2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ数学理.DOC

1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）数学理一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.(5 分)已知集合 A=x|x2-2x0， ，则( )A.AB= B.AB=RC.B AD.A B解析：集合 A=x|x2-2x0=x|x2 或 x0，AB=x|2x 或- x0，AB=R.答案： B.2.(5 分)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|，则 z 的虚部为( )A.-4B.C.4D.解析：复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|，z= = = = + i，故 z 的虚部等于 ，答案：D.3.(5 分)为了解某地

2、区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A.简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样解析：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理.答案：C.4.(5 分)已知双曲线 C： 的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为( )A.B.

3、C.D.y=x解析：已知双曲线 C： 的离心率为 ，故有 = ， = ，解得 = .故 C 的渐近线方程为 ，答案：C.5.(5 分)执行程序框图，如果输入的 t-1，3，则输出的 s 属于( )A.-3，4B.-5，2C.-4，3D.-2，5解析：由判断框中的条件为 t1，可得：函数分为两段，即 t1 与 t1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即 t1 时，函数的解析式为：s=4t-t 2故分段函数的解析式为：s= ，如果输入的 t-1，3，画出此分段函数在 t-1，3时的图象，则输出的 s 属于-3，4.答案：A.6.(5 分)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容

4、器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为( )A.B.C.D.解析：设正方体上底面所在平面截球得小圆 M，则圆心 M 为正方体上底面正方形的中心.如图.设球的半径为 R，根据题意得球心到上底面的距离等于(R-2)cm，而圆 M 的半径为 4，由球的截面圆性质，得 R2=(R-2)2+42，解出 R=5，根据球的体积公式，该球的体积 V= = = .答案：A.7.(5 分)设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 Sm-1=-2，S m=0，S m+1=3，则 m=( )A.3B.4C.5D.6解析：a m=S

5、m-Sm-1=2，a m+1=Sm+1-Sm=3，所以公差 d=am+1-am=1，S m= =0，得 a1=-2，所以 am=-2+(m-1)1=2，解得 m=5，答案：C.8.(5 分)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.16+8B.8+8C.16+16D.8+16解析：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为 2，母线长为 4.长方体的体积=422=16，半个圆柱的体积= 224=8 所以这个几何体的体积是 16+8；答案：A.9.(5 分)设 m 为正整数，(x+y) 2m展开式的二项式系数的

6、最大值为 a，(x+y) 2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a=7b，则 m=( )A.5B.6C.7D.8解析：m 为正整数，由(x+y) 2m展开式的二项式系数的最大值为 a，以及二项式系数的性质可得 a= ，同理，由(x+y) 2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b，可得 b= = .再由 13a=7b，可得 13 =7 ，即 13 =7 ，即 13=7 ，即 13(m+1)=7(2m+1)，解得 m=6，答案：B.10.(5 分)已知椭圆 E： 的右焦点为 F(3，0)，过点 F 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点.若 AB 的中点坐标为(1，-1)，则 E 的方程为

7、( )A.B.C.D.解析：设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，代入椭圆方程得 ，相减得 ， .x 1+x2=2，y 1+y2=-2， = = . ，化为 a2=2b2，又 c=3= ，解得 a2=18，b 2=9.椭圆 E 的方程为 .答案：D.11.(5 分)已知函数 f(x)= ，若|f(x)|ax，则 a 的取值范围是( )A.(-，0B.(-，1C.-2，1D.-2，0解析：由题意可作出函数 y=|f(x)|的图象，和函数 y=ax 的图象，由图象可知：函数 y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数 y=|f(

8、x)|在第二象限的部分解析式为 y=x2-2x，求其导数可得 y=2x-2，因为 x0，故 y-2，故直线 l 的斜率为-2，故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于-2 与 0 之间即可，即 a-2，0答案：D12.(5 分)设A nBnCn的三边长分别为 an，b n，c n，A nBnCn的面积为 Sn，n=1，2，3若b1c 1，b 1+c1=2a1，a n+1=an， ， ，则( )A.Sn为递减数列B.Sn为递增数列C.S2n-1为递增数列，S 2n为递减数列D.S2n-1为递减数列，S 2n为递增数列解析：因为 an+1=an， ， ，所以 an=a1，所以 bn+1+cn+1=a

9、n+ =a1+ ，所以 bn+1+cn+1-2a1= ，又 b1+c1=2a1，所以 bn+cn=2a1，于是，在A nBnCn中，边长 BnCn=a1为定值，另两边 AnCn、A nBn的长度之和 bn+cn=2a1为定值，因为 bn+1-cn+1= = ，所以 bn-cn=，当 n+时，有 bn-cn0，即 bnc n，于是A nBnCn的边 BnCn的高 hn随着 n 的增大而增大，所以其面积 =为递增数列，答案：B.二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.(5 分)已知两个单位向量 ， 的夹角为 60， =t +(1-t) .若 =0，则 t= .解析： ， ， =0，t

10、cos60+1-t=0，1 =0，解得 t=2.答案：2.14.(5 分)若数列a n的前 n 项和为 Sn= an+ ，则数列a n的通项公式是 an= .解析：当 n=1 时，a 1=S1= ，解得 a1=1当 n2 时，a n=Sn-Sn-1=( )-( )= ，整理可得 ，即 =-2，故数列a n是以 1 为首项，-2 为公比的等比数列，故 an=1(-2)n-1=(-2)n-1答案：(-2) n-115.(5 分)设当 x= 时，函数 f(x)=sinx-2cosx 取得最大值，则 cos= .解析：f(x)=sinx-2cosx= ( sinx- cosx)= sin(x-)(其中

11、cos= ，sin= )，x= 时，函数 f(x)取得最大值，sin(-)=1，即 sin-2cos= ，又 sin2+cos 2=1，联立解得 cos=- .答案：-16.(5 分)若函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线 x=-2 对称，则 f(x)的最大值为 .解析：函数 f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线 x=-2 对称，f(-1)=f(-3)=0 且 f(1)=f(-5)=0，即1-(-3) 2(-3)2+a(-3)+b=0 且1-(-5) 2(-5)2+a(-5)+b=0，解之得 ，因此，f(x)=(1-x 2)(x2+8x+15)=-x4

12、-8x3-14x2+8x+15，求导数，得 f(x)=-4x3-24x2-28x+8，令 f(x)=0，得 x1=-2- ，x 2=-2，x 3=-2+ ，当 x(-，-2- )时，f(x)0；当 x(-2- ，-2)时，f(x)0； 当 x(-2，-2+ )时，f(x)0； 当 x(-2+ ，+)时，f(x)0，f(x)在区间(-，-2- )、(-2，-2+ )上是增函数，在区间(-2- ，-2)、(-2+ ，+)上是减函数，又f(-2- )=f(-2+ )=16，f(x)的最大值为 16.答案：16三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(12 分)如图，在ABC 中，A

13、BC=90， ，BC=1，P 为ABC 内一点，BPC=90()若 ，求 PA；()若APB=150，求 tanPBA.解析：(I)在 RtPBC，利用边角关系即可得到PBC=60，得到PBA=30.在PBA 中，利用余弦定理即可求得 PA.(II)设PBA=，在 RtPBC 中，可得 PB=sin.在PBA 中，由正弦定理得，即 ，化简即可求出.答案：(I)在 RtPBC 中， = ，PBC=60，PBA=30.在PBA 中，由余弦定理得 PA2=PB2+AB2-2PBABcos30= .PA= .(II)设PBA=，在 RtPBC 中，PB=BCcos(90-)=sin.在PBA 中，由正

14、弦定理得 ，即 ，化为 . .18.(12 分)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA 1，BAA 1=60.()证明 ABA 1C；()若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值.解析：()取 AB 的中点 O，连接 OC，OA 1，A 1B，由已知可证 OA1AB，AB平面 OA1C，进而可得 ABA 1C；()易证 OA，OA 1，OC 两两垂直.以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正向，| |为单位长，建立坐标系，可得 ， ， 的坐标，设 =(x，y，z)为平面 BB1C1C 的法向量，则 ，可解得 =(

15、 ，1，-1)，可求 cos ， ，即为所求正弦值.答案：()取 AB 的中点 O，连接 OC，OA 1，A 1B，因为 CA=CB，所以 OCAB，由于 AB=AA1，BAA 1=60，所以AA 1B 为等边三角形，所以OA1AB，又因为 OCOA 1=O，所以 AB平面 OA1C，又 A1C 平面 OA1C，故 ABA 1C.()由()知 OCAB，OA 1AB，又平面 ABC平面 AA1B1B，交线为 AB，所以 OC平面 AA1B1B，故 OA，OA 1，OC 两两垂直.以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正向，| |为单位长，建立如图所示的坐标系，可得 A(1，0，0)，A 1(

16、0， ，0)，C(0，0， )，B(-1，0，0)，则 =(1，0， )， =(-1， ，0)， =(0，- ， )，设 =(x，y，z)为平面 BB1C1C 的法向量，则 ，即 ，可取 y=1，可得 =( ，1，-1)，故 cos ， = = ，故直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为： .19.(12 分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n=4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其

17、他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为 ，且各件产品是否为优质品相互独立.()求这批产品通过检验的概率；()已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位：元)，求 X 的分布列及数学期望.解析：()设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1，第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2，第二次取出的 4 件产品全是优质品为事件 B1，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2，这批产品通过检验为事件 A，依题意有 A=(A1B1)(A 2B2)，且 A1B1与 A2B2互斥，由概率得加法公式和条件概率，代入数据计算可得；()X 可能的取值为 400，500，800，分别求其概率，可得分布列，进而可得期望值.答案：()设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1，第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2，第二次取出的 4 件产品全是优质品为事件 B1，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2，这批产品通过检验为事件 A，依题意有 A=(A1B1)(A 2B2)，且 A1B1与 A2B2互斥，所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)= =