1、释疑解难 微分方程问题 1 什么是微分方程的解?它的通解和特解之间有何关系?答:微分方程的解是满足该方程的函数。若解中含有与方程阶数相同个数的相互独立的任意常数,则称之为微分方程的通解;如果利用初始条件将通解中的常数确定后,不含有常数的解称为特解。例如,函数 和 都是二阶微12sincosyx3sin4cosyx分方程 的解,前者是方程的通解而后者是方程的特解。0y问题 2 微分方程的通解是否包含它所有的解?答:微分方程的通解不一定包含它所有的解。例如方程 有通解240y,但它不包含方程的解 。2yxc0y问题 3 是否所有的微分方程都存在通解?答:不是所有的微分方程都存在通解。例如方程 不存
2、在实函数解,而方程210y只有零解 。如果微分方程的解中含有任意常数的个数与它的阶数相同,20y0y那么这个解称为通解,以上二个方程有的没有实函数解,有的有解,但解中不含有任意常数,所以上述两个方程都不存在通解。问题 4 求微分方程的通解时,写任意常数应注意什么问题?答:我们知道,有的微分方程的通解不能包含它的所有解,有的则能包含它所有的解。因此,在求解微分方程的通解时,一定要注意正确写为任意常数。例如解一阶线性微分方程(1) 2yx根据一阶线性微分方程通解公式: ,()()PxdPxdeQec得通解为: (2)21xyc注意下面解法的错误出在那里?用分离变量法来求解方程(1) ,分离变量后,
3、得 2dyx两边积分,得 (3)211Inyxc从而有 (4)21cxye比较(2)式与(4)式, ,而 为任意常数,因此(4)只是表达了方程(1)的一10c部分解, (2)中 时的那一部分解,未能表达出来。问题在于两边积分时, (3)式中的真数少了绝对值符号。事实上, (3)式应为 ,从而有 (1)Iny 21Inyxc或 ,令 ,得出通解 。12cye21cxe1ce21xyce还有一种易犯的错误,就是求不定积分时,任意常数放在最后一步加,于是在解本题时,不但真数不加绝对值,而且不及时加任意常数,使解成为,21Inyx2xec从而通解为 ,这是错误的。221由此可见,在解微分方程的过程中,
4、如果积分出的对数的真数不加绝对值符号或把任意常数写成 (应些为 )它的变化就要受到限制,那么就回产生错误出现,所以,IncIc如果真数可正可负时,必须要注意加绝对值符号。问题 5 从微分方程的通解能否得到这个微分方程吗?答:可以。事实上将通解求导数, 阶方程就依次求 阶导数,得到包括通解在内的nn关于任意常数的表达式,从其中 个方程求出任意常数的表达式,代入第 个方程中就1n可得到所求的微分方程。例如求 所满足的微分方程2xyax解:求导,得 (1)2由 ,得 ,代入(1) ,得2xyaxxy22xyx即所求微分方程为 。2又例某微分方程为 写出该微分方程。问题 6 给出 阶线性齐次微分方程的
5、 个线性无关的特解,问能否写出这个方程及nn其通解?答:可以。因为设 为 个线性无关的特解,根据线性微分方程解的结构,12,ny阶线性齐次微分方程的通解为 ,其中 为任意常数。n12ncycy 12,nc求出微分方程的方法参见问题 5。如果给出的是 阶常系数线性齐次方程的 个线性无关的特解,那么可以用以下方法n求出方程:因为 阶常系数线性齐次微分方程的特征方程是 次代数方程,它的根可以是 个不nn同的实根,也可以全是重根,或既有单根,又有重根;或既有实根,又有共轭复根;还可以是重共轭复根,不论是哪种情况,应对于这些根的特解我们是知道的,所以,可以根据给出的 个线性无关的特解,先写出特征方程的根
6、,然后再写出特征方程,从而就可以写n出所求的微分方程。例 已知一个四阶常系数线性齐次微分方程的四个线性无关的特解为:, , , ,求这个四阶微分方程及其通解。1xye2x3cos2yx43sin2yx解:由 与 可知,它们对应的特征根为二重根 ;由 与 知,它们对应的1y2 1,2r3y4特征根为共轭复根 ,所以特征方程为3,4ri或 204325840rr它们对应的微分方程为 ()2yy其通解为 。1234cosin2xycex问题 7 形如方程 ( 连续)问怎样求这种00()()()xftfdft()fx类型方程中的未知函数 ?答:解这种(积分)方程的思想是将其通过求导化为微分方程,再求解。两边对 求导,得x0()()()xxfeffftd即 0td两边再求导,得 ()()xfef即 且 ,()fx1(0)f转化为二阶微分方程的初值问题。易求得其特解为 。()cosin2xfxe