1、释疑解难 微分方程问题 1 什么是微分方程的解？它的通解和特解之间有何关系？答：微分方程的解是满足该方程的函数。若解中含有与方程阶数相同个数的相互独立的任意常数，则称之为微分方程的通解；如果利用初始条件将通解中的常数确定后，不含有常数的解称为特解。例如，函数 和 都是二阶微12sincosyx3sin4cosyx分方程 的解，前者是方程的通解而后者是方程的特解。0y问题 2 微分方程的通解是否包含它所有的解？答：微分方程的通解不一定包含它所有的解。例如方程 有通解240y，但它不包含方程的解 。2yxc0y问题 3 是否所有的微分方程都存在通解？答：不是所有的微分方程都存在通解。例如方程 不存
2、在实函数解，而方程210y只有零解 。如果微分方程的解中含有任意常数的个数与它的阶数相同，20y0y那么这个解称为通解，以上二个方程有的没有实函数解，有的有解，但解中不含有任意常数，所以上述两个方程都不存在通解。问题 4 求微分方程的通解时，写任意常数应注意什么问题？答：我们知道，有的微分方程的通解不能包含它的所有解，有的则能包含它所有的解。因此，在求解微分方程的通解时，一定要注意正确写为任意常数。例如解一阶线性微分方程（1） 2yx根据一阶线性微分方程通解公式： ，()()PxdPxdeQec得通解为： （2）21xyc注意下面解法的错误出在那里？用分离变量法来求解方程（1） ，分离变量后，
3、得 2dyx两边积分，得 （3）211Inyxc从而有 （4）21cxye比较（2）式与（4）式， ，而 为任意常数，因此（4）只是表达了方程（1）的一10c部分解， （2）中 时的那一部分解，未能表达出来。问题在于两边积分时， （3）式中的真数少了绝对值符号。事实上， （3）式应为 ，从而有 (1)Iny 21Inyxc或 ，令 ，得出通解 。12cye21cxe1ce21xyce还有一种易犯的错误，就是求不定积分时，任意常数放在最后一步加，于是在解本题时，不但真数不加绝对值，而且不及时加任意常数，使解成为，21Inyx2xec从而通解为 ，这是错误的。221由此可见，在解微分方程的过程中，
4、如果积分出的对数的真数不加绝对值符号或把任意常数写成 （应些为 ）它的变化就要受到限制，那么就回产生错误出现，所以，IncIc如果真数可正可负时，必须要注意加绝对值符号。问题 5 从微分方程的通解能否得到这个微分方程吗？答：可以。事实上将通解求导数， 阶方程就依次求 阶导数，得到包括通解在内的nn关于任意常数的表达式，从其中 个方程求出任意常数的表达式，代入第 个方程中就1n可得到所求的微分方程。例如求 所满足的微分方程2xyax解：求导，得 （1）2由 ，得 ，代入（1） ，得2xyaxxy22xyx即所求微分方程为 。2又例某微分方程为 写出该微分方程。问题 6 给出 阶线性齐次微分方程的
5、 个线性无关的特解，问能否写出这个方程及nn其通解？答：可以。因为设 为 个线性无关的特解，根据线性微分方程解的结构，12,ny阶线性齐次微分方程的通解为 ，其中 为任意常数。n12ncycy 12,nc求出微分方程的方法参见问题 5。如果给出的是 阶常系数线性齐次方程的 个线性无关的特解，那么可以用以下方法n求出方程：因为 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程是 次代数方程，它的根可以是 个不nn同的实根，也可以全是重根，或既有单根，又有重根；或既有实根，又有共轭复根；还可以是重共轭复根，不论是哪种情况，应对于这些根的特解我们是知道的，所以，可以根据给出的 个线性无关的特解，先写出特征方程的根
6、，然后再写出特征方程，从而就可以写n出所求的微分方程。例 已知一个四阶常系数线性齐次微分方程的四个线性无关的特解为：， ， ， ，求这个四阶微分方程及其通解。1xye2x3cos2yx43sin2yx解：由 与 可知，它们对应的特征根为二重根 ；由 与 知，它们对应的1y2 1,2r3y4特征根为共轭复根 ，所以特征方程为3,4ri或 204325840rr它们对应的微分方程为 ()2yy其通解为 。1234cosin2xycex问题 7 形如方程 （ 连续）问怎样求这种00()()()xftfdft()fx类型方程中的未知函数 ？答：解这种（积分）方程的思想是将其通过求导化为微分方程，再求解。两边对 求导，得x0()()()xxfeffftd即 0td两边再求导，得 ()()xfef即 且 ，()fx1(0)f转化为二阶微分方程的初值问题。易求得其特解为 。()cosin2xfxe
