1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09届 高考理科数学 4 月月考 试题 数学试题 (理科 ) 一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 5分,满分 60分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的,请将答案涂在机读卡上) 1设集合 213|, xyyxA, 0164|, ayxyxB ,若 BA ,则 a的值为 A 4 B 2 C 4或 2 D 4或 2 2不等式 |x| (1 2x)0的解集是 A 21,B 21,00, C ,21D 21,03设 a 、 b 是两个不共线的向量,向量 a + b 与 (b 2a )共线的充要条件是等于 A 0 B 1 C 2 D 2
2、1 4等比数列 na 是递增数列,其前 n项的积为 Tn,若 T13=4T9, 则 a7 a16= A 2 B 2 C 4 D 4 5下面四个命题: 过空间一点有且仅有一条直线与两条异面直线都相交; 与三条两两异面的直线都相交的直线有无数条; 直线 a、 b异面,过 a有且只有一个平面与 b平行; 直线 a、 b异面,过 a有且只有一个平面与 b垂直 其中正确命题的序号是 A B C D 6在 ABC中, sinA=53 , cosB=135 ,则 cosC= A 6516 B 6556 C 65566516或 D 65566516或 7已知 0321 aaa ,则使 (1 aix)21 (i
3、 =1, 2, 3)都 成立的 x的取值范围是 A 11,0a B 12,0a C 31,0a D 32,0a 8要从 10 名女生和 5 名男生中选取 6名学生组成课外兴趣小组,如果按性别分层抽样,则能组成课外兴趣小组的概率是 A61525410C CC B61535310C CC C615615ACD 61525410A CC 9双曲线 0122 yxt 的一条渐近线与直线 2x+y+t=0垂直,则双曲线的离心率为 A 5 B 25 C 23 D 3 10某地区对一次高三诊断性考试进行抽样分析:考生成绩 符合正态分布 N 2( , ) ,且“语、数、外、综”总分平均分为 450分,标准差为
4、 120由以往各年的高考情况可知该地区一本上线率约为 20%,可划出该地区这次诊断考试的模拟一本分数线约为(参考数据:(0.85) 0.80 ) A 450 B 535 C 570 D 552 11若直线 1byax 过点 M(cos ,sin ),则 A 122 ba B 122 ba C 11122 baD 11122 ba12十进制“逢 10 进一”,二进制“逢 2进一”, 十六进制“逢 16 进一” .十进制用 0, 1,2 9这十个数字记数;二进制只需 0, 1两个数字记数;“十六进制”则需用 0, 1, 2,3 9, A, B, C, D, E、 F(从小到大)这十六个数字或表示数
5、的字母记数如:二进制数 (110101)2 化为十进制 数是 5321212121 0245 ,那么十进制数2009等于 A (11111011001)2 B (11000110101)2 C (7D9)16 D (8C9)16 二、填空题: (每小题 4分,共 16 分 ) 13.在 2 , 5 , 7 ,3A B C A A B B C A B C 中 , 若 则 的 面 积 ; 14.已知P是直线3 4 80xy上的动点,P P是圆22 2 2 10x y x y的两条切线,,AB是切点, 是圆心 ,那么四边形C面积的最小值时,弦 AB ; 15. 已知 3, 3A,O为原点,点 ,Px
6、y的坐标满足303 2 00xyxyy ,则OA OPOA的最大值是 _,此时点 的坐标是 _. 16.下面有五个命题: 函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是. 终边在 y轴上的角的集合是 a|a=Zkk ,2. 在同一坐标系中,函数 y=sinx的图象和函数 y=x的图象有三个公共点 . 把函数.2sin36)32sin (3 的图象得到的图象向右平移 xyxy 函数.0)2sin ( 上是减函数,在 xy所有正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上) 三解答题: 17.( 12 分)已知 ABC的面积 S满足 3 S 3 3 且 BCABBCAB 与,6 的夹角为 ,
7、 ( )求 的取值范围; ()求 22s i n 2 s i n c o s 3 c o s f ( ) = 的最小值。 18(本小题满分 12分) 某高校自愿献血的 50 位学生的血型分布的情况如下表: 血型 A B AB O 人数 20 10 5 15 ()从这 50位学生中随机选出 2人,求这 2人血型都为 A型的概率; ()从这 50位学生中随机选出 2人,求这 2人血型相同的概率; ()现有一位血型为 A型的病人需要输血,要从血型为 A,O的学生中随机选出 2人准备献血,记选出 A型血的人数为,求随机变量的分布列及数学期望 19(本小题满分 12分)四棱锥 P ABCD中,底面 AB
8、CD 是边长为 2的正方形, PB BC, PD CD,且 PA=2, E点满足PE31 ( I)求证: PA 平面 ABCD; ( II)求二面角 E AC D的大小; ( III)在线段 BC 上是否存在点 F使得 PF 面 EAC?若存在,确定 F的位置;若不存在,请说明理由。 D P E C A B 20、椭圆 C 的中心在原点 O ,它的短轴长为 22,相应的焦点 1 0Fc, ( 0c )的准线 l 与 x 轴相交于 A , 112OF F A ( 1)求椭圆的方程; ( 2)过椭圆 C 的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线 l ,交椭圆于 PQ、 两点,若点 M在 x 轴上,且
9、使 2MF 为 MPQ 的一条角平分线,则称点 M 为椭圆的“左特征点”,求椭圆 C 的左特征点; ( 3)根据( 2)中结论,猜测椭圆 22221xyab左特征点位置 21、设 nS 是正项数列 na 的前 n 项和,且 21 1 34 2 4n n nS a a ( 1)求数列 na 的通项 公式; ( 2)是否存在等比数列 nb ,使 11 1 2 2 2 1 2 2nnna b a b a b n 对一切正整数都成立?并证明你的结论 ( 3)设 *11n nc n Na,且数列 nc 的前 n 项和为 nT ,试比较 nT 与 16 的大小 22、已知函数 1l n 0f x x ax
10、 xx , ,( a 为实常数) ( 1)当 0a 时,求 fx最小值; ( 2)若 fx在 2, 是单调函数,求 a 的取值范围; ( 3 ) 设 各 项 为 正 的 无 穷 数 列 nx 满足 *11l n 1nnx n Nx , 证 明 : *1nx n N 数学(理)答案 一、选择题:( 60 分,第小题 6分) 1 5CBDAB 6 10ABABD 11 12 DA 二、填空题: 13. 答案: 4315 14.答案 423 解:过圆心 C( 1, 1)作直线3 4 80xy的垂线,垂足为 P,这时 四边形PACB面积的最小值为 22,四边形PACB中 42, 3 , 3A B C
11、P C P A B m a x( , ) ( 3 , 3 ) 3 315.9 3 2 3( 1 , 3 ) 3 ( 1 , 3 )O A O P x y x yOAP B P P设 P(x,y), 则 Z=当 点 与 点 重 合 时 , 即 时 , Z ,44sin c o s c o s 2 1x x x 最 小 正 周 期 为 , ( ) 正 确 . 终边在 y轴上的角的集合是 , ( 2) .2k 不 正 确 函数 y=sinx的图象和函数 y=x的图象只有一个交点,因此( 3)不正确 . 3 sin 2 ( ) 3 sin 2 , ( 4 )63y x x 正 确 . s i n (
12、) 0 ,2yx 在 上 为 增 函 数 , ( 5 ) 不 正 确 . 16.答案: P B A C y x 17.解()由题意知 6c o s| BCABBCAB c o s6| BCAB t a n3s i nc o s621s i n|21)s i n (|21 BCABBCABS 3分 333 S 3t a n133t a n33 即 4分 BCAB与是 的夹角 ,0 3,4 6分 () 222 c o s22s i n1c o s2c o ss i n2s i n)(f )42(222c o s2s in22 9分 3,4 1211,4342 a )(3121142 f时即当当 有
13、最小值。 )(f 的最小值是 233 12 分 18 解:()记“这 2人 血型都为 A型”为事件 A,那么220250 38() 245CPA C, 即这 2人血型都为 A型的概率是38245 4 分 ()记“这 2人血型相同”为事件 B,那么2 2 2 220 10 5 15250 350 2() 1225 7C C C CPB C , 所以这 2人血型相同的概率是27 8分 ()随机变量可能取的值为 0, 1, 2且215235 3( 0) 17CP C , 1120 15235 60( 1) 119CCP C ,220235 38( 2) 119CP C 所以的分布列是 0 1 2 P
14、3176011938的数学期望为 E=03+1 +2 =136 8119 7 12分 19解: 证明:在正方形 ABCD中, AB BC 又 PB BC BC面 PAB BC PA 同理 CD PA PA面 ABCD 4分 在 AD 上取一点 O使 AO= 31AD, 连接 E, O, 则 EO PA, EO面 ABCD 过点 O做 OH AC 交 AC 于 H点,连接 EH,则 EH AC, 从而 EHO为二面角 E AC D的平面角 6分 在 PAD中, EO 32AP 34在 AHO中 HAO 45 , HO AOsin45= 323222 , tan EHO22HOEO, 二面角 E
15、AC D等于 arctan28分 当 F为 BC 中点时, PF面 EAC,理由如下: AD 2FC, 21ADFCSDFS,又由已知有 21EDPE, PF ES PF面 EAC, EC面 EAC PF面 EAC, 即当 F为 BC 中点时, PF面 EAC 12分 20、解:( 1)由条件知 2 2 2b ,可设椭圆方程为 222 12xya 又2222 62 2ac aacc cc 椭圆方程为 22162xy 4分 ( 2)设左特征点为 0Mm, ,左焦点为 2 20F , ,可设直线 PQ 的方程为2.yx k 由 2yx k与 22162xy,消去 x 得 22143 2 0yykk
16、 又设 1 1 2 2P x y Q x y, 、 ,则 12 2413kyy k 212 2213kyy k 6分 因为 2MF 为 PMQ 的角平分线,所以 PM QMkk 0 ,即 H O S F E P D C B A 12120yyx m x m 将 11 2yx k与 22 2yx k代入化简,得 1 2 1 2 1 22 20y y y m y yk 再将代入得 2222 2 4201 3 1 3kkmk k k 3m 即左特征点为 30M , 10 分 ( 3)椭圆的左准线与 x 轴的交点为 30, ,故猜测椭圆的左特征点为左准线与 x 轴的交点 12 分 21、解:( 1)
17、21 1 34 2 4n n nS a a 得 21 1 11 1 34 2 4n n nS a a ,相减并整理为 11 20n n n na a a a 又由于 1 0nnaa ,则 1 2nnaa ,故 na 是等差数列 21 1 1 11 1 3 04 2 4a S a a , 1 3a,故 21nan 3分 ( 2 )当 12n, 时, 231 1 1 1 2 22 2 1 1 2 6 2 2 2 1 2 26a b a b a b , 可解得, 1224bb, , ,猜想 2nnb 使 11 1 2 2 2 2 1 2nnna b a b a b n 成立 5分 下面证明 2 3
18、13 2 5 2 7 2 2 1 2 2 2 1 2nnnn 恒成立 令 233 2 5 2 7 2 2 1 2 nSn 2 3 4 12 3 2 5 2 7 2 2 1 2 n 可得 1 1 12 1 2 2 2 2 2 1 2 2n n nS n n 8分 ( 3) 21 1 1 1 12 1 2 3 2 2 1 2 322nC n n n nn 则12 1 1 1 1 1 1 12 3 5 5 7 2 1 2 3nnT c c c nn 1 1 1 12 3 2 3 6n ,故 16nT 12 分 22、解( 1) 2221 1 1ax xf x ax x x ,当 0a 时, 2 1x
19、fx x , 01x时, 0; 1f x x 时 0fx 故 m in 11f x f 3分 ( 2) 2221 1 1ax xf x ax x x ,显然 0a 时, 0fx 符合要求; 当 0a 时,令 2 1g x a x x x g x , , 故此时 fx在 2, 上只能是单调递减的 故 1 4 0a 或 0201 22ga 解得 14a ,可知 1 04a , , 8分 ( 3)反证法:不妨设 1 1xb,由( 2)知11l n 1 l nn nnnxb xb x x 故 *11lnnnb b n Nxx 故1 2 31 1 11 l n l n l nb b b bx x b x 2 4l n 1 1l n l nbbbb b x 22 21 1 1 1 1 1 1 1l n 1 l n 1n n nnb b b b x b b b 21 1 1 11 l i m l n 1 l n11nn bbb b bb 又由( 2)知当 1b 时, 1ln 1b b,故 11ln 1 ln 111bbbb , ,这与上面结论矛盾 故 1 1x, 同理 *231 1 1nx x x n N , , , 14 分
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