1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高考 理科数学 模拟考试 试卷 数学(理科)试卷 (时间 120分钟,满分 150 分) 一、 填空 题 ( 本大题共 11小题,每小题 5分,共 55分 ) 1 函数 21xy的反函数 是 _ 2 若复数 3 ( , )12ai a R ii 为 虚 数 单 位是纯虚数,则实数 a=_ 3 函数 44sin cosy x x的最小正周期是 4 22lim21nn Cn = 5 一种彩票,每注售价 2 元,中奖率为 1%,如果每注的奖金为 50元,则购买一注彩票的期望收益是 _元。 6 地球的半径为 R,在北纬 45 东经 30 有一座 城市 A
2、,在北纬 45 东经 120 有一座城市 B,则坐飞机从 A 城市飞到 B 城市的最短距离是_ (飞机的飞行高度忽略不计)。 7 如图所示,这是计算 1 1 1 12 4 6 20 的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是 8 已知直线的极坐标方程为 2sin( )42,则极点到这条直线的距离是 9 ( ) s in 4nf x n N ,则 (1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 0 0 9 )f f f f _ 10如图,将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外作正三角形,并擦去中间一段,得图( 2),如此继续下去,得图( 3) 试用 n表示出第 n个图形的
3、边数 _na = 11三位同学在研究函数 ()1 xfx x (x R) 时,分别给出下面三个结论: 7 题图 n=20SS输 出结 束开 始是否1SSn2nn 函数 ()fx的值域为 ( 1,1) 若 12xx , 则一定有 12( ) ( )f x f x 若规定 1( ) ( )f x f x , 1 ( ) ( )nnf x f f x ,则 ()1n xfx nx 对任意 nN 恒成立 .你认为上述三个结论中正确的个数有 二、 选择题 ( 本大题共 4小题,每小题 5分,共 20 分在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的 ) 12 等差数列 na 的前 n 项和为 nS
4、,若 15S 为一确定常数,下列各式也为确定常数的是( ) A 2 13aa B 2 13aa C 1 8 15a a a D 1 8 15a a a 13 1i 是实系数方程 2 0x ax b 的一个虚数根,则 直线 1ax by与圆 C: 221xy交点 的 个数 是 ( ) A 2 B 1 C 0 D以上都可能 14 在 ABC 中 ,“AB ”是 “ 22cos cosAB ”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 15 椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点 。 今有一个水平放置的
5、椭圆形台球盘,点 A 、 B 是它的焦点,长轴长为 2a ,焦距为 2c ,静放在点 A 的小球(小球的半径不计),从点 A 沿直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是 ( ) A 4a B 2( )ac C 2( )ac D以上答案均有可能 三、解答题(本大题有 5道题,共 75分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程) 16 (本题满分 12 分 ) 已知函数1 s in 3 c o s( ) 0 s in s in2 0 0xxf x x xm 的定义域为 0,2, 最大 值 为 4试求函数( ) s i n 2 c o s ( )g x m x x x R 的最小
6、正周期和最值 17 (本小题满分 14分 第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分 ) 圆锥的轴截面是等腰直角三角形,如图所示,底面圆的半径为 1,点 O 是圆心,过顶点 S的截面 SAB 与底面所成的二面角是 060 , ( 1)求截面 SAB 的面积; ( 2)求点 O 到截面 SAB 的距离。 18 (本小题满分 15分 第 1 小题 7 分, 第 2 小题 8 分 ) 为减少世博中心区域内的环境污染,有关部门决定,从 2006 年开始停止办理世博中心区域内摩托车入户手续 .此时该区域内居民摩托车拥有量已达 1.6 万辆 .据测算,每 7 辆摩托车排放污染物总量等于一辆公交车排放的污染
7、物,而每辆摩托车的运送能力是一辆公交车运送能力的 4%.若从 2006 年年初起 n 年内退役部分摩托车,第一年退役 a 万辆,以后每年退役的摩托车数量是上一年的 80%,同时增加公交车的数量,使新增公交车的运送能力等于退役摩托车原有的运送能力 . ( 1)求 n 年内新增公交车的总量 nS (万辆) ; ( 2)要求到 2010 年年初,剩余摩托车与新增公交车排放污染物的总量不超过原有 1.6万辆摩托车排放污染物总量的一半,假定每辆摩托车排放污染物数量为 b ,问第一年至少退役摩托车多少万辆?(精确到 0.01) 19(本题满分 16分, 第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3
8、小题 6 分 ) 设 1F 、 2F 分别是椭圆 ( )22 10xy abab+ = 的左、右焦点,其右焦点是直线 1yx与x 轴的交点,短轴的长是焦距的 2倍 . ( 1)求椭圆的方程; ( 2)若 P是该椭圆上的一个动点,求 21 PFPF 的最大值和最小值; ( 3) 是否存在过点 A( 5, 0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、 D,使得 |F2C|=|F2D|?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由 . 20. (本题 18分,其中( 1)题 4分,( 2)题 6分,( 3)题 8分) 对于定义在 R 上的函数 )(xf ,可以证明点 ( , )A m n 是 )(
9、xf 图像的一个对称点的充要条件是 ( ) ( ) 2f m x f m x n , Rx . (1) 求函数 23 3)( xxxf 图像的一个对称点; ( 2) 函数 32( ) 2 ,f x a x b x a b R 在 R 上是奇函数,求 a,b满足的条件;并讨论在区间 -1, 1上是否存在常数 a,使得 2( ) 4 2f x x x 恒成立? ( 3)试写出 函数 )(xfy 的图像 关于 直线 xm 对称 的充要条件(不用证明);利用所学知识,研究 函数 32( ) ,f x a x b x a b R 图像的对称 性。 数学理科答案 一、 填空 题 1 2lo g 1 1y
10、x x 2 6 3 2 4 14 5 1.5 6 3R 7 20n 8 22 9 22 10 134n- 11 3 二、 选择题 12 C 13 A 14 C 15 D 三、解答 题 16 解: 2( ) 2 s i n 2 3 s i n c o sf x m x m x x 2 sin ( 2 )6m x m 0,2x 72,6 6 6x 1sin ( 2 ) ,162x 4 当 m 0 时, max()fx 12 ( ) 42mm , 解得 2m , 6 从而, ( ) 2 s i n 2 c o s 2 2 s i n ( )4g x x x x ()xR , T=2 ,最大值为 22
11、,最小值为 22 ; 8 当 m 0 时, max()fx 2 1 4mm , 解得 4m , 10 从而, 1( ) 4 s in 2 c o s 2 5 s in a r c ta n2g x x x x , T=2 ,最大值为 25,最小值为 25 12 17 解:( 1)取 AB 中点 C,连接 OC, SC,则 SCO= 060 SO=1,所以 OC= 33 , SC= 233 , AB= 63 截面 SAB 的面积= 1 1 6 2 3 22 2 3 3 3A B S C ( 2)在 Rt SOC 中,作 OD SC ,则 OD 即为 所求, SO OCOD SC31132233
12、18 解:( 1)设 2006年底退役摩托车为 1a 万辆, 2007 年底为 2a 万辆,依次类推,则: 1a =a, nn aa 8.01 所以 n年内 退役的摩托车数量是 S = 1a + naa 2 = )8.01(58.01 )8.01( nn aa 所以 n 年内新增公交车的总量 nS =5a( )8.01 n 4%=0.2a( n8.01 ) ( 2) 到 2010 年年初退役的摩托车数量是: )8.01(5 4a 剩余的摩托车数量是: 1.6- )8.01(5 4a 新增公交车的数量 4S )8.01(2.0 4a 依题 : 1.6- )8.01(5 4a b+ )8.01(2
13、.0 4a 7b 0.5 1.6b 解得: a 0.38 所以 第一年至少退役摩托车 0.38 万辆 19 解:( 1)易知直线 1yx与 x 轴的交点是 1,0 ,所以 1c ,且 22bc, 所以椭圆的方程是 22154xy+= 4分 ( 2)易知 12( 1, 0), (1, 0)FF 6分 设 P( x, y),则 1),1(),1( 2221 yxyxyxPFPF = 3511544 222 xxx 8分 5,5x , 0 x当 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, 21 PFPF 有最小值 3; 当 5x ,即点 P为椭圆长轴端点时, 21 PFPF 有最大值 4 10分 ( 3) 设
14、,Mxy ,则 P点坐标为 2 5,2xy , 12分 代入椭圆方程,得: ( ) ( )222 5 2 154xy- +=, 即 ( )2 225 15x y- += 16 分 20. 解: (1)解:设 ( , )A mn 为函数 23 3)( xxxf 图像的一个对称点,则( ) ( ) 2f m x f m x n 对于 Rx 恒成立 . 即 3 2 3 2( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) 2m x m x m x m x n 对于 Rx 恒成立, (2分 ) 2 3 2(6 6 ) ( 2 6 2 ) 0m x m m n 由326 6 0 122 6 2 0m mnm m n
15、 , 故函数 )(xf 图像的一个对称点为 )2,1( . (4分 ) ( 2) , 时, (x)是奇函数。 不存在常数 a 使 2( ) 4 2f x x x x -1, 1 时恒成立。 依题,此时 3()f x ax 令 2( ) 4 2g x x x x -1, 1 ()gx 7, 1 若 a=0, ()fx 0,不合题; 若 a0, 3()f x ax 此时为单调增函数, ()fx min a. 若存在 a 合题,则 -a 1,与 a0 矛盾。 若 a0, 3()f x ax 此时为单调减函数, ()fx min a 若存在 a 合题,则 a 1,与 a0 矛盾。 综上可知,符合条件的
16、 a 不存在。 10分 ( 3) 函数)(xfy的图像关于直线 xm 对称的充要条件是 ( ) ( )f m x f m x (12分 ) 0ab 时, ( ) 0f x x R,其图像关于 x 轴上任意一点成中心对称;关于平行于 y轴的任意一条直线成轴对称图形; 0, 0ab时, 2()f x bx x R,其图像关于 y 轴对称图形; 0, 0ab时, 3()f x ax ,其图像关于原点中心对称; 0, 0ab时, 32()f x ax bx的图像不可能是轴对称图形。 设 ( , )A m n 为函数 32()f x ax bx图像的一个对称点,则 ( ) ( ) 2f m x f m x n 对于 Rx 恒成立 . 即 3 2 3 2( ) ( ) ( ) ( ) 2a m x b m x a m x b m x n 对于 Rx 恒成立, 2 3 2( 3 ) ( ) 0a m b x a m b m n 由 3 2 3230 30227bmam b aam bm n bna , 故函数 )(xf 图像的一个对称点为 322( , )3 27bbaa. (18分 )
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