1、第 1 页（共 3 页）线性代数模拟试卷 B 及答案一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）（1）若 A 为 4 阶矩阵，则 =（ ）A(A) 4 (B) (C) (D)434A3A（2）设 A，B 为 n 阶方阵， 且 ，则（ ）0B(A) (B) 0(C) (D)22() 0或（3）A，B，C 均为 n 阶方阵，则下列命题正确的是（ ）(A) (B) ,AB则(C) (D) C若 则（4） 成立的充要条件是（ ）22()ABB(A) (B) (C) (D)AEBEAB（5）线性方程组 有唯一解，则 为（ ）(1)2kxyabk(A)任意实数 (B) 不等于 (C) 等于 (D) 不等于
2、055（6）若 A 为可逆阵，则 =（ ）1()A(A) (B) (C) (D)1A1A（7）含有 4 个未知数的齐次方程组 ，如果 ，则它的每个0X()R基础解系中解向量的个数为（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3第 2 页（共 3 页）（8）设 为 矩阵，齐次方程组 仅有零解的充要条件是 的Amn0AXA（ ）(A) 列向量线性无关 (B) 列向量线性相关(C) 行向量线性无关 (D) 行向量线性相关（9）已知矩阵 A= ,下列向量是 A 的特征向量的是（ ）31(A) (B) (C) (D) 102121（10）二次型 为正定212313132(,)44fxxxx二次型，
3、则 的取值范围是（ ）(A) (B) (C) (D)二、计算题（第 1、2 小题每题 5 分，第 3、4 小题每题 10 分，共 30 分）1、计算行列式 。 （5 分）4xaD2、设 ，求 的逆 。 （5 分） 321A=5A-1第 3 页（共 3 页）3、求矩阵方程 ，其中 。 （10 分）AXB011,2053AB4、求向量组 ，1=-43T， ， 的秩，并求2-35T078T4=5-327T出它的一个最大无关组。 （10 分）第 4 页（共 3 页）三、证明题（第 1 小题 9 分，第 2 小题 6 分，共 15 分）1、已知向量组 线性无关，23,，试证向量组 线性无关。 （9211
4、23,123,分）2、设 A、B 分别为 m，n 阶可逆矩阵，证明：第 5 页（共 3 页）可逆，且 。 （6 分）0AHB110BHA四、综合题（第 1 小题 15 分，第 2 小题 10 分，共 25 分）1、 取何值时，非齐次线性方程组 ， （1）有唯一解；1232x（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。 （15分）第 6 页（共 3 页）2、已知 A 为 n 阶方阵，且满足 230AE（1）证明： 可逆，并求 。 （5 分）2E1（2）若 ，求 的值。 （5 分）146第 1 页（共 3 页）线性代数模拟试卷四参考答案与评分标准一、选择题（30 分）每题 3 分，
5、共 10 题，共 30 分(1) B （2） D （3 ） C （4）A （5 ） B(6) C (7) D (8) A (9) D （10）A二、计算题（30 分）第 1、2 小题每题 5 分，第 3、4 小题每题 10 分，共 30 分。1、 = =4xa0xaax300xaax= 3()a或以其它方式计算视情况酌情给分，结果正确得 5 分。2、对 作初等行变换，当 变为 时， 则变为 ,(,)AEAE1A4 分1723103216(,)501(,)2E 则 . 5 分17236102A也可用求伴随矩阵的方法求该矩阵的逆，视情况都可酌情给分。3、由 ，得 ，求 ，我们同样可以用上面题目的方
6、AXB()AEXB第 2 页（共 3 页）法，对 进行初等变换，当 变为 时， 则变为,AEBAEB，1()X.5 分01101, 21533= .8 分10321,()EAB则， = .101()X0分4、作矩阵 经过初等行变换可化为行12341250378A最简形矩阵 ，得 ，即向量组 的秩为0512()2RA1234,2，.6 分可取 为向量组的一个最大无关组 .10 分12，由题意可知向量组中的任何两个（因对应分量不成比例）都可以做为它的一个最大无关组。三、证明题（15 分）第 1 小题 9 分，第 2 小题 6 分，共 15 分。1、证明：设有 使 ，.213,1230分第 3 页（
7、共 3 页）即 ， .412123123()()0分亦即 ，.612312323()()分因 线性无关，故有 ，8 分123,1230故方程组只有零解 ，所以向量组 线性无关。.9 分.1230123,2、证明： .410mmnnEABH 分故 可逆且 .6 分110A四、综合题（25 分）第 1 小题 15 分，第 2 小题 10 分，共 25 分。1、计算线性方程组的系数行列式.6 分22101(1)A当 ，方程组有唯一解，即（1） ，方程组有唯一解；.8 分2当 且 时（2）当 ，方程组的增广矩阵为时，11024B则 ，方程组无解；10 分(),()RA第 4 页（共 3 页）（3）当 ，方程组的增广矩阵为1时， ，.12 分10B()1RAB方程组有无穷多个解，可得通解为 123(,)xx可 任 意 取 值即： .15 分1221230,()xccR2、 （1）证明：由 ，得 ，则.1 分2AE()3AE由 A 为 n 阶方阵， ，.3 分20n， 可逆，由上可得： ，0(2)3E.5 分123E（2）由 ，可得 ，. .1 分A2AE则 ，所以 ，由 ，. 3 分246461A得 .5 分22nnE
