1、 本资料来源于七彩教育网 http:/ 09 年高考 理科数学 模拟考试 试卷 数学试卷 (理工类) (完卷时间: 120 分钟 满分: 150 分) 一、填空题 : (共 55 分,每小题 5 分) 1、方程 233lo g ( 1 0 ) 1 lo gxx- = +的解是 。 2、不等式 1223 x 的解集为 。 3、已知复数 z i 为纯虚数,则实数 a= 。 4、在极坐标系中, O 是极点,设点 )6,4( A , )65,2( B ,则三角形 OAB 的面积为 5、若 51 xa的二项展开式中含 3x 项的系数是 80,则实数 a 的值为 6、在 1, 2, 3, 4, 5 这五个
2、数字中任取不重复的 3 个数字组成一个三位数,则组成的三位数是奇数的概率是 。(用分数表示) 7、 关于函数 xxxf 2arcsin 有下列命题: xf 的定义域是 R ; xf 是偶函数; xf 在定义域内是增函数; xf 的最大值是 4 ,最小值是 0 。其中正确的命题是 。(写出你所认为正确的所有命题序号) 8、已知直角三角形的两直角边长分别为 3cm 和 4cm,则以斜边为轴旋转一周所得几何体的表面积为 。 9、已知各项均为正数的等比数列 na 的首项 11a ,公比为 q ,前 n 项和为 nS ,若1lim 1 nnn SS ,则公比为 q 的取值范围是 。 10、设实数 yx,
3、 满足 1)1( 22 yx ,若对满足条件 yx, ,不等式 0 cyx 恒成立,则 c 的取值范围是 。 11、现有 31 行 67 列表格一个,每个小格都只填 1 个数,从左上角开始,第一行依次为 1,2, 67 ;第二行依次为 68, 69134 ; 依次把表格填满 。现将此 表格 的数按另一方式填写,从左上角开始,第一列从上到下依次为 1, 2 , 31;第二列从上到下依次为 32, 33, ,62; 依次把表格填满 。对于上述两种填法,在同一小格里两次填写的数相同,这样的小格在表格中共有 _个 。 二、选择题 : (共 20 分,每小题 5 分) 12、条件 p:不等式 1)1(l
4、og2 x 的解;条件 q:不等式 0322 xx 的解。则 p 是 q的 ( ) A、充分非必要条件; B、必要非充分条件; C、充要条件; D、非充分非必要条件。 13、如图给出了一个算法流程图,该算法流程图的功能是( ) A、求三个数中最大的数 B、求三个数中最小的数 C、按从小到大排列 D、按从大到小排列 14、在正方体 1111- DCBAABCD 中,点 E 在 A1C1 上,111 41 CAEA 且 ADzAByAAxAE 1 ,则 ( )。 ( A) 2121,1 zyx , ,( B) 211,21 zyx , , ( C)2131,1 zyx ,( D) 4141,1 z
5、yx , . 15、设函数 ()fx的定义域为 D,如果对于任意 1x D,存在唯一的 2x D 使 12( ) ( )f x f x开始 输入 a,b,c ab ac 输出 a 是 结束 a c 否 是 否 a b E D 1CA B C 1A1BD1 第 14 题 c( c 为常数)成立,则称函数 ()y f x 在 D 上 “与 常数 c 关联 ”。 现有函数: 2yx ; 2sinyx ; 2logxy ; 2xy , 其中 满足在其定义域上 “与常数 4 关联 ”的所有函数是 -( ) ( A) ( B) ( C) ( D) 三、简答题( 75 分) 16、 (本题 12 分,第(
6、1)小题 6 分,第( 2)小题 6 分) 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中 , ABC=90, AB=BC=1. (1)求异面直线 B1C1与 AC 所成角的大小; (2)若直线 A1C 与平面 ABC 所成角为 45, 求三棱锥 A1-ABC 的体积 . 17、 (本题 14 分,第( 1)小题 6 分,第( 2)小题 8 分) 已知函数 .3c o s33c o s3s in)( 2 xxxxf ( 1)将 ()fx写成 )sin( xA 的形式,并求其图象对称中心的横坐标; ( 2)如果 ABC 的三边 a、 b、 c 满足 b2=ac,且边 b 所对的角为 x ,试求角 x 的范围
7、及此时函数 ()fx的值域 . 18、 (本题 14 分,第( 1)小题 5 分,第( 2)小题 9 分) 某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的 80出售;同时,当顾客在该商场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券 : 消费金额 (元 )的范围 200,400) 400,500) 500,700) 700,900) 获得奖券的金额 (元 ) 30 60 100 130 根据上述促销方法 ,顾客在该商场购物 可以获得双重优惠。例如:购买标价为 400 元的商品,则消费金额为 320 元,获得的优惠额为: 4000.2+30=110(元)。设购买商品的优惠率 = 。 试问:( 1
8、) 购买一件标价为 1000 的商品,顾客得到的优惠率是多少? ( 2) 对于标价在 500,800)(元)内的商品,顾客购买标价为多少元的商品,可得到不小于 的优惠率? 19、 (本题 16 分,第( 1)小题 4 分,第( 2)小题 7 分,第( 3)小题 5 分) 已知点集 |),( nmyyxL ,其中 )1,2( bxm , )1,1( bn ,点列 ),( nnn baP在 L 中, 1P 为 L 与 y 轴的交点,等差数列 na 的公差为 1, Nn 。 ( 1)求数列 nb 的通项公式; ( 2)若 ()fn,令 (1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( )nS f f f f n
9、 ;试用解析式写出nS 关于 n 的函数。 ( 3)若 ()fn,给定常数 m( *,2m N m),是否存在 Nk ,使得( ) 2 ( )f k m f m ,若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由。 20、 (本题 19 分,第( 1)小题 4 分,第( 2)小题 6 分,第( 3)小题 9 分) 已知:点 P 与点 F( 2, 0)的距离比它到直线 x 4 0 的 距离小 2,若记点 P 的轨迹为曲线 C。 ( 1)求曲线 C 的方程。 ( 2)若直线 L 与曲线 C 相交于 A、 B 两点,且 OA OB。求证:直线 L 过定点,并求出该定点的坐标。 ( 3)试利用所学圆锥曲线
10、知识参照( 2)设计一个与直线 L 过定点有关的数学问题,并解答所提问题。 (本小题将根据你所设计问题的不同思维层次予以不同评分) 奉贤区 09届高三数学(理科)参考答案与评分标准 ( 09.3) 一、填空题 (每题 5 分 ) 1) 5x 2) 4x 3)0 4) 23 5) 12 6) 35 7) 8) 845 9) 01( , 10) 2 1, ) 11) 7 二、选择题 (每题 5 分 ) 12、 A 13、 B 14、 D 15、 D 三、解答题 16、 16、 ( 1)因为 11BC BC ,所以 BCA(或其补角)即为异面直线 11BC 与 AC所成角 -(3 分 ) ABC=9
11、0, AB=BC=1,所以 4BCA , -(2 分 ) 即异面直线 11BC 与 AC 所成角大小为 4 。 -(1 分 ) ( 2) 直三棱柱 ABC-A1B1C1中, 1A A ABC平 面 ,所以 1ACA 即为直线A1C 与平面 ABC 所成角,所以1 4ACA 。 -(2 分 ) RtABC 中, AB=BC=1 得到 2AC , 1Rt AAC 中,得到 1 2AA AC, -(2分 ) 所以11236A B C A B CS A A 1AV-(2 分 ) 17、 2( ) s i n c o s 3 c o s3 3 3x x xfx -(1 分 ) = 1 2 3 2 3si
12、n c o s2 3 2 3 2xx -(1 分 ) = 23sin( )3 3 2x -(1 分 ) 若 x 为其图象对称中心的 横坐标,即 2sin( )33x =0, -(1 分 ) 233x k , -(1 分 ) 解得: 3 ()22x k k Z -(1 分 ) ( 2) 2 2 2 2 2 2c o s 2 2 2a c b a c a c a c a cx a c a c a c , -(2 分 ) 即 1cos 2x ,而 (0, )x ,所以 (0, 3x 。 -(2 分 ) 28( , 3 3 3 9x , 28s in ( ) s in ,13 3 9x , -(2 分
13、 ) 所以 8 3 3( ) sin , 1 9 2 2fx -(2 分 ) 18、 1 0 0 0 0 .2 1 3 0 3 3(1) 1 0 0 0 1 0 0 ,顾客得到的优惠率是 33100 。 -(5 分 ) (2)、设商品的标价为 x 元,则 500x800 - -(2 分 ) 消费金额: 4000.8x640 由题意可得: ( 1) 无解 -(3 分 ) 或( 2) 得: 625x750 -(3 分 ) 因此,当顾客购买 标价在 元内的商品时,可得到不小于 的优惠率。 -(1分 ) 19、( 1) y (2x b) (b 1) 2x 1 -(1 分 ) 21yx与 x 轴的交点
14、1 1 1( , )Pa b 为 (0,1) ,所以 1 0a ; -(1 分 ) 所以 1 ( 1) 1na a n ,即 1nan, -(1 分 ) 因为 ( , )n n nP a b 在 21yx上,所以 21nnba,即 21nbn -(1 分 ) ( 2)设 ( ) nnafn b ( 2 1)( 2 )nknk ( *kN ) , 即 1( ) 21nfn n ( 2 1)( 2 )nknk( *kN ) -(1 分 ) ( A)当 2nk 时, 2 1 2 3 4 2 1 2 1 3 2 1. . . . ( . . . )n k k k kS S a b a b a a a
15、a a 2 4 2( . )kb b b -(1 分 ) = 0 2 2 3 4 122kkkk = 2k ,而 2nk ,所以 234nSn-(1 分 ) ( B)当 21nk时, 2 1 1 3 2 1 2 4 2 2( . . . ) ( . . . )n k k kS S a a a b b b -(1 分 ) = 0 2 2 3 4 5 ( 1 )22kkkk = 23 4 1kk, -(1 分 ) 而 12nk ,所以 2314 2 4n nSn -(1 分 ) 因此2231 , 2 14 2 43 ,24nnn n kSn n k ,( *kN ) -(1 分 ) ( 3)假设
16、Nk ,使得 ( ) 2 ( )f k m f m , ( A) m 为奇数 (一) k 为奇数,则 km 为偶数。则 ( ) 1f m m, ( ) 2 ( ) 1f m k m k 。则2 ( ) 1 2 ( 1)m k m ,解得: 2k 与 *kN 矛盾。 -(1 分 ) (二) k 为偶数,则 km 为奇数。则 ( ) 2 1f m m, ( ) ( ) 1f m k m k 。则( ) 1 2 ( 2 1)m k m ,解得: 31km( 31m 是正偶数)。 -(1 分 ) ( B) m 为偶数 (一) k 为奇数,则 km 为奇数。则 ( ) 1f m m, ( ) ( ) 1
17、f m k m k 。则( ) 1 2 ( 1)m k m ,解得: 1km( 1m 是正奇数)。 -(1 分 ) (二) k 为偶数,则 km 为偶数。 则 ( ) 2 1f m m, ( ) 2 ( ) 1f m k m k 。则2 ( ) 1 2 ( 2 1 )m k m ,解得: 12km与 *kN 矛盾。 -(1 分 ) 由此得:对于给定常数 m( *,2m N m), 这样的 k 总存在;当 m 是奇数时, 31km;当 m 是偶数时, 1km。 -(1 分 ) 20、( 1)解法( A): 点 P 与点 F( 2, 0)的距离比它到直线 x 4 0 的距离小 2,所以 点 P与点
18、 F( 2, 0)的距离与它到直线 x 2 0 的距离相等。 -(1 分 ) 由抛物线定义得:点 P 在以 F 为焦点 直线 x 2 0 为准线的抛物线上, -(1 分 ) 抛物线方程为 2 8yx 。 -(2 分 ) 解法( B ): 设 动 点 ( , )Pxy ,则 22( 2) | 4 | 2x y x 。当 4x 时,2 2 2( 2 ) ( 6 )x y x ,化简得: 2 8( 2)yx,显然 2x ,而 4x ,此时曲线不存在。当 4x 时, 2 2 2( 2 ) ( 2 )x y x ,化简得: 2 8yx 。 ( 2) 1 , 1 2 , 2) , )x y x y设 直
19、线 L : y=kx+b 与 抛 物 线 交 予 点 (, ()a 若 L斜 率 存 在 , 设 为 k, 22 0, 8 8 0 ,8 6 4 3 2 0y k x b kk y y by x k b =则 , -(1 分 ) 2 22 211 121 2 1 2 2222 88 , 648yx yybby y x xkk 所 以 又 , 得, 1212,1yyO A O B xx 由 得 ,即 8 1kb , 8bk , -(2 分 ) 直线为 ( 8)y k x,所以 (8,0)L过 定 点 -(1 分 ) x(b) 直 线 L 与 轴 垂 直 , 则 直 线 OA ( 或 直 线 OB
20、 ) 的 斜 率 为 1, 2 8 , ( 8 0 )8yx xyx 得 直 线 L 过 定 点 、-(1 分 ) 由( a)( b)得:直线恒过定点 (8,0) 。 -(1 分 ) 1、 (逆命题)如果直线 (8,0)L过 定 点 , 且与抛物线 2 8yx 相交于 A、 B两点, O为坐标原点。求证: OA OB ( 评分:提出问题得 1分,解答正确得 1分 ) (若,求证: =0,得分相同) 2、 (简单推广命题)如果直线 L与抛物线 2px(p0)相交于 A、 B两点,且 OA OB。求证:直线 L过定点( 2p, 0) 或:它的逆命题( 评分:提出问题得 2分,解答正确得 1分 )
21、3、 (类比) 3 1( 1)如果直线 L与椭圆 1(ab0)相交于 A、 B两点, M是其右顶点,当 MA MB。求证:直线 L过定点 ( ,0) 3 1( 2)如果直线 L与椭圆 1(ab0)相交于 A、 B两点, M是其左顶点,当 MA MB。求证:直线 L过定点 ( ,0) 3 1( 3)或它的逆命题 3 2( 1)如果直线 L与双曲线 1(a0,b0)相交于 A、 B两点, M是其右顶点,当MA MB。求证:直线 L过定点 ( ,0)(ab) 3 2( 2)如果直 线 L与双曲线 1(a0,b0)相交于 A、 B两点, M是其左顶点,当MA MB。求证:直线 L过定点 ( ,0)(a
22、b) 3 2( 3)或它的逆命题 ( 评分:提出问题得 3分,解答正确得 3分 ) 4、(再推广) 直角顶点在圆锥曲线上运动 如:如果直线 L与抛物线 2px(p0)相交于 A、 B两点, P是抛物线上一定点 ( , ),且PA PB。求证:直线 L过定点 ( 2p, ) ( 评分 :提出问题得 4分,解答正确得 3分 ) 5、 (再推广) 如果直线 L与抛物线 2px(p0)相交于 A、 B两点, P是抛物线上一定点 ( , ), PA与 PB的斜率乘积是常数 m。求证:直线 L过定点 ( , ) ( 评分:提出问题得 5分,解答正确得 4分 ) 或 为常数 顶点在圆锥曲线上运动并把直角改为一般定角或 OA与 OB的斜率乘积是常数或 为常数
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