1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高考 理科数学 模拟考试 试卷 数学（理科）试卷 （时间 120分钟，满分 150 分） 一、 填空 题 （ 本大题共 11小题，每小题 5分，共 55分 ） 1 函数 21xy的反函数 是 _ 2 若复数 3 ( , )12ai a R ii 为 虚 数 单 位是纯虚数，则实数 a=_ 3 函数 44sin cosy x x的最小正周期是 4 22lim21nn Cn = 5 一种彩票，每注售价 2 元，中奖率为 1%，如果每注的奖金为 50元，则购买一注彩票的期望收益是 _元。 6 地球的半径为 R，在北纬 45 东经 30 有一座 城市 A
2、，在北纬 45 东经 120 有一座城市 B，则坐飞机从 A 城市飞到 B 城市的最短距离是_ （飞机的飞行高度忽略不计）。 7 如图所示，这是计算 1 1 1 12 4 6 20 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 8 已知直线的极坐标方程为 2sin( )42，则极点到这条直线的距离是 9 ( ) s in 4nf x n N ，则 (1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 2 0 0 9 )f f f f _ 10如图，将一个边长为 1 的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图（ 2），如此继续下去，得图（ 3） 试用 n表示出第 n个图形的
3、边数 _na = 11三位同学在研究函数 ()1 xfx x (x R) 时，分别给出下面三个结论： 7 题图 n=20SS输 出结 束开 始是否1SSn2nn 函数 ()fx的值域为 ( 1,1) 若 12xx ， 则一定有 12( ) ( )f x f x 若规定 1( ) ( )f x f x ， 1 ( ) ( )nnf x f f x ，则 ()1n xfx nx 对任意 nN 恒成立 .你认为上述三个结论中正确的个数有 二、 选择题 （ 本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 ） 12 等差数列 na 的前 n 项和为 nS
4、，若 15S 为一确定常数，下列各式也为确定常数的是（ ） A 2 13aa B 2 13aa C 1 8 15a a a D 1 8 15a a a 13 1i 是实系数方程 2 0x ax b 的一个虚数根，则 直线 1ax by与圆 C： 221xy交点 的 个数 是 （ ） A 2 B 1 C 0 D以上都可能 14 在 ABC 中 ,“AB ”是 “ 22cos cosAB ”的 （ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 15 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点 。 今有一个水平放置的
5、椭圆形台球盘，点 A 、 B 是它的焦点，长轴长为 2a ，焦距为 2c ，静放在点 A 的小球（小球的半径不计），从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 （ ） A 4a B 2( )ac C 2( )ac D以上答案均有可能 三、解答题（本大题有 5道题，共 75分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 16 (本题满分 12 分 ) 已知函数1 s in 3 c o s( ) 0 s in s in2 0 0xxf x x xm 的定义域为 0,2， 最大 值 为 4试求函数( ) s i n 2 c o s ( )g x m x x x R 的最小
6、正周期和最值 17 （本小题满分 14分 第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分 ) 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，如图所示，底面圆的半径为 1，点 O 是圆心，过顶点 S的截面 SAB 与底面所成的二面角是 060 ， （ 1）求截面 SAB 的面积； （ 2）求点 O 到截面 SAB 的距离。 18 （本小题满分 15分 第 1 小题 7 分， 第 2 小题 8 分 ) 为减少世博中心区域内的环境污染，有关部门决定，从 2006 年开始停止办理世博中心区域内摩托车入户手续 .此时该区域内居民摩托车拥有量已达 1.6 万辆 .据测算，每 7 辆摩托车排放污染物总量等于一辆公交车排放的污染
7、物，而每辆摩托车的运送能力是一辆公交车运送能力的 4%.若从 2006 年年初起 n 年内退役部分摩托车，第一年退役 a 万辆，以后每年退役的摩托车数量是上一年的 80%，同时增加公交车的数量，使新增公交车的运送能力等于退役摩托车原有的运送能力 . （ 1）求 n 年内新增公交车的总量 nS （万辆） ; （ 2）要求到 2010 年年初，剩余摩托车与新增公交车排放污染物的总量不超过原有 1.6万辆摩托车排放污染物总量的一半，假定每辆摩托车排放污染物数量为 b ,问第一年至少退役摩托车多少万辆？（精确到 0.01） 19（本题满分 16分， 第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3
8、小题 6 分 ) 设 1F 、 2F 分别是椭圆 ( )22 10xy abab+ = 的左、右焦点，其右焦点是直线 1yx与x 轴的交点，短轴的长是焦距的 2倍 . （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若 P是该椭圆上的一个动点，求 21 PFPF 的最大值和最小值； （ 3） 是否存在过点 A（ 5， 0）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、 D，使得 |F2C|=|F2D|？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 . 20. （本题 18分，其中（ 1）题 4分，（ 2）题 6分，（ 3）题 8分） 对于定义在 R 上的函数 )(xf ，可以证明点 ( , )A m n 是 )(
9、xf 图像的一个对称点的充要条件是 ( ) ( ) 2f m x f m x n , Rx . (1) 求函数 23 3)( xxxf 图像的一个对称点； （ 2） 函数 32( ) 2 ,f x a x b x a b R 在 R 上是奇函数，求 a,b满足的条件；并讨论在区间 -1， 1上是否存在常数 a，使得 2( ) 4 2f x x x 恒成立？ （ 3）试写出 函数 )(xfy 的图像 关于 直线 xm 对称 的充要条件（不用证明）；利用所学知识，研究 函数 32( ) ,f x a x b x a b R 图像的对称 性。 数学理科答案 一、 填空 题 1 2lo g 1 1y
10、x x 2 6 3 2 4 14 5 1.5 6 3R 7 20n 8 22 9 22 10 134n- 11 3 二、 选择题 12 C 13 A 14 C 15 D 三、解答 题 16 解： 2( ) 2 s i n 2 3 s i n c o sf x m x m x x 2 sin ( 2 )6m x m 0,2x 72,6 6 6x 1sin ( 2 ) ,162x 4 当 m 0 时， max()fx 12 ( ) 42mm ， 解得 2m ， 6 从而， ( ) 2 s i n 2 c o s 2 2 s i n ( )4g x x x x ()xR ， T=2 ，最大值为 22
11、，最小值为 22 ； 8 当 m 0 时， max()fx 2 1 4mm ， 解得 4m ， 10 从而， 1( ) 4 s in 2 c o s 2 5 s in a r c ta n2g x x x x ， T=2 ，最大值为 25，最小值为 25 12 17 解：（ 1）取 AB 中点 C，连接 OC， SC，则 SCO= 060 SO=1,所以 OC= 33 ， SC= 233 ， AB= 63 截面 SAB 的面积= 1 1 6 2 3 22 2 3 3 3A B S C （ 2）在 Rt SOC 中，作 OD SC ，则 OD 即为 所求， SO OCOD SC31132233
12、18 解：（ 1）设 2006年底退役摩托车为 1a 万辆， 2007 年底为 2a 万辆，依次类推，则： 1a =a， nn aa 8.01 所以 n年内 退役的摩托车数量是 S = 1a + naa 2 = )8.01(58.01 )8.01( nn aa 所以 n 年内新增公交车的总量 nS =5a（ )8.01 n 4%=0.2a（ n8.01 ） （ 2） 到 2010 年年初退役的摩托车数量是： )8.01(5 4a 剩余的摩托车数量是： 1.6- )8.01(5 4a 新增公交车的数量 4S )8.01(2.0 4a 依题 ： 1.6- )8.01(5 4a b+ )8.01(2
13、.0 4a 7b 0.5 1.6b 解得： a 0.38 所以 第一年至少退役摩托车 0.38 万辆 19 解：（ 1）易知直线 1yx与 x 轴的交点是 1,0 ，所以 1c ，且 22bc， 所以椭圆的方程是 22154xy+= 4分 （ 2）易知 12( 1, 0), (1, 0)FF 6分 设 P（ x， y），则 1),1(),1( 2221 yxyxyxPFPF = 3511544 222 xxx 8分 5,5x ， 0 x当 ，即点 P 为椭圆短轴端点时， 21 PFPF 有最小值 3； 当 5x ，即点 P为椭圆长轴端点时， 21 PFPF 有最大值 4 10分 （ 3） 设
14、,Mxy ，则 P点坐标为 2 5,2xy ， 12分 代入椭圆方程，得： ( ) ( )222 5 2 154xy- +=， 即 ( )2 225 15x y- += 16 分 20. 解： (1)解：设 ( , )A mn 为函数 23 3)( xxxf 图像的一个对称点，则( ) ( ) 2f m x f m x n 对于 Rx 恒成立 . 即 3 2 3 2( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) 2m x m x m x m x n 对于 Rx 恒成立， (2分 ) 2 3 2(6 6 ) ( 2 6 2 ) 0m x m m n 由326 6 0 122 6 2 0m mnm m n
15、 ， 故函数 )(xf 图像的一个对称点为 )2,1( . (4分 ) （ 2） ， 时， (x)是奇函数。 不存在常数 a 使 2( ) 4 2f x x x x -1， 1 时恒成立。 依题，此时 3()f x ax 令 2( ) 4 2g x x x x -1， 1 ()gx 7， 1 若 a=0, ()fx 0，不合题； 若 a0, 3()f x ax 此时为单调增函数， ()fx min a. 若存在 a 合题，则 -a 1,与 a0 矛盾。 若 a0, 3()f x ax 此时为单调减函数， ()fx min a 若存在 a 合题，则 a 1，与 a0 矛盾。 综上可知，符合条件的
16、 a 不存在。 10分 （ 3） 函数)(xfy的图像关于直线 xm 对称的充要条件是 ( ) ( )f m x f m x (12分 ) 0ab 时， ( ) 0f x x R，其图像关于 x 轴上任意一点成中心对称；关于平行于 y轴的任意一条直线成轴对称图形； 0, 0ab时， 2()f x bx x R，其图像关于 y 轴对称图形； 0, 0ab时， 3()f x ax ，其图像关于原点中心对称； 0, 0ab时， 32()f x ax bx的图像不可能是轴对称图形。 设 ( , )A m n 为函数 32()f x ax bx图像的一个对称点，则 ( ) ( ) 2f m x f m x n 对于 Rx 恒成立 . 即 3 2 3 2( ) ( ) ( ) ( ) 2a m x b m x a m x b m x n 对于 Rx 恒成立， 2 3 2( 3 ) ( ) 0a m b x a m b m n 由 3 2 3230 30227bmam b aam bm n bna ， 故函数 )(xf 图像的一个对称点为 322( , )3 27bbaa. (18分 )
