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导数压轴题题型归纳.DOC

1、第 1 页 共 36 页导数压轴题题型归纳1. 高考命题回顾例 1 已知函数 f(x)e xln(x m) (新课标卷)(1)设 x0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性;(2)当 m2时,证明 f(x)0.例 2 已知函数 f(x)x 2ax b,g(x)e x(cxd),若曲线 yf(x)和曲线 yg(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y4x+2(新课标卷)()求 a,b,c ,d 的值()若 x2 时, ()fxkg,求 k 的取值范围。例 3 已知函数 满足 (新课标))(f 21)0()( xfefx(1)求 的解析式及单调区间;x(2)若 ,

2、求 的最大值。baxf21)( )1(例 4 已知函数 ln()1fx,曲线 ()yfx在点 1,()f处的切线方程为 230xy。(新课标)()求 a、 b的值;()如果当 0x,且 1时, ln()1xkf,求 的取值范围。例 5 设函数 (新课标)2()xfea(1)若 ,求 的单调区间;0af(2)若当 时 ,求 的取值范围x()0例 6 已知函数 f(x)(x 3+3x2+ax+b)ex . (1)若 ab3,求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)在( ,),(2,)单调增加 ,在(,2),(,+)单调减少,证明 6.2. 在解题中常用的有关结论(1)曲线 在 处的切线的斜率等于

3、 ,且切线方程为()yfx0 0()fx。00)()fx(2)若可导函数 在 处取得极值,则 。反之,不成立。(yfx0()fx(3)对于可导函数 ,不等式 的解集决定函数 的递增(减)区间。)()fx( ) ()f(4)函数 在区间 I 上递增(减)的充要条件是: 恒成立( (fx xI0()fx不恒为 0).(5)函数 (非常量函数)在区间 I 上不单调等价于 在区间 I 上有极值,则可等价转化()f ()f为方程 在区间 I 上有实根且为非二重根。(若 为二次函数且 I=R,则有xx)。0(6) 在区间 I 上无极值等价于 在区间在上是单调函数,进而得到 或()f ()fx ()fx0(

4、)fx在 I 上恒成立(7)若 , 恒成立,则 ; 若 , 恒成立,则x()f0min()f0xI()fmax()f0(8)若 ,使得 ,则 ;若 ,使得 ,则I0()fxax()f0I0()fx.min()fx(9)设 与 的定义域的交集为 D,若 D 恒成立,则有()gx()fg第 2 页 共 36 页.min()0fxg(10)若对 、 , 恒成立,则 .1I2xI12()fxgminax()()fxg若对 , ,使得 ,则 .()iin若对 , ,使得 ,则 .1I2I12fxmaxax()()f(11)已知 在区间 上的值域为 A,, 在区间 上值域为 B,()fx1()gI若对 ,

5、 ,使得 = 成立,则 。I2I1fx2A(12)若三次函数 f(x)有三个零点,则方程 有两个不等实根 ,且极大值大于()012x、0,极小值小于 0.(13)证题中常用的不等式: ln1(0)x1 xx ln+(1)x( ) ee l()2x22l(0)x3. 题型归纳导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用例 7(构造函数,最值定位)设函数 (其中 ).21xfxekR() 当 时,求函数 的单调区间;1kf() 当 时,求函数 在 上的最大值 .2fx0,kM例 8(分类讨论,区间划分)已知函数 , 为函数 的321()(0)fxaxb(fx()fx导函数. (1)设函数 f(x

6、)的图象与 x 轴交点为 A,曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 ,求 的3yxab值;(2)若函数 ,求 函数 的单调区间.()()axgef()gx例 9(切线)设函数 xf2)(.(1)当 a时,求函数 )(xfg在区间 1,0上的最小值;(2)当 0时,曲线 fy在点 )(,axfP处的切线为 l, 与 x轴交于点),(2xA求证: ax21.例 10(极值比较)已知函数22()3)(),xfxaeR其中 a当 0a时,求曲线 (1,yf在 点 处的切线的斜率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当23时,求函数 ()fx的单调区间与极值.例 11(零点存在性定理应用)已知

7、函数 ()ln,().xfxge若函数 (x) = f (x) 1+-,求函数 (x)的单调区间;设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0,f (x0)处的切线,证明:在区间(1,+) 上存在唯一的 x0,使得直线 l 与曲线 y=g(x)相切例12(最值问题,两边分求)已知函数1()lnafx()R.当12a时,讨论 ()fx的单调性;第 3 页 共 36 页设2()4.gxb当1a时,若对任意 1(0,2)x,存在 21,x,使12f,求实数 取值范围.例13(二阶导转换)已知函数 xfln)(若)(RaxfF,求 )(F的极大值;若 kfG2在定义域内单调递减,求满足此条件的

8、实数 k 的取值范围.例 14(综合技巧)设函数1()ln().fxaxR讨论函数 ()f的单调性;若 x有两个极值点 12,x,记过点 1(,),Axf2()Bxf的直线斜率为 k,问:是否存在 a,使得 ka?若存在,求出 a的值;若不存在,请说明理由.交点与根的分布例 15(切线交点)已知函数 32,fxabxaR在点 1,f处的切线方程为20y求函数 fx的解析式;若对于区间 ,上任意两个自变量的值 12,x都有 12fxfc,求实数 的最小值;若过点 2,Mm可作曲线 yfx的三条切线,求实数 m的取值范围例 16(根的个数)已知函数 xf)(,函数 xfgsin)(是区间-1,1上

9、的减函数.(I)求 的最大值;(II)若 1,)(2txg在上恒成立,求 t 的取值范围;()讨论关于 x 的方程mexfx2)(ln的根的个数例 17(综合应用)已知函数.23)ln()xxf求 f(x)在0,1 上的极值;若对任意03)(ln|,316 xfxa不 等 式成立,求实数 a 的取值范围;若关于 x 的方程 bf2)(在0,1 上恰有两个不同的实根,求实数 b 的取值范围.不等式证明例 18(变形构造法) 已知函数 1)(xa,a 为正常数若 )(ln)(xf,且 a 29,求函数 )(xf的单调增区间;在中当 0a时,函数 )(xfy的图象上任意不同的两点 1,yxA, 2,

10、yxB,线段AB的中点为 ),(xC,记直线 AB的斜率为 k,试证明: )(0fk第 4 页 共 36 页若 )(ln)(xxg,且对任意的 2,0,1x, 21x,都有1)(2xg,求 a的取值范围例 19(高次处理证明不等式、取对数技巧) 已知函数 )0(ln)(2axf.(1)若2)(xf对任意的 0x恒成立,求实数 a的取值范围;(2)当 a时,设函数fg)(,若1),1(,22xex,求证4212)(xx例 20(绝对值处理)已知函数 的图象经过坐标原点,且在 处取得极cbaxf23)( 大值(I)求实数 的取值范围;a(II)若方程 恰好有两个不同的根,求 的解析式;9)32()

11、xf )(xf(III)对于( II)中的函数 ,对任意 ,求证: xf R、 81|)sin2()si| f例 21(等价变形)已知函数 xaxfln1)()()讨论函数 在定义域内的极值点的个数;()若函数 在 处取得极值,对 , 恒成立,)(xf x),0(2(bxf求实数 的取值范围;b()当 且 时,试比较 的大小20eyxyln1与例 22(前后问联系法证明不等式)已知27()l,()(0)fxgm,直线 l与函数(),fxg的图像都相切,且与函数 f的图像的切点的横坐标为 1。(I)求直线 l的方程及 m 的值;(II)若 ()1)( )hxfgx其 中 ()是 gx的 导 函

12、数 ,求函数 ()hx的最大值。(III)当 0ba时,求证:2.bafaf例 23(整体把握,贯穿全题) 已知函数 ln()1xf(1)试判断函数 ()fx的单调性; (2)设 0m,求 f在 ,2m上的最大值;(3)试证明:对任意 *nN,不等式 1ln()en都成立(其中 e是自然对数的底数)例 24(化简为繁,统一变量) 设 aR,函数 ()lfxa.()若 2a,求曲线 yf在 1,2P处的切线方程;()若 ()fx无零点,求实数 的取值范围;()若 有两个相异零点 12,x,求证: 21xe.例 25(导数与常见不等式综合)已知函数 2()()tf txx,其中为正常数()求函数

13、()tfx在 0,)上的最大值;()设数列 na满足: 153, 1na,(1)求数列 的通项公式 ; (2)证明:对任意的 0x,23()*nfxNa;第 5 页 共 36 页()证明:2121naa例 26(利用前几问结论证明立体不等式)已 知 函 数 f(x)=ex-ax(e 为 自 然 对 数 的 底 数 ).(I )求函数 f(x)的单调区间;(II)如 果 对 任 意 ,2x, 都 有 不 等 式 f(x) x + x2 成 立 , 求 实 数 a 的 取 值 范 围 ;(III)设 *Nn,证 明 :n)1(+ +n)3(+n)(0时 1(xkf恒成立,求正整数k的最大值 .例

14、36(创新题型)设函数 f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)g(x).()若 x=0 是 F(x)的极值点,求 a 的值;()当 a=1 时, 设 P(x1,f(x1), Q(x2, g(x 2)(x10,x20), 且 PQ/x 轴,求 P、Q 两点间的最短距离;()若 x0时,函数 y=F(x)的图象恒在 y=F(x) 的图象上方,求实数 a 的取值范围例 37(创新题型)已知函数 = , .)(xf )(1lnRaxeg1()求函数 在区间 上的值域;)(xg,0e()是否存在实数 ,对任意给定的 ,在区间 上都存在两个不同的 a,0(ex,1e,使得 成立.若存

15、在,求出 的取值范围;若不存在,请说)2,1(ix)(gfia明理由;()给出如下定义:对于函数 图象上任意不同的两点 ,如果)(Fxy ),(),(21yxBA对于函数 图象上的点 (其中 总能使得)(Fxy,0M210x成立,则称函数具备性质“ ”,试判断函数)( 21021 xx L是不是具备性质“ ”,并说明理由.f L第 7 页 共 36 页例 38(图像分析,综合应用) 已知函数 )1,0(12)( baxaxg,在区间 3,2上有最大值 4,最小值 1,设()f()求 ba,的值;()不等式 02)(xxkf在 1,上恒成立,求实数 k的范围;()方程)3|(|1| xxf有三个

16、不同的实数解,求实数 的范围导数与数列例39(创新型问题)设函数2()(xfxabe, aR、 , xa是 ()f的一个极大值点若 0a,求 b的取值范围;当 是给定的实常数,设 123x, , 是 ()fx的3个极值点,问是否存在实数 b,可找到4xR,使得 1234x, , , 的某种排列 1234,ii(其中 1234ii, , , = 12, , , )依次成等差数列?若存在,求所有的 b及相应的 x;若不存在,说明理由例 40(数列求和,导数结合)给定函数2()1)f(1)试求函数 fx的单调减区间;(2)已知各项均为负的数列 na满足, 4()1nSfa求证: 11lnnaa;(3

17、)设 1nba, nT为数列 nb的前 项和,求证: 201201lTT.导数与曲线新题型例 41(形数转换)已知函数 ()lnfx, 21()gxabx(0).(1)若 2a, 函数 h 在其定义域是增函数 ,求 b 的取值范围;(2)在(1)的结论下,设函数 2x()=e+b, ,ln求 函 数 ()的最小值;(3)设函数 )(xf的图象 C1 与函数 g的图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的中点 R 作 x轴的垂线分别交 C1、C 2 于点 M、 N,问是否存在点 R,使 C1 在 M处的切线与 C2 在 N处的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由.例 42

18、(全综合应用)已知函数 ()1ln(02)2xfx.(1)是否存在点 (,Mab,使得函数 )yf的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也在函数 )yfx的图像上?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由;(2)定义2121()()ni nSffff ,其中 *N,求 2013S;(3)在(2)的条件下,令 nna,若不等式 nam对 *且 n恒成立,求实数m的取值范围.导数与三角函数综合例 43(换元替代,消除三角)设函数2()fxa( xR),其中 a()当 1a时,求曲线 y在点 (f, 处的切线方程;()当 0时,求函数 ()fx的极大值和极小值;第 8 页 共 36

19、 页()当 3a, 10k, 时,若不等式2(cos)(cos)fkxfkx对任意的 R恒成立,求 的值。例 44(新题型,第 7 次晚课练习)设函数 .()cos,0fxax(1)讨论 的单调性()fx(2)设 ,求 的取值范围.1sina创新问题积累例 45 已知函数 .2()ln4xfI、求 的极值. II、求证 的图象是中心对称图形.()fxIII、设 的定义域为 ,是否存在 .当 时, 的取值范围是D,abD,xab()fx?若存在,求实数 、 的值;若不存在,说明理由4ab例 46 已知函数 在区间0,1上单调递增,在区间1,2上单调递减14)(23axxf(1)求 a 的值;(2

20、)设 ,若方程 的解集恰好有 3 个元素,求 的取值范围;)(2bg)(gfb(3)在(2)的条件下,是否存在实数对 ,使 为偶函数?如存在,,nm)()(nxgf求出 如不存在,说明理由nm,第 9 页 共 36 页导数压轴题题型归纳 参考答案例 1 (1)解 f(x)e xln(x m)f(x)e x f (0)e 0 0m1,1x m 10 m定义域为x| x1,f(x)e x ,1x m exx 1 1x 1显然 f(x)在(1,0上单调递减,在0,) 上单调递增(2)证明 g(x) e xln(x 2),则 g(x) e x (x2) 1x 2h(x)g(x) e x (x2) h(

21、x)e x 0,1x 2 1x 22所以 h(x)是增函数,h(x )0 至多只有一个实数根,又 g( ) 0,12 1e 132 12所以 h(x)g(x )0 的唯一实根在区间 内,( 12,0)设 g(x) 0 的根为 t,则有 g(t)e t 0 ,所以,e t t 2e t ,1t 2 ( 12 g( t)0,g(x)单调递增;所以 g(x)ming(t)e tln(t 2) t 0,1t 2 1 t2t 2当 m2 时,有 ln(xm)ln(x2),所以 f(x)e xln(xm) e xln(x 2) g(x)g( x)min0.例 2()由已知得 ,(02,(),04,ff而

22、= , = , =4, =2, =2, =2;4 分()fxbg)xcdabcd()由()知, , ,2()f(2(1)xge设函数 = = ( ),()Fxkx(1)4xke= = ,24e2x有题设可得 0,即 ,()k令 =0 得, = , =2,Fx1lnx(1)若 ,则2 0,当 时, 0,当 时,ke11(2,)x()Fx1(,)x第 10 页 共 36 页0,即 在 单调递减,在 单调递增,故 在 = 取最小值()Fx()Fx12,)1(,)x()Fx1, 而 = = 0,1142当 2 时, 0,即 恒成立,x()x()fxkg(2)若 ,则 = ,keF22ee当 2 时,

23、0, 在(2,+ )单调递增,而 =0,x()x)x(2)F当 2 时, 0,即 恒成立,fkg(3)若 ,则 = = 0,ke(2)F2e2()e当 2 时, 不可能恒成立,xfx(k综上所述, 的取值范围为1, .k2e例 3(1) 1 1()(0)()(0)x xffxffef 令 得:121() ()()xfefefe 得: xgx在 上单调递增()10()xgeyR(),0()0ffxffx得: 的解析式为x21)xe且单调递增区间为 ,单调递减区间为(0,(,)(2) 得21()10xfxaxbheab(1)xhea当 时, 在 上单调递增()yR时, 与 矛盾x()hx()0hx当 时,10aln1),(0ln(1)ahxa 得:当 时,ln()xmi()l)0xb22()1l()ba令 ;则l(0)Fxx12lnFxx()0,ee 当 时,xemax()2当 时, 的最大值为1,ab1)b2例 4 解() 22(ln)xf x由于直线 30xy的斜率为 1,且过点 (,),故(1),2f即1,2ba解得 1a, b。()由()知 ln1f()x,所以 22l (1)lnkkxfx。考虑函数 ()2lnh(1)x(0),则2()1 xh。

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