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1 向量的内积、长度及正交性 1. 内积的定义及性质 2. 向量的长度及性质 3. 正交向量组的定义及求解 4. 正交矩阵与正交变换定义1 内积 1.内积的定义及性质内积的性质定义2 令 长度 范数 向量的长度具有下述性质: 2.向量的长度及性质(1)正交的定义 (2)正交向量组的定义 一组两两正交的非零向量,称为正交向量组 3.正交向量组的定义及求解证明 (3) 正交向量组的性质例1 已知三维向量空间中两个向量 正交,试求一个非零向量 ,使 两两正交 。即 解之得 由上可知 两两正交. 则有 解定义 设V为向量空间,如果r个向量 且满足 线性无关; (1) (2)V 中任一向量都可由 线性表示, 那么,向量组 就称为向量空间V 的一个基, r 称为向量空间V 的维数,并称V 为 r 维向量空间。(4) 标准正交基 例如(1)正交化,取 , (5)标准正交基的求解(2)单位化,取例 用施密特正交化方法,将向量组 标准正交化. 解 先正交化,取再单位化,得标准正交向量组如下4.正交矩阵与正交变换 定义4 如果n阶矩阵A满足 A T A= E(即A -1 = A T ), 那么称A为正交矩
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