1、1 各单元知识点归纳 第一单元分数乘法 一、分数乘法 (一)分数乘法的意义： 1、分数乘整数与整数乘法的意义相同。都是求几个相同加数的和的简便运算。 例如：655 表示求 5 个 65 的和是多少? 5 表示求 5 个 的和是多少?3131 2、一个数乘分数的意义是求一个数的几分之几是多少。 例如： 表示求 的 是多少。4 表示求 4 的 是多少.3174317488 (二)、分数乘法的计算法则： 1、分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。(整数和分母约分) 2、分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。注意：当带 分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行
2、计算。 3、为了计算简便，能约分的要先约分，再计算。 （尽量约分，不会约分的就不约， 常考的质因数有 1111=121；1313=169；1717=289；1919=361） 4、小数乘分数，可以先把小数化为分数，也可以把分数化成小数再计算（建议把 小数化分数再计算） 。 (三)、 乘法中比较大小的规律 一个数(0 除外)乘大于 1 的数，积大于这个数。 一个数(0 除外)乘小于 1 的数(0 除外)，积小于这个数。 一个数(0 除外)乘 1，积等于这个数。 (四)、分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。整数乘法的交换律、 结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 2 乘法交换律： a
3、b = b a 乘法结合律： ( a b )c = a ( b c ) 乘法分配律： ( a + b )c = a c + b c 二、分数乘法的解决问题(已知单位“1”的量(用乘法)，即求单位“1”的几分 之几是多少) 1、画线段图：(1)两个量的关系：画两条线段图，先画单位一的量，注意两条线 段的左边要对齐。(2)部分和整体的关系：画一条线段图。 2、找单位“1”： 单位“1” 在分数句中分数的前面；或在“占” 、 “是” 、 “比” “相当于”的后面。 3、写数量关系式的技巧： (1)“的” 相当于 “” ， “占” 、 “相当于” “是” 、 “比”相当于 “ = ” (2)分数前是“
4、的”字：用单位“1”的量分数=具体量 例如：甲数是 20，甲数的 是多少？列式是：20313 1 4、看分数前有没有多或少的问题；分数前是“多或少”的关系式： （比少）：单位“1”的量(1-分数)=具体量； 例如：甲数是 50，乙数比甲数少 ，乙数是多少？21 列式是：50（1- ）21 （比多）：单位“1”的量(1+分数)=具体量 例如：小红有 30 元钱，小明比小红多 ，小红有多少钱？5 3 列式是：50（1+ ）5 3 3、求一个数的几倍是多少：用 一个数几倍； 3 4、求一个数的几分之几是多少： 用一个数几分之几。 5、求几个几分之几是多少：用几分之几个数 6、求已知一个部分量是总量的
5、几分之几，求另一个部分量的方法： (1)、单位“1”的量(1-分数)=另一个部分量（建议用） (2)、单位“1”的量-已知占单位“1”的几分之几的部分量=要求的部分量 例如：教材 15 页做一做和 16 页练习第七题（题目中有时候会有这种题的关键字 “其中” ） 第二单元位置与方向（二） 1、确定物体位置的方法：1、先找观测点；2、再定方向（看方向夹角的度数） ； 3、最后确定距离（看比例尺） 2、描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。 3、位置关系的相对性：1、两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观 测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。 4、相对位
6、置：东-西；南-北；南偏东-北偏西。 第三单元分数除法 三、倒数 1、倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数。 强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。 (要说清谁是谁的倒数)。 2、求倒数的方法： 4 (1)、求分数的倒数：交换分子分母的位置。 (2)、求整数的倒数：把整数看做分母是 1 的分数，再交换分子分母的位置。 (3)、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。 (4)、求小数的倒数： 把小数化为分数，再求倒数。 3、 1 的倒数是 1； 因为 11=1； 0 没有倒数，因为 0 乘任何数都得 0，(分 母不能为 0) 4、真分数的倒数大于 1;
7、假分数的倒数小于或等于 1;带分数的倒数小于 1。 5、运用，a =b 求 a 和 b 是多少。把 a =b 看成等于 1,也就是求32413241 的倒数和求 的倒数。32 1、分数除法的意义： 乘法： 因数 因数 = 积 除法： 积 一个因数 = 另一个因数 分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另 一个因数的运算。 例如： 意义是：已知两个因数的积是 与其中一个因数 ，求另一个因数2 153 2153 的运算。 2、分数除法的计算法则： 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。 3、分数除法比较大小时的规律： (1)当除数大于 1，商小于被除数; (2)
8、当除数小于 1(不等于 0)，商大于被除数; (3)当除数等于 1，商等于被除数。 5 “ ”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括 号里面的， 再算中括号里面的。 二、分数除法解决问题 1，解法：(1)方程： 根据数量关系式设未知量为 X（一般把单位 1 设为 X） ，用方 程解答。 解：设未知量为 X （一定要解设）,再列方程 用 X分数=具体量 例如：公鸡有 20 只，是母鸡只数的 ，母鸡有多少只。 （单位一是母鸡只数，单31 位一未知.）解：设母鸡有 X 只。列方程为：X =2031 (2)算术(用除法)：单位“1”的量未知用除法： 即已知单位“1”的几分之几是
9、多少，求单位“1”的量。 分数对应量对应分数 = 单位“1”的量 例如：公鸡有 20 只，是母鸡只数的 ，母鸡有多少只。 （单位一是母鸡只数，单31 位一未知， ）用除法，列式是：20 2、看分数前有没有比多或比少的问题； 分数前是“多或少”的关系式： （比少）：具体量 (1-分数)= 单位“1”的量； 例如:桃树有 50 棵，比苹果树少 ，苹果树有多少棵。6 1 列式是：50（1- ）6 1 （比多）：具体量 (1+分数)= 单位“1”的量 例如:一种商品现在是 80 元，比原价增加了 ，原价多少？71 6 列式是：80（1+ ）71 3、求一个数是另一个数的几分之几是多少： 用一个数除以另
10、一个数，结果写 为分数形式。 例如:男生有 20 人，女生有 15 人，女生人数占男生人数的几分之几。 列式是：1520= =20154 3 4、求一个数比另一个数多几分之几的方法： 用两个数的相差量单位“1”的量 =分数 即求一个数比另一个数多几分之几：用（大数小数） 另一个数（比那个数 就除以那个数） ，结果写为分数形式。 例如：5 比 3 多几分之几？（53）3= 3 2 求一个数比另一个数少几分之几：用（大数小数） 另一个数（比那个数就 除以那个数） ，结果写为分数形式。 例如：3 比 5 少几分之几？（53）5= 5 2 说明：多几分之几不等于少几分之几，因为单位一不同。 5、工程问
11、题：把工作总量看作单位“1” ，合做多长时间完成一项工程用 1工作 效率和，即 1（ + ） ， （工作效率= ）时 间A1时 间B时 间1 例如：一项工程甲单独做要 5 天完成，乙单独做要 10 天完成，甲单独做要 3 天完 成，三人合做几天可以完成？列式：1（ + + ）5 103 7 第四单元比 (一)、比的意义 1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。 比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 例如 15 ：10 = 1510= (比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示 )2 3 15 10 2 3 前项 比号
12、 后项 比值 3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。 也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程速度=时间。 4、区分比和比值 比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。 比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。 6、 比和除法、分数的联系： 比 前 项 比号“：” 后 项 比值 除 法 被除数 除号“” 除 数 商 分 数 分 子 分数线“” 分 母 分数值 7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关 系。 8、根据比与除法、分数的关系，可
13、以理解比的后项不能为 0。 9、体育比赛中出现两队的分是 2：0 等，这只是一种记分的形式，不表示两个数 8 相除的关系。 10、求比值：用前项除以后项，结果最好是写为分数（不会约分的就不约分） 例如：15 10 1510 1052 3 (二)、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系： 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0 除外)，商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0 除外)，分数值 不变。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变。 2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整 数比。
14、 3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。 4.化简比： 两个整数比：用比的前项和后项同时乘分母的最大公因数。 两个分数比：用前项和后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法 化简。 两个小数比：比的前项和后项同时向右移动小数点的位置，要移几位都移几位， 先化成整数比再化简。 一个分数和一个整数的比：分数和整数同时乘分数的分母，把分数化成整数再 化简。 一个小数和一个分数的比：先把小数化成分数（能约分的先约分） ，再按化简分 数比的方法化简。 9 (2)用求比值的方法。注意： 最后结果要写成比的形式。 例如： 1510 = 1510 = = 321052 3 还可以 1510
15、= 1510 = 最简整数比是 32 5、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值，结果没有单 位。 6.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例 分配。一般有两种解题法 ，用分率（分数）解:按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分数。要先 求出总份数，再求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几。 例如：有糖水 25 克，糖和水的比为 1:4，糖和水分别有几克？ 1+4=5 糖占 用 25 得到糖的数量，水占 用 25 得到水的数量。5 1515454 2，用份数解：要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多少。 例如：
16、有糖水 25 克，糖和水的比为 1:4，糖和水分别有几克？ 糖和水的份数一共有 1+4=5， 一份就是 255=5，糖有 1 份就是 51，水有 4 分 就是 54 第六单元百分数 一、百分数的意义和写法 （一） 、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分数是指的两个数 的比，因此也叫百分率或百分比。 （二） 、百分数和分数的主要联系与区别： 联系：都可以表示两个量的倍比关系。 10 区别：、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量， 所以不能带单位; 分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具体数时可以带单位。 、百分数的分子可以是整数，也可以是小数;
17、 分数的分子不能是小数，只能是除 0 以外的自然数。 3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“%”来表示， 读作百分之。 二、百分数和分数、小数的互化 (一)百分数与小数的互化： 1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位（数位不够用 0 补足） ，同时在后面 添上百分号。 2. 百分数化成小数：把小数点向左移动两位（数位不够用 0 补足） ，同时去掉百 分号。 (二)百分数的和分数的互化 1、百分数化成分数：先把百分数改写成分母是 100 的分数，能约分要约成最简分 数。 2、分数化成百分数： 用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是 100 的分数，再写成百分 数形
18、式。先把分数化成小数(除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百 分数。 （建议用这种方法） 三、用百分数解决问题 (一)一般应用题 11 1、常见的百分率的计算方法： 一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%，出米率、出油率 达不到 100%，完成率、增长了百分之几等可以超过 100%。 2、求一个数是另一个数的百分之几用一个数除以另一个数，结果写为百分数形式。 例如：例如:男生有 20 人，女生有 15 人，女生人数占男生人数的百分之几。 列式是：1520=15/20=75 3、已知单位“1”的量(用乘法)，求单位“1”的百分之几是多少的问题，数量关 系式和分数乘法解决问
19、题中的关系式相同： (1)百分率前是“的”： 单位“1”的量百分率=百分率对应量 (2 百分率前是“多或少”的数量关系： 单位“1”的量(1百分率)=百分率对应量 4、未知单位“1”的量(用除法)，已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1” 。 方法与分数的方法相同。 解法： (1)方程： 根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。 (2)算术(用除法)： 百分率对应量对应百分率 = 单位“1”的量 5、求一个数比另一个数多(少)百分之几的方法与分数的方法相同。只是结果要写 为百分数形式。看百分率前有没有比多或比少的问题； 12 百分率前是“多或少”的关系式： （比少）：具体量 (1-百分率
20、)= 单位“1”的量； 例如:大米有 50 千克，比面粉树少 50，面粉有多少千克。 列式是：50（1-50） （比多）：具体量 (1+百分率)= 单位“1”的量 例如:工人做 110 个零件，比原计划多做了 10，原计划做多少个？ 列式是：110（1+10） 6、求一个数比另一个数多百分之几的方法：方法与分数的方法相同。 用两个数的相差量单位“1”的量 =百分之几 即求一个数比另一个数多百分之几：用（大数小数） 另一个数（比那个数 就除以那个数） ，结果写为百分数形式。 甲比乙多几分之几的问题，方法 A， （甲-乙）乙 （建议用） 方法 B，甲乙-100 例如：老师计划改 40 本作业，实际
21、改了 50 本，实际比计划多改了百分之几？ 列式是：（5040）40=0.25=25 求一个数比另一个数少几分之几：用（大数小数） 另一个数（比那个数就 除以那个数） ，结果写为百分数形式。 乙比甲少几分之几的问题，方法 A,（甲-乙）甲（建议用） 方法 B， 100-乙甲 例如：张三家用了 100 度电，李四家用了 90 度电，李四家比张三家少用百分之几？ （10090）100=0.1=10 说明：多百分之几不等于少百分之几，因为单位一不同。 13 7、如果甲比乙多或少 a，求乙比甲少或多百分之几，用 a（1a） 8、求价格先降 a又上升 a后的价格：1（1-a）（1+a） （假设原来的 价
22、格为“1” 。求变化幅度（求降价后的价格是涨价后价格的百分之几）用 1-降价 后 第五单元圆的认识 一、认识圆形 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。 2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等. 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 r 表示。把圆规 两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d 表示。直径 是一个圆内最长的线段。 5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 6、在同一个圆内或等圆内，有无数条半径，有无数条
23、直径。所有的半径都相等， 所有的直径都相等。 7.在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的 。用字母21 表示为：d=2r 或 r=d2 8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这 个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。 10、只有 1 条对称轴的图形有： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆;只有 14 2 条对称轴的图形是： 长方形;只有 3 条对称轴的图形是： 等边三角形;只有 4 条对称轴的图形是： 正方形;有无数条对称轴的图形是： 圆、圆环。 、画
24、对称轴要用铅笔画，同时要用尺子（三角板）画出虚线，这条虚线两端 要超出图形一点。 二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母 C 表示。 3、圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做 圆周率。用字母 (pai) 表示。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学 家祖冲之。 (1)、一个圆的周长总是它直径的 3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率 是一个无限不循环小数。在计算时，一般取 3.14。 (2)、在判断时，圆周长与它直径的比值是 倍，而不是 3.14 倍。 4、圆的周长公式： 圆的周长等于圆周率乘直径用字母表示 C= d 或圆的
25、周长 等于乘圆周率乘半径，用字母表示 C=2r (1)、已知圆的周长求直径用圆的周长除以圆周率，用字母表示 d = C (2)、已知圆的周长求半径用圆的周长除以圆周率的倍字母表示 r = C 2 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形 里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 6、区分周长的一半和半圆的周长： (1)、半圆弧的周长（周长的一半）：等于圆的周长2 计算方法：2 r 2 即 C 半= r (2)半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。 计算方法：半圆的周长=5.14 r （推导过程 C 半=2 r 2+d=r+d=r+2r =5.14 r） 15
26、三、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。 用字母 S 表示。 2、圆面积公式的推导：(1)把一个圆等分(偶数份)成的扇形份数越多，拼成的图 像越接近长方形。长方形的长相当于圆的周长的一半，长方形的宽相当于圆的半 径。 (2)拼出的图形与圆的周长和半径的关系。 圆的半径 = 长方形的宽 圆的周长的一半 = 长方形的长 3、圆面积的计算方法：因为：长方形面积 = 长 宽 所以：圆的面积 = 圆周长的一半 圆的半径 即 S 圆 = 2 rr rr 2 圆的面积公式：S 圆 =r 2 4、环形的面积：一个环形，外圆的半径用字母 R 表示，内圆的半径用字母 r 表示。 S 环 = R
27、2-r 2或环形的面积公式：S 环 = (R 2-r )（建议用这个公式） 。 5、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面 积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大 3 倍，那么直径和周长就都扩大 3 倍，而面积扩 大 3 的平方倍得到 9 倍。 6、两个圆： 半径比 = 直径比 = 周长比；而面积比等于这比的平方。 16 例如：两个圆的半径比是 23，那么这两个圆的直径比和周长比都是 23，而面 积比是 49 7、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4 8、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方
28、形面积 最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆的周长最短。 9、常用各 值结果： = 3.14；2 = 6.28 ；5=15.7 10、外方内圆（内切圆）公式 S=S 正-S 圆或 S=0.86r2。 11、外圆内方（外切圆）：把正方形看成两个面积相等的三角形，三角形的底就 是直径，高是半径，公式 S=S 圆-S 正=S 圆-dr 或 S=1.14r2 12、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的 角叫做圆心角。扇形的面积与圆心角大小和半径长短有关。 13、S 扇=S 圆 ；S 扇环=S 环360n360n 14、求阴影部分的面积：S 阴影=大图形
29、的面积-小图形的面积，也可用割补法把 阴影部分组合成一个图形。 第七单元：扇形统计图 一、扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各 部分数量同总数之间的关系。也就是各部分数量占总数的百分比(因此也叫百分比 图)。 二、常用统计图的优点： 1、条形统计图：可以清楚的看出各种数量的多少。 2、折线统计图：不仅可以看出各种数量的多少，还可以清晰看出数量的增减变化 17 情况。 3、扇形统计图：能够清楚的反映出各部分数量同总数之间的关系。 （要在统计图 上写出百分率） 四、应用：1.会观察统计图。 2、你得到什么数学信息？ 回答、*占总体的百分之几；、*占的百分比最多，*占的百分比最少； 3、你还能提什么数学问题：*和*一共占百分之几。
