDCE，可得CE=DF，由矩形ABCD，可得BC=AD，又BE=BCEC，BE=ADDF，故（D）正确；故选（B）4、如图，在平面直角坐标系

8、中，A、B两点分别在x轴、y轴上，OA=3，OB=4，连接AB点P在平面内，若以点P、A、B为顶点的三角形与AOB全等（点P与点O不重合），则点P的坐标为（3，4）或（frac9625，frac7225）或（frac2125，frac2825）【考点】全等三角形的判定；坐标与图形性质【分析】由条件可知AB为两三角形的公共边，且AOB为直角三角形，当AOB和APB全等时，则可知APB为直角三角形，再分三种情况进行讨论，可得出P点的坐标【解答】解：如图所示：OA=3，OB=4，P1（3，4）；连结OP2，设AB的解析式为y=kx+b，则，解得故AB的解析式为y=x+4，则OP2的解析式为y=x，联

9、立方程组得，解得，则P2（，）；连结P2P3，（3+0）2=1.5，（0+4）2=2， E（1.5，2）， 1.52=，22=， P3（，）故点P的坐标为（3，4）或（，）或（，）故答案为：（3，4）或（，）或（，）【例2】如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA于点D，PD6，则点P到边OB的距离为(A)A6 B5 C4 D3【思路点拨】过点P作PEOB于点E，由角平分线的性质易得PE的长方法总结：题目中若有角平分线这一条件，常考虑2倍角关系或添加垂线段，利用角的平分线的性质定理求角度或证明线段相等或计算线段长度【变式训练】1、 如图，已知ABC三个内角的平分线交于点O，点D在C

10、A的延长线上，且DCBC，ADAO，若BAC80，则BCA的度数为 【解析】BAC80，BAD100，BAO40，DAO140.ADAO，D20.ABC三个内角的平分线交于点O，ACOBCO.在COD和COB中，CDCB，OCDOCB，OC是公共边，CODCOB，DCBO.CBO20，ABC40，BCA60.【答案】602、已知平行四边形ABCD中，CE平分BCD且交AD于点E，AFCE，且交BC于点F（1）求证：ABFCDE；（2）如图，若1=65，求B的大小【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB=CD，ADBC，B=D，得出1=DCE，证出

11、AFB=1，由AAS证明ABFCDE即可；（2）由（1）得1=DCE=65，由平行四边形的性质和三角形内角和定理即可得出结果【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ADBC，B=D，1=DCE，AFCE，AFB=ECB，CE平分BCD，DCE=ECB，AFB=1，在ABF和CDE中，ABFCDE（AAS）；（2）解：由（1）得：1=ECB，DCE=ECB，1=DCE=65，B=D=180265=50【例3】如图，已知ABC中，AB=AC，把ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到ADE，连接BD，CE交于点F（1）求证：AECADB；（2）若AB=2，BAC=45，当四边形ADFC

12、是菱形时，求BF的长【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质【分析】（1）由旋转的性质得到三角形ABC与三角形ADE全等，以及AB=AC，利用全等三角形对应边相等，对应角相等得到两对边相等，一对角相等，利用SAS得到三角形AEC与三角形ADB全等即可；（2）根据BAC=45，四边形ADFC是菱形，得到DBA=BAC=45，再由AB=AD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，求出BD的长，由BDDF求出BF的长即可【解答】解：（1）由旋转的性质得：ABCADE，且AB=AC，AE=AD，AC=AB，BAC=DAE，BAC+BAE=DAE+BAE，即CAE=DAB，在AEC和ADB中，

13、AECADB（SAS）；（2）四边形ADFC是菱形，且BAC=45，DBA=BAC=45，由（1）得：AB=AD，DBA=BDA=45，ABD为直角边为2的等腰直角三角形，BD2=2AB2，即BD=2，AD=DF=FC=AC=AB=2，BF=BDDF=22【变式练习】1、已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当OFE=30时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关

14、系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明【考点】四边形综合题【分析】（1）由AOECOF即可得出结论（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明EOAGOC，OFG是等边三角形，即可解决问题图3中的结论为：CF=OEAE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似【解答】解：（1）AEPB，CFBP，AEO=CFO=90，在AEO和CFO中，AOECOF，OE=OF（2）图2中的结论为：CF=OE+AE图3中的结论为：CF=OEAE选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，AEBP，CFBP，AECF，EAO=GCO，在EOA和GOC中，EOAGOC

15、，EO=GO，AE=CG，在RTEFG中，EO=OG，OE=OF=GO，OFE=30，OFG=9030=60，OFG是等边三角形，OF=GF，OE=OF，OE=FG，CF=FG+CG，CF=OE+AE选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，AEBP，CFBP，AECF，AEO=G，在AOE和COG中，AOECOG，OE=OG，AE=CG，在RTEFG中，OE=OG，OE=OF=OG，OFE=30，OFG=9030=60，OFG是等边三角形，OF=FG，OE=OF，OE=FG，CF=FGCG，CF=OEAE3、如图，在RtABC中，ACB=90，点D，E分别在AB，AC上，CE=BC

16、，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90后得CF，连接EF（1）补充完成图形；（2）若EFCD，求证：BDC=90【考点】旋转的性质【分析】（1）根据题意补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得到DCF为直角，由EF与CD平行，得到EFC为直角，利用SAS得到三角形BDC与三角形EFC全等，利用全等三角形对应角相等即可得证【解答】解：（1）补全图形，如图所示；（2）由旋转的性质得：DCF=90，DCE+ECF=90，ACB=90，DCE+BCD=90，ECF=BCD，EFDC，EFC+DCF=180，EFC=90，在BDC和EFC中，BDCEFC（SAS），BDC=EFC=90【例3】

17、如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，ABCD，ABECDF，AFCE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明【思路点拨】(1)根据题目所给条件可分析出ABECDF，AFDCEB；(2)根据ABCD可得BACDCA，根据AFCE可得AEFC，然后再证明ABECDF即可【自主解答】(1)解：ABECDF，AFDCEB(2)证明：ABECDF.ABCD，BACDCAAFCE，AFEFCEEF，即AEFC在ABE和CDF中，ABECDF(AAS)方法总结：根据题目给出的条件和图形中隐含的条件，分析哪些三角形全等，再根据三角形全等的判定方法证明即可【变式练习】1、 如图，在

18、四边形ABCD中，ABCD，连结BD请添加一个适当的条件ABCD或AC或ADBCBD，使ABDCDB(只需写一个)2、如图，ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：AH=CB等（只要符合要求即可），使AEHCEB【考点】全等三角形的判定【分析】开放型题型，根据垂直关系，可以判断AEH与CEB有两对对应角相等，就只需要找它们的一对对应边相等就可以了【解答】解：ADBC，CEAB，垂足分别为D、E，BEC=AEC=90，在RtAEH中，EAH=90AHE，又EAH=BAD，BAD=90AHE，在RtAEH和RtCDH中，CHD=AHE，EAH=D

19、CH，EAH=90CHD=BCE，所以根据AAS添加AH=CB或EH=EB；根据ASA添加AE=CE可证AEHCEB故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE3、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF（1）根据题意，补全原形；（2）求证：BE=DF【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】（1）如图所示；（2）由全等三角形的判定定理SAS证得BEODFO，得出全等三角形的对应边相等即可【解答】（1）解：如图所示：（2）证明：四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，OB=OD，OA=OC又E，F分别是OA

20、、OC的中点，OE=OA，OF=OC，OE=OF在BEO与DFO中，BEODFO（SAS），BE=DF4、已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQBE于点Q，DPAQ于点P（1）求证：AP=BQ；（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质【分析】（1）根据正方形的性质得出AD=BA，BAQ=ADP，再根据已知条件得到AQB=DPA，判定AQBDPA并得出结论；（2）根据AQAP=PQ和全等三角形的对应边相等进行判断分析【解答】解：（1）正方形ABCDAD=BA，BAD=90，即

21、BAQ+DAP=90DPAQADP+DAP=90BAQ=ADPAQBE于点Q，DPAQ于点PAQB=DPA=90AQBDPA（AAS）AP=BQ（2）AQAP=PQAQBQ=PQDPAP=PQDPBQ=PQ【例4】如图，在ABC中，AD和BE是高，ABE=45，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，CBE=BAD有下列结论：FD=FE；AH=2CD；BCAD=AE2；SABC=4SADF其中正确的有（）A1个B2 个C3 个D4个【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=AB，证明ABE是等腰直角三角形，得出AE=BE，证

22、出FE=AB，延长FD=FE，正确；证出ABC=C，得出AB=AC，由等腰三角形的性质得出BC=2CD，BAD=CAD=CBE，由ASA证明AEHBEC，得出AH=BC=2CD，正确；证明ABDBCE，得出=，即BCAD=ABBE，再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BCAD=AE2；正确；由F是AB的中点，BD=CD，得出SABC=2SABD=4SADF正确；即可得出结论【解答】解：在ABC中，AD和BE是高，ADB=AEB=CEB=90，点F是AB的中点，FD=AB，ABE=45，ABE是等腰直角三角形，AE=BE，点F是AB的中点，FE=AB，FD=FE，正确；CBE=BAD，CB

23、E+C=90，BAD+ABC=90，ABC=C，AB=AC，ADBC，BC=2CD，BAD=CAD=CBE，在AEH和BEC中，AEHBEC（ASA），AH=BC=2CD，正确；BAD=CBE，ADB=CEB，ABDBCE，=，即BCAD=ABBE，AE2=ABAE=ABBE，BCAD=ACBE=ABBE，BCAD=AE2；正确；来源:学科网F是AB的中点，BD=CD，SABC=2SABD=4SADF正确；故选：D【变式练习】1、如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将BCF沿BF对折，得到BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（）A

24、E=BF；AEBF；sinBQP=；S四边形ECFG=2SBGEA4 B3 C2 D1【考点】四边形综合题【分析】首先证明ABEBCF，再利用角的关系求得BGE=90，即可得到AE=BF；AEBF；BCF沿BF对折，得到BPF，利用角的关系求出QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；根据AA可证BGE与BCF相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解【解答】解：E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，CF=BE，在ABE和BCF中，RtABERtBCF（SAS），BAE=CBF，AE=BF，故正确；又BAE+BEA=90，CBF+BEA=90，BGE=90，AEB

25、F，故正确；根据题意得，FP=FC，PFB=BFC，FPB=90CDAB，CFB=ABF，ABF=PFB，QF=QB，令PF=k（k0），则PB=2k在RtBPQ中，设QB=x，x2=（xk）2+4k2，x=，sin=BQP=，故正确；BGE=BCF，GBE=CBF，BGEBCF，BE=BC，BF=BC，BE：BF=1：，BGE的面积：BCF的面积=1：5，S四边形ECFG=4SBGE，故错误故选：B2、在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设AEM=（090

26、），给出下列四个结论：AM=CN；AME=BNE；BNAM=2；SEMN=上述结论中正确的个数是（）A1B2C3D4【考点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质【分析】作辅助线EFBC于点F，然后证明RtAMERtFNE，从而求出AM=FN，所以BM与CN的长度相等由RtAMERtFNE，即可得到结论正确；经过简单的计算得到BNAM=BCCNAM=BCBMAM=BC（BM+AM）=BCAB=42=2，用面积的和和差进行计算，用数值代换即可【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，作EFBC于点F，则有AB=AE=EF=FC，AEM+DEN=90，FEN+DEN=90，AE

27、M=FEN，在RtAME和RtFNE中，RtAMERtFNE，AM=FN，MB=CNAM不一定等于CN，AM不一定等于CN，错误，由有RtAMERtFNE，AME=BNE，正确，由得，BM=CN，AD=2AB=4，BC=4，AB=2BNAM=BCCNAM=BCBMAM=BC（BM+AM）=BCAB=42=2，正确，如图，由得，CN=CFFN=2AM，AE=AD=2，AM=FNtan=，AM=AEtancos=，cos2=，=1+=1+（）2=1+tan2，=2（1+tan2）SEMN=S四边形ABNESAMESMBN=（AE+BN）ABAEAMBNBM=（AE+BCCN）2AEAM（BCCN）

28、CN=（AE+BCCF+FN）2AEAM（BC2+AM）（2AM）=AE+BCCF+AMAEAM（2+AM）（2AM）=AE+AMAEAM+AM2=AE+AEtanAE2tan+AE2tan2=2+2tan2tan+2tan2=2（1+tan2）=正确故选C【点评】此题是全等三角形的性质和判定题，主要考查了全等三角形的性质和判定，图形面积的计算锐角三角函数，解本题的关键是RtAMERtFNE，难点是计算SEMN【例5】1、如图1，ABC是等腰直角三角形，BAC 90，ABAC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BDCF，BDCF成立 (1)当ABC绕点A逆时针旋转（09

29、0）时，如图2，BDCF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由 (2)当ABC绕点A逆时针旋转45时，如图3，延长DB交CF于点H. 求证：BDCF； 当AB2，AD3时，求线段DH的长【知识点】等腰三角形等腰三角形的现性质、特殊的平行四边形正方形的性质、旋转旋转的特性、全等三角形全等三角形的判判定和性质、相似三角形相似三角形的判判定和性质【思路分析】（1）先用“SAS”证明CAFBAD,再用全等三角形的性质即可得BDCF成立；（2）利用HFN与AND的内角和以及它们的等角，得到NHF90,即可得的结论；（3）连接DF，延长AB，与DF交于点M，利用BMDFHD求解.【解答】(l)解：B

30、DCF成立证明：ACAB，CAFBAD;AFAD,ABDACF,BDCF.(2)证明：由(1)得，ABDACF，HFNADN，在HFN与ADN中，HFNAND，HNFAND,NHFNAD90,HDHF,即BDCF.解：如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M.在MAD中，MADMDA45，BMD90.在RtBMD与RtFHD中，MDBHDF,BMDFHD.AB2，AD3，四边形ADEF是正方形，MAMD3.MB321,DB.DH.【方法总结】本题考查了全等三角形的判判定和性质，全等三角形的性质是证明等角、等线段的最为常用的方法；图形的旋转中，对应点到旋转中心的距离相等,对应线段的长度、对应角的

31、大小相等,旋转前后图形的大小和形状没有改变；2、如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形（1）若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时B与D是否相等，并说明理由（2）若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度【考点】全等三角形的应用；二元一次方程组的应用；三角形三边关系【分析】（1）相等连接AC，根据SSS证

32、明两个三角形全等即可（2）分两种情形当点C在点D右侧时，当点C在点D左侧时，分别列出方程组即可解决问题，注意最后理由三角形三边关系定理，检验是否符合题意【解答】解：（1）相等理由：连接AC，在ACD和ACB中，ACDACB，B=D（2）设AD=x，BC=y，当点C在点D右侧时，解得，当点C在点D左侧时，解得，此时AC=17，CD=5，AD=8，5+817，不合题意，AD=13cm，BC=10cm3、已知四边形ABCD是菱形，AB=4，ABC=60，EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且EAF=60（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（

33、2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且EAB=15时，求点F到BC的距离【考点】四边形综合题【分析】（1）结论AE=EF=AF只要证明AE=AF即可证明AEF是等边三角形（2）欲证明BE=CF，只要证明BAECAF即可（3）过点A作AGBC于点G，过点F作FHEC于点H，根据FH=CFcos30，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题【解答】（1）解：结论AE=EF=AF理由：如图1中，连接AC，四边形ABCD是菱形，B=60，AB=BC=CD=AD，B=D=60，ABC，ADC是等边三角形，BAC=DA

34、C=60BE=EC，BAE=CAE=30，AEBC，EAF=60，CAF=DAF=30，AFCD，AE=AF（菱形的高相等），AEF是等边三角形，来源:学+科+网Z+X+X+KAE=EF=AF（2）证明：如图2中，BAC=EAF=60，BAE=CAE，在BAE和CAF中，BAECAF，BE=CF（3）解：过点A作AGBC于点G，过点F作FHEC于点H，EAB=15，ABC=60，AEB=45，在RTAGB中，ABC=60AB=4，BG=2，AG=2，在RTAEG中，AEG=EAG=45，来源:学科网AG=GE=2，EB=EGBG=22，AEBAFC，AE=AF，EB=CF=22，AEB=AFC

35、=45，EAF=60，AE=AF，AEF是等边三角形，AEF=AFE=60AEB=45，AEF=60，CEF=AEFAEB=15，在RTEFH中，CEF=15，EFH=75，AFE=60，AFH=EFHAFE=15，AFC=45，CFH=AFCAFH=30，在RTCHF中，CFH=30，CF=22，FH=CFcos30=（22）=3点F到BC的距离为3【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题4、如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO

36、，我们称AO为“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称OAB为“叠弦角”，AOP为“叠弦三角形”【探究证明】（1）请在图1和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角形”（AOP）是等边三角形；（2）如图2，求证：OAB=OAE【归纳猜想】（3）图1、图2中的“叠弦角”的度数分别为15，24；（4）图n中，“叠弦三角形”是等边三角形（填“是”或“不是”）（5）图n中，“叠弦角”的度数为60frac180n（用含n的式子表示）【考点】几何变换综合题【分析】（1）先由旋转的性质，再判断出APDAOD，最后用旋转角计算即可；（2）先判断出RtAEMR

37、tABN，在判断出RtAPMRtAON 即可；（3）先判断出ADOABO，再利用正方形，正五边形的性质和旋转的性质，计算即可；（4）先判断出APFAEF，再用旋转角为60，从而得出PAO是等边三角形；（5）用（3）的方法求出正n边形的，“叠弦角”的度数【解答】解：（1）如图1，四ABCD是正方形， 由旋转知：AD=AD，D=D=90，DAD=OAP=60，DAP=DAO，APDAOD（ASA）AP=AO，OAP=60，AOP是等边三角形，（2）如图2，作AMDE于M，作ANCB于N五ABCDE是正五边形， 由旋转知：AE=AE，E=E=108，EAE=OAP=60EAP=EAOAPEAOE（A

38、SA）OAE=PAE在RtAEM和RtABN中，AEM=ABN=72，AE=AB RtAEMRtABN （AAS），EAM=BAN，AM=AN 在RtAPM和RtAON中，AP=AO，AM=AN RtAPMRtAON （HL）PAM=OAN，PAE=OAB OAE=OAB （等量代换） （3）由（1）有，APDAOD，DAP=DAO，在ADO和ABO中，ADOABO，DAO=BAO，由旋转得，DAD=60，DAB=90，DAB=DABDAD=30，DAD=DAB=15，同理可得，EAO=24，故答案为：15，24 （4）如图3，六边形ABCDEF和六边形ABCEF是正六边形，F=F=120，由

39、旋转得，AF=AF，EF=EF，APFAEF，PAF=EAF，由旋转得，FAF=60，AP=AOPAO=FAO=60，PAO是等边三角形故答案为：是 （5）同（3）的方法得，OAB=（n2）180n602=60故答案：60【巩固练习】1、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FCAB求证：AE=CE【考点】全等三角形的判定与性质【分析】根据平行线的性质得出A=ECF，ADE=CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出ADECFE，即可得出答案【解答】证明：FCAB，A=ECF，ADE=CFE，在ADE和CFE中，ADECFE（AAS），AE=CE2.如图，点A，B，C，D在同一条