1、 毕业论文题 目： 球坐标系中拉普拉斯方程的简单物理应用学 号： 3100114512姓 名： 吴琦教 学 院： 理学院专业班级： 物理学 2013级本科班指导教师： 张压完成时间： 2017 年 月 日 教务处制贵州工程应用技术学院毕业论文（设计）任务书课题名称 球坐标系中拉普拉斯方程的简单物理应用教学院 理学院学生姓名 吴琦 学号 3100114512专业、班级 物理学 2013 级本科班课题简介：拉普拉斯方程以势函数的形式描写了电场、引力场等物理对象的性质，因此求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域中经常遇到的一类重要的问题。其中球坐标系中的拉普拉斯方程在求解许多圆域内的问题中
2、有广泛的应用，因此求解球坐标系中的拉普拉斯方程显得十分重要。近年来，拉普拉斯方程在物理上有极其广泛的应用。例如对于纳米球及纳米球壳颗粒的线性及非线性光学特性的研究，又如可以通过求解拉普拉斯方程得出在非均匀电场对矿粒吸引力的大小依赖于矿物的介电系数，由此来分选出不同矿质的颗粒。课题内容和任务：根据数学物理方程中的三个稳定场方程导出拉普拉斯方程，写出不同坐标系中的拉普拉斯方程，并对球坐标系中的拉普拉斯方程进行求解。通过应用球坐标系中拉普拉斯方程在导体球和双锥中的具体问题，结合计算机软件 Mathematica 的绘图，分析其物理意义。通过翻阅书籍和查找网络资料等途径收集研究素材，对收集的素材进行研
3、读，从而全面地、正确地掌握球坐标系中拉普拉斯方程的相关研究内容和研究方法，根据资料所提供的信息完成该课题的内容，最后撰写毕业论文。进度计划：2016. 12. 272017. 02. 21：对选题进行研究；2017. 02. 232017. 03. 13：撰写论文，完成初稿； 发出日期 课题计划完成日期指导教师签名 教学院院长签章注：本表一式一份，用于装订完整文本。贵州工程应用技术学院毕业论文（设计）学生诚信声明书本人郑重声明：本人所提交的毕业论文(设计) 是本人在指导教师指导下独立研究、写作的成果，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果，论文中所引用他人的无论以何种方式发布
4、的文字、研究成果，均在论文中加以说明；对本文研究做出过重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。如果存在弄虚作假、抄袭、剽窃的情况，本人愿承担全部责任。论文(设计 )作者： （签字） 时间： 年 月 日指 导 教 师： （签字） 时间： 年 月 日贵州工程应用技术学院毕业论文（设计）版权使用授权书本毕业论文(设计) 是本人在校期间所完成学业的组成部分，是在指导教师的指导下完成的，论文（设计）工作的知识产权属于贵州工程应用技术学院。本人同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文（设计）的复印件和电子版，允许论文（设计）被查阅和借阅；本人授权贵州工程应用技术学院可以将学位论文的全部或部分内容
5、编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、网页制作或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。毕业论文（设计）无论做何种处理，必须尊重本人的著作权，署明本人姓名。未经指导教师和贵州工程应用技术学院同意，本人不擅自发表毕业论文(设计)相关研究内容或利用毕业论文(设计)从事开发和盈利性活动。毕业后若发表毕业论文( 设计 )中的研究成果，需征得指导教师同意，作者第一单位署名应为“贵州工程应用技术学院 ”， 成果发表时本人工作（学习）单位可以在备注中注明。论文(设计 )作者： （签字） 时间： 年 月 日指 导 教 师： （签字） 时间： 年 月 日目 录摘要: .iAbstract:.ii引言 .11.
6、拉普拉斯方程及其求解 .11.1 拉普拉斯方程 .11.1.1 引例 .11.1.2 不同坐标系中的拉普拉斯方程 .31.2 球坐标系中拉普拉斯方程的求解 .52. 球坐标系中拉普拉斯方程的应用 .82.1 导体球 .82.2 双锥 .113. 结论 .15参考文献 .16致谢 .17贵州工程应用技术学院本科毕业论文i球坐标系中拉普拉斯方程的简单物理应用作者姓名：吕旖旎 专业班级：物理学 2013 级本科班学号：39261113102 指导教师：张凤玲摘要:本文首先通过数学物理方程中三个稳定场方程导出了拉普拉斯方程；其次，介绍了不同坐标系中的拉普拉斯方程；再次，对球坐标系中的拉普拉斯方程进行求
7、解；最后，介绍了球坐标系中拉普拉斯方程在物理中的简单应用。关键词:数学物理方程；球坐标系；拉普拉斯方程；物理应用贵州工程应用技术学院本科毕业论文iiLaplace equation in spherical coordinates of simple physical applicationsCandidate : Lv Yi-ni Major: PhysicsStudent No.: 39261113102 Advisor: Zhang Feng-lingAbstract: Firstly, the Laplace equation was derived through the three
8、 stable field equations in mathematical physics equations. Secondly, this paper introduced the Laplace equation in different coordinate system. Thirdly, the Laplace equation in spherical coordinates was solved. Finally, the simple physical applications of Laplace equation in spherical coordinates we
9、re introduced.Key words: Mathematical physics equations; Spherical coordinates; Laplace equation; Physical application贵州工程应用技术学院本科毕业论文第 0 页 共 17 页引言17841785 年，拉普拉斯求得天体对其外面任一个质点的引力分量可以用一个势函数表示，这个势函数满足一个偏微分方程 1。这个偏微分方程就是著名的拉普拉斯方程 2,3。本文首先通过数学物理方程中的稳定场方程 4，发现将三类稳定场方程：浓度分布方程、温度分布方程和势场分布方程导出都得到同一个方程，即拉普拉
10、斯方程。拉普拉斯方程与时间无关，是关于空间的偏微分方程。在数学物理方程中，拉普拉斯方程有许多不同的形式：有三维下直角坐标系中的拉普拉斯方程 、柱坐标系中的拉普拉斯方程、022zuyxu极坐标系中的拉普拉斯方程，另外常用的还有球坐标系中的拉普拉斯方程。通过介绍几种拉普拉斯方程在不同坐标系中的形式，说明在不同的问题中应该选择恰当的坐标系才能使变量的分离 5和问题能够变得容易解决。拉普拉斯方程以势函数的形式描写了电场、引力场等物理对象的性质，因此求解拉普拉斯方程是电磁学 6、天文学和流体力学等领域中经常遇到的一类重要的问题。其中球坐标系中的拉普拉斯方程在求解许多圆域内的问题中有广泛的应用，因此着重对
11、球坐标系中的拉普拉斯方程进行求解 7,8，从而得到其通解表达式。近年来，拉普拉斯方程在物理上有极其广泛的应用。例如对于纳米球及纳米球壳颗粒的线性及非线性光学特性的研究 9,10，又如可以通过求解拉普拉斯方程得出在非均匀电场对矿粒吸引力的大小依赖于矿物的介电系数，由此可以分选出不同矿质的颗粒 11。本文通过列举几个球坐标系中拉普拉斯方程在物理中的具体问题，运用之前求出的通解再加上具体问题中的特解 12，结合计算机软件 Mathematica13,14的编程计算，将问题的解用图像展现出来。从而，可以更进一步地理解其中的物理意义。1. 拉普拉斯方程及其求解1.1 拉普拉斯方程1.1.1 引例按照常见
12、的典型物理过程，可以把数学物理方程分为三类：波动方程、输出方程和稳定场方程。其中，稳定场方程 4是指所研究的各种物理现象处于稳贵州工程应用技术学院本科毕业论文第 1 页 共 17 页定状态时所满足的偏微分方程，它描述一种物理的平衡状态。1.稳定的浓度分布方程(这样的标记法易与标题混淆，以下相同问题请自行修改)当在扩散运动中，最终浓度的空间分布不再随时间变化，达到稳定状态则可以得到稳定的浓度分布方程为：(1)fua2(1)式称为泊松方程。如果没有源，式(1)可以化为：(2)02ua(2)式即为拉普拉斯方程。2.稳定的温度分布方程当在热传导方程中物体的温度处于某种稳定状态，温度与时间无关。此时，可
13、得到稳定的温度分布方程为： fua2与(1)式相同。如果没有源，上式可以简化为： 02ua即为(2)式。3.稳定的势场分布方程在静止的情况下，电场与磁场无关，其中麦克斯韦方程组的电场部分为： 0ED上述这两个方程连同介质的电磁性质方程是解决静电问题的基础。其中第一个方程表示静电场的无旋性，第二个方程表示自由电荷分布 是电位移 的D源。根据静电场的无旋性，我们可以引入标势 来描述静电场。电场强度 等于电势 的负梯度，由此我们可以得到电场强度与电势之间E的关系为：贵州工程应用技术学院本科毕业论文第 2 页 共 17 页(3)E在均匀各向同性线性介质中，有：(4)D于是我们就可以得到：(5)2(5)
14、式即为静电势所满足的基本微分方程，与(1) 式一样称为泊松方程。当需要求解的区域内部没有电荷分布时，那么可以得到更为简单的方程：(6)02(6)式这个方程也被称为拉普拉斯方程 2,3。1.1.2 不同坐标系中的拉普拉斯方程1. 直角坐标系中的拉普拉斯方程如图 1 所示，矩形薄片的一边 ， 处绝热，另一边 温度为零0xb0y度， 处保持温度满足函数 ，求该薄片内稳定的温度分布 。ay)(f ),(xu图 1 二维场中的矩形薄片先不考虑边界条件，这个问题就可以用以下方程表示：(7)02yux(7)式即为二维下直角坐标系中的拉普拉斯方程。另外，三维下直角坐标系中的拉普拉斯方程为：(8)022zuyxuyb
