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新人教版六年级数学上册各单元知识点归纳.doc

1、1 各单元知识点归纳 第一单元分数乘法 一、分数乘法 (一)分数乘法的意义: 1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。 例如:655 表示求 5 个 65 的和是多少? 5 表示求 5 个 的和是多少?3131 2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。 例如: 表示求 的 是多少。4 表示求 4 的 是多少.3174317488 (二)、分数乘法的计算法则: 1、分数与整数相乘:分子与整数相乘的积做分子,分母不变。(整数和分母约分) 2、分数与分数相乘:用分子相乘的积做分子,分母相乘的积做分母。注意:当带 分数进行乘法计算时,要先把带分数化成假分数再进行

2、计算。 3、为了计算简便,能约分的要先约分,再计算。 (尽量约分,不会约分的就不约, 常考的质因数有 1111=121;1313=169;1717=289;1919=361) 4、小数乘分数,可以先把小数化为分数,也可以把分数化成小数再计算(建议把 小数化分数再计算) 。 (三)、 乘法中比较大小的规律 一个数(0 除外)乘大于 1 的数,积大于这个数。 一个数(0 除外)乘小于 1 的数(0 除外),积小于这个数。 一个数(0 除外)乘 1,积等于这个数。 (四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。整数乘法的交换律、 结合律和分配律,对于分数乘法也同样适用。 2 乘法交换律: a

3、b = b a 乘法结合律: ( a b )c = a ( b c ) 乘法分配律: ( a + b )c = a c + b c 二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法),即求单位“1”的几分 之几是多少) 1、画线段图:(1)两个量的关系:画两条线段图,先画单位一的量,注意两条线 段的左边要对齐。(2)部分和整体的关系:画一条线段图。 2、找单位“1”: 单位“1” 在分数句中分数的前面;或在“占” 、 “是” 、 “比” “相当于”的后面。 3、写数量关系式的技巧: (1)“的” 相当于 “” , “占” 、 “相当于” “是” 、 “比”相当于 “ = ” (2)分数前是“

4、的”字:用单位“1”的量分数=具体量 例如:甲数是 20,甲数的 是多少?列式是:20313 1 4、看分数前有没有多或少的问题;分数前是“多或少”的关系式: (比少):单位“1”的量(1-分数)=具体量; 例如:甲数是 50,乙数比甲数少 ,乙数是多少?21 列式是:50(1- )21 (比多):单位“1”的量(1+分数)=具体量 例如:小红有 30 元钱,小明比小红多 ,小红有多少钱?5 3 列式是:50(1+ )5 3 3、求一个数的几倍是多少:用 一个数几倍; 3 4、求一个数的几分之几是多少: 用一个数几分之几。 5、求几个几分之几是多少:用几分之几个数 6、求已知一个部分量是总量的

5、几分之几,求另一个部分量的方法: (1)、单位“1”的量(1-分数)=另一个部分量(建议用) (2)、单位“1”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量 例如:教材 15 页做一做和 16 页练习第七题(题目中有时候会有这种题的关键字 “其中” ) 第二单元位置与方向(二) 1、确定物体位置的方法:1、先找观测点;2、再定方向(看方向夹角的度数) ; 3、最后确定距离(看比例尺) 2、描绘路线图的关键是选好观测点,建立方向标,确定方向和路程。 3、位置关系的相对性:1、两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时,观 测点不同,叙述的方向正好相反,而度数和距离正好相等。 4、相对位

6、置:东-西;南-北;南偏东-北偏西。 第三单元分数除法 三、倒数 1、倒数的意义: 乘积是 1 的两个数互为倒数。 强调:互为倒数,即倒数是两个数的关系,它们互相依存,倒数不能单独存在。 (要说清谁是谁的倒数)。 2、求倒数的方法: 4 (1)、求分数的倒数:交换分子分母的位置。 (2)、求整数的倒数:把整数看做分母是 1 的分数,再交换分子分母的位置。 (3)、求带分数的倒数:把带分数化为假分数,再求倒数。 (4)、求小数的倒数: 把小数化为分数,再求倒数。 3、 1 的倒数是 1; 因为 11=1; 0 没有倒数,因为 0 乘任何数都得 0,(分 母不能为 0) 4、真分数的倒数大于 1;

7、假分数的倒数小于或等于 1;带分数的倒数小于 1。 5、运用,a =b 求 a 和 b 是多少。把 a =b 看成等于 1,也就是求32413241 的倒数和求 的倒数。32 1、分数除法的意义: 乘法: 因数 因数 = 积 除法: 积 一个因数 = 另一个因数 分数除法与整数除法的意义相同,表示已知两个因数的积和其中一个因数,求另 一个因数的运算。 例如: 意义是:已知两个因数的积是 与其中一个因数 ,求另一个因数2 153 2153 的运算。 2、分数除法的计算法则: 除以一个不为 0 的数,等于乘这个数的倒数。 3、分数除法比较大小时的规律: (1)当除数大于 1,商小于被除数; (2)

8、当除数小于 1(不等于 0),商大于被除数; (3)当除数等于 1,商等于被除数。 5 “ ”叫做中括号。一个算式里,如果既有小括号,又有中括号,要先算小括 号里面的, 再算中括号里面的。 二、分数除法解决问题 1,解法:(1)方程: 根据数量关系式设未知量为 X(一般把单位 1 设为 X) ,用方 程解答。 解:设未知量为 X (一定要解设),再列方程 用 X分数=具体量 例如:公鸡有 20 只,是母鸡只数的 ,母鸡有多少只。 (单位一是母鸡只数,单31 位一未知.)解:设母鸡有 X 只。列方程为:X =2031 (2)算术(用除法):单位“1”的量未知用除法: 即已知单位“1”的几分之几是

9、多少,求单位“1”的量。 分数对应量对应分数 = 单位“1”的量 例如:公鸡有 20 只,是母鸡只数的 ,母鸡有多少只。 (单位一是母鸡只数,单31 位一未知, )用除法,列式是:20 2、看分数前有没有比多或比少的问题; 分数前是“多或少”的关系式: (比少):具体量 (1-分数)= 单位“1”的量; 例如:桃树有 50 棵,比苹果树少 ,苹果树有多少棵。6 1 列式是:50(1- )6 1 (比多):具体量 (1+分数)= 单位“1”的量 例如:一种商品现在是 80 元,比原价增加了 ,原价多少?71 6 列式是:80(1+ )71 3、求一个数是另一个数的几分之几是多少: 用一个数除以另

10、一个数,结果写 为分数形式。 例如:男生有 20 人,女生有 15 人,女生人数占男生人数的几分之几。 列式是:1520= =20154 3 4、求一个数比另一个数多几分之几的方法: 用两个数的相差量单位“1”的量 =分数 即求一个数比另一个数多几分之几:用(大数小数) 另一个数(比那个数 就除以那个数) ,结果写为分数形式。 例如:5 比 3 多几分之几?(53)3= 3 2 求一个数比另一个数少几分之几:用(大数小数) 另一个数(比那个数就 除以那个数) ,结果写为分数形式。 例如:3 比 5 少几分之几?(53)5= 5 2 说明:多几分之几不等于少几分之几,因为单位一不同。 5、工程问

11、题:把工作总量看作单位“1” ,合做多长时间完成一项工程用 1工作 效率和,即 1( + ) , (工作效率= )时 间A1时 间B时 间1 例如:一项工程甲单独做要 5 天完成,乙单独做要 10 天完成,甲单独做要 3 天完 成,三人合做几天可以完成?列式:1( + + )5 103 7 第四单元比 (一)、比的意义 1、比的意义:两个数相除又叫做两个数的比。 2、在两个数的比中,比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。 比的前项除以后项所得的商,叫做比值。 例如 15 :10 = 1510= (比值通常用分数表示,也可以用小数或整数表示 )2 3 15 10 2 3 前项 比号

12、 后项 比值 3、比可以表示两个相同量的关系,即倍数关系。例:长是宽的几倍。 也可以表示两个不同量的比,得到一个新量。例: 路程速度=时间。 4、区分比和比值 比:表示两个数的关系,可以写成比的形式,也可以用分数表示。 比值:相当于商,是一个数,可以是整数,分数,也可以是小数。 5、根据分数与除法的关系,两个数的比也可以写成分数形式。 6、 比和除法、分数的联系: 比 前 项 比号“:” 后 项 比值 除 法 被除数 除号“” 除 数 商 分 数 分 子 分数线“” 分 母 分数值 7、比和除法、分数的区别:除法是一种运算,分数是一个数,比表示两个数的关 系。 8、根据比与除法、分数的关系,可

13、以理解比的后项不能为 0。 9、体育比赛中出现两队的分是 2:0 等,这只是一种记分的形式,不表示两个数 8 相除的关系。 10、求比值:用前项除以后项,结果最好是写为分数(不会约分的就不约分) 例如:15 10 1510 1052 3 (二)、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系: 商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0 除外),商不变。 分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0 除外),分数值 不变。 比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外),比值不变。 2、最简整数比:比的前项和后项都是整数,并且是互质数,这样的比就是最简整 数比。

14、 3、根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。 4.化简比: 两个整数比:用比的前项和后项同时乘分母的最大公因数。 两个分数比:用前项和后项同时乘分母的最小公倍数,再按化简整数比的方法 化简。 两个小数比:比的前项和后项同时向右移动小数点的位置,要移几位都移几位, 先化成整数比再化简。 一个分数和一个整数的比:分数和整数同时乘分数的分母,把分数化成整数再 化简。 一个小数和一个分数的比:先把小数化成分数(能约分的先约分) ,再按化简分 数比的方法化简。 9 (2)用求比值的方法。注意: 最后结果要写成比的形式。 例如: 1510 = 1510 = = 321052 3 还可以 1510

15、= 1510 = 最简整数比是 32 5、比中有单位的,化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值,结果没有单 位。 6.按比例分配:把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例 分配。一般有两种解题法 ,用分率(分数)解:按比例分配通常把总量看作单位一,即转化成分数。要先 求出总份数,再求出几份占总份数的几分之几,最后再用总量分别乘几分之几。 例如:有糖水 25 克,糖和水的比为 1:4,糖和水分别有几克? 1+4=5 糖占 用 25 得到糖的数量,水占 用 25 得到水的数量。5 1515454 2,用份数解:要先求出总份数,再求出每一份是多少,最后分别求出几份是多少。 例如:

16、有糖水 25 克,糖和水的比为 1:4,糖和水分别有几克? 糖和水的份数一共有 1+4=5, 一份就是 255=5,糖有 1 份就是 51,水有 4 分 就是 54 第六单元百分数 一、百分数的意义和写法 (一) 、百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个数 的比,因此也叫百分率或百分比。 (二) 、百分数和分数的主要联系与区别: 联系:都可以表示两个量的倍比关系。 10 区别:、意义不同:百分数只表示两个数的倍比关系,不能表示具体的数量, 所以不能带单位; 分数既可以表示具体的数,又可以表示两个数的关系,表示具体数时可以带单位。 、百分数的分子可以是整数,也可以是小数;

17、 分数的分子不能是小数,只能是除 0 以外的自然数。 3、百分数的写法:通常不写成分数形式,而在原来分子后面加上“%”来表示, 读作百分之。 二、百分数和分数、小数的互化 (一)百分数与小数的互化: 1、小数化成百分数:把小数点向右移动两位(数位不够用 0 补足) ,同时在后面 添上百分号。 2. 百分数化成小数:把小数点向左移动两位(数位不够用 0 补足) ,同时去掉百 分号。 (二)百分数的和分数的互化 1、百分数化成分数:先把百分数改写成分母是 100 的分数,能约分要约成最简分 数。 2、分数化成百分数: 用分数的基本性质,把分数分母扩大或缩小成分母是 100 的分数,再写成百分 数形

18、式。先把分数化成小数(除不尽时,通常保留三位小数),再把小数化成百 分数。 (建议用这种方法) 三、用百分数解决问题 (一)一般应用题 11 1、常见的百分率的计算方法: 一般来讲,出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%,出米率、出油率 达不到 100%,完成率、增长了百分之几等可以超过 100%。 2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数,结果写为百分数形式。 例如:例如:男生有 20 人,女生有 15 人,女生人数占男生人数的百分之几。 列式是:1520=15/20=75 3、已知单位“1”的量(用乘法),求单位“1”的百分之几是多少的问题,数量关 系式和分数乘法解决问

19、题中的关系式相同: (1)百分率前是“的”: 单位“1”的量百分率=百分率对应量 (2 百分率前是“多或少”的数量关系: 单位“1”的量(1百分率)=百分率对应量 4、未知单位“1”的量(用除法),已知单位“1”的百分之几是多少,求单位“1” 。 方法与分数的方法相同。 解法: (1)方程: 根据数量关系式设未知量为 X,用方程解答。 (2)算术(用除法): 百分率对应量对应百分率 = 单位“1”的量 5、求一个数比另一个数多(少)百分之几的方法与分数的方法相同。只是结果要写 为百分数形式。看百分率前有没有比多或比少的问题; 12 百分率前是“多或少”的关系式: (比少):具体量 (1-百分率

20、)= 单位“1”的量; 例如:大米有 50 千克,比面粉树少 50,面粉有多少千克。 列式是:50(1-50) (比多):具体量 (1+百分率)= 单位“1”的量 例如:工人做 110 个零件,比原计划多做了 10,原计划做多少个? 列式是:110(1+10) 6、求一个数比另一个数多百分之几的方法:方法与分数的方法相同。 用两个数的相差量单位“1”的量 =百分之几 即求一个数比另一个数多百分之几:用(大数小数) 另一个数(比那个数 就除以那个数) ,结果写为百分数形式。 甲比乙多几分之几的问题,方法 A, (甲-乙)乙 (建议用) 方法 B,甲乙-100 例如:老师计划改 40 本作业,实际

21、改了 50 本,实际比计划多改了百分之几? 列式是:(5040)40=0.25=25 求一个数比另一个数少几分之几:用(大数小数) 另一个数(比那个数就 除以那个数) ,结果写为百分数形式。 乙比甲少几分之几的问题,方法 A,(甲-乙)甲(建议用) 方法 B, 100-乙甲 例如:张三家用了 100 度电,李四家用了 90 度电,李四家比张三家少用百分之几? (10090)100=0.1=10 说明:多百分之几不等于少百分之几,因为单位一不同。 13 7、如果甲比乙多或少 a,求乙比甲少或多百分之几,用 a(1a) 8、求价格先降 a又上升 a后的价格:1(1-a)(1+a) (假设原来的 价

22、格为“1” 。求变化幅度(求降价后的价格是涨价后价格的百分之几)用 1-降价 后 第五单元圆的认识 一、认识圆形 1、圆的定义:圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心:将一张圆形纸片对折两次,折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。 一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等. 3、半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 r 表示。把圆规 两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d 表示。直径 是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小。 6、在同一个圆内或等圆内,有无数条半径,有无数条

23、直径。所有的半径都相等, 所有的直径都相等。 7.在同圆或等圆内,直径的长度是半径的 2 倍,半径的长度是直径的 。用字母21 表示为:d=2r 或 r=d2 8、轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这 个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 9、长方形、正方形和圆都是对称图形,都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。 10、只有 1 条对称轴的图形有: 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆;只有 14 2 条对称轴的图形是: 长方形;只有 3 条对称轴的图形是: 等边三角形;只有 4 条对称轴的图形是: 正方形;有无数条对称轴的图形是: 圆、圆环。 、画

24、对称轴要用铅笔画,同时要用尺子(三角板)画出虚线,这条虚线两端 要超出图形一点。 二、圆的周长 1、圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 C 表示。 3、圆周率:任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数,我们把它叫做 圆周率。用字母 (pai) 表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学 家祖冲之。 (1)、一个圆的周长总是它直径的 3 倍多一些,这个比值是一个固定的数。圆周率 是一个无限不循环小数。在计算时,一般取 3.14。 (2)、在判断时,圆周长与它直径的比值是 倍,而不是 3.14 倍。 4、圆的周长公式: 圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示 C= d 或圆的

25、周长 等于乘圆周率乘半径,用字母表示 C=2r (1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率,用字母表示 d = C (2)、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的倍字母表示 r = C 2 5、在一个正方形里画一个最大的圆,圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形 里画一个最大的圆,圆的直径等于长方形的宽。 6、区分周长的一半和半圆的周长: (1)、半圆弧的周长(周长的一半):等于圆的周长2 计算方法:2 r 2 即 C 半= r (2)半圆的周长:等于圆的周长的一半加直径。 计算方法:半圆的周长=5.14 r (推导过程 C 半=2 r 2+d=r+d=r+2r =5.14 r) 15

26、三、圆的面积 1、圆的面积:圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母 S 表示。 2、圆面积公式的推导:(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多,拼成的图 像越接近长方形。长方形的长相当于圆的周长的一半,长方形的宽相当于圆的半 径。 (2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 圆的半径 = 长方形的宽 圆的周长的一半 = 长方形的长 3、圆面积的计算方法:因为:长方形面积 = 长 宽 所以:圆的面积 = 圆周长的一半 圆的半径 即 S 圆 = 2 rr rr 2 圆的面积公式:S 圆 =r 2 4、环形的面积:一个环形,外圆的半径用字母 R 表示,内圆的半径用字母 r 表示。 S 环 = R

27、2-r 2或环形的面积公式:S 环 = (R 2-r )(建议用这个公式) 。 5、一个圆,半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面 积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如:在同一个圆里,半径扩大 3 倍,那么直径和周长就都扩大 3 倍,而面积扩 大 3 的平方倍得到 9 倍。 6、两个圆: 半径比 = 直径比 = 周长比;而面积比等于这比的平方。 16 例如:两个圆的半径比是 23,那么这两个圆的直径比和周长比都是 23,而面 积比是 49 7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值,即:4 8、当长方形,正方形,圆的周长相等时,圆面积最大,正方形居中,长方

28、形面积 最小。反之,面积相同时,长方形的周长最长,正方形居中,圆的周长最短。 9、常用各 值结果: = 3.14;2 = 6.28 ;5=15.7 10、外方内圆(内切圆)公式 S=S 正-S 圆或 S=0.86r2。 11、外圆内方(外切圆):把正方形看成两个面积相等的三角形,三角形的底就 是直径,高是半径,公式 S=S 圆-S 正=S 圆-dr 或 S=1.14r2 12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的 角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。 13、S 扇=S 圆 ;S 扇环=S 环360n360n 14、求阴影部分的面积:S 阴影=大图形

29、的面积-小图形的面积,也可用割补法把 阴影部分组合成一个图形。 第七单元:扇形统计图 一、扇形统计图的意义:用整个圆的面积表示总数,用圆内各个扇形面积表示各 部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比 图)。 二、常用统计图的优点: 1、条形统计图:可以清楚的看出各种数量的多少。 2、折线统计图:不仅可以看出各种数量的多少,还可以清晰看出数量的增减变化 17 情况。 3、扇形统计图:能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。 (要在统计图 上写出百分率) 四、应用:1.会观察统计图。 2、你得到什么数学信息? 回答、*占总体的百分之几;、*占的百分比最多,*占的百分比最少; 3、你还能提什么数学问题:*和*一共占百分之几。

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