1、 天津外国语大学国际商学院 本科生课程论文（设计） 课程名称： 宋体四号字居中 论文题目： 边际分析和弹性分析在经济中的应用 姓 名： 宋体四号字居中 学 号： 专 业： 年 级： 2012 级 班 级： 12707 班 任课教师： 20 年 月 I 内容摘要 数学在整个经济发展中起着重要的作用，从一般模型的建立到公式的推导、定理的验证，涉及到了大量的数学知识，尤其是导数的应用。导数作为经济中常用的工具，在经济学领域有着丰富 的实际背景和广泛的应用。本文通过导数在经济领域中的成功应用，以边际分析、弹性分析问题为主，加深如何运用导数知识去分析、解决经济中的问题的理解，旨在拓宽人们分析问题的思路。
2、使我们可以从数学的角度得出结论，又可以在经济的理论上得到合理解释，从而达到为企业经营者科学决策提供依据的目的。 关键词：导数；经济学；边际分析；弹性分析 II 目 录 一 引言 . 1 二 边际分析 . 1 （一）边际基本定义 . 1 （二）边际理论的应用模型 . 2 三 弹性分析 . 3 （一）弹性基本定义 . 3 （二）需求弹性 . 3 （三）弹性应用于经济学的实际意义 . 4 四 结论 . 6 参考文献 . 7 1 边际分析和弹性分析在经济中的应用 一 引言 导数是求解经济问题的最常用的工具，利用导数求解经济问题的关键在于深刻理解与掌握经济领域中的变化率问题，而其中最典型的是“边际”与“
3、弹性”的概念。以下我们将主要对边际分析和弹性分析以及其在经济学的应用探究。 二 边际分析 （一）边际基本定义 边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率。利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析方法，是经济理论 中的一个重要分析方法。边际概念表示，当 x的改变量 x 趋于 0时， y的相应改变量 y 与 x的比值 y/ x的变化，即当 x在某一给定值附近有微小变化时， y 的瞬时变化。用数学语言表达为：设函数 y= f(x)在 (a， b)内可导，则称导数 )( xf 为 f(x)在 (a， b)内的边际函数；在 0x 处的导数值 )( 0 xf 称为 f(x)在 0x
4、处的边际值。根据不同的经济函数，边际函 数有不同的称呼，如边际成本、边际收益、边际利润、边际产值、边际消费、边际储蓄等。 1.边际成本 设生产某种产品 q 单位时所需要的总成本函数 c(q)可导，则其边际成本定义为： 边际成本是总成本函数 c(q)关于产量 q的导数，其经济含义是：当产量为 q时，再生产一个单位（即 q=1）的产量所增加的总成本为 c(q)。因此，近似地记为： 2 2.边际收益 指销售量增加一个单位时所增加的总收益或增加这一个单位的销售产品的销售收入，是总收益 TR关于产量 q 的导数，记作 MR= C (q)。 （二）边际理论的应 用模型 边际分析理论是当代经济理论中数学方法
5、的基础之一，可用来预测商品价格需求量或供给量，确定企业内部生产资料同劳动数量之间最合理的比例；确定企业的最佳规模，直至最合理的分配整个社会的资源等问题。下面主要探讨一下，如何利用边际理论决策最低成本、最优利润，以提高企业经营管理水平。 1. 建立最低成本的模型 从图 1 可知，由于平均成本包括产量增加而始终递减的固定成本，同时它又是按全部产量平均计算的，所以它的曲线由递减转递增较边际成本曲线更迟缓。 边际成本与平均成本之间有一个很重要的关系。从上图来看，当平均成本与边际成本相等时， MC=AC，平均成本为最低，也就是说，边际成本曲线 MC 与平均成本曲线 AC 相交于平均成本曲线的最低点处 F
6、 处。这一点就是通常所谓的“经济能量点”或“经济有效点”，也就是成本最低的一点。企业家应该把生产规模调整到平均成本的最低点（即 F 点），才能使生产资源得到最有效的利用，增加盈利。 3 2. 建立最大利润模型 如图 2 看出，当边际收益等于边际成本时， MR=MC，即两条切线平行，收入和成本两个函数的导数相等时，才达到最大利润，才能找到合理的生产模型。此外为了是利润极大值存在，利润函数的二阶导数还必 须小于零。 三 弹性分析 （一）弹性基本定义 弹性作为一个数学概念，是指相对变化率， 即相互依存的一个变量对另一个变量变化的反应程度。设函数 y = f(x)可导，函数的相对改变量)( )()(
7、xf xfxxfyy 与自变量的相对改变量xx之比xxyy称为函数 f (x)从 x 到 x + x两点间的弹 性 (或相对变化率 )。用比例来说， 是自变量变化 1% 所引起因变量变化的百分数。弹性是一种不依赖于任何单位的计量法， 即是无量纲的。 （二）需求弹性 需求价格弹性是是经济数学弹性中应用最广泛的概念之一。它是指物品的需求量对价格变化的反应程度即需求弹性 = 需求变化百分比 / 价格变化百分比。设需求函数为 Q = Q(P) ，这里 P 为价格， Q为需求量。如果我们以极限为工具4 来研究需求弹性，则此变化率可定义为pQpQpE )(d。 当 1dE ，称为单位弹性，即商品需求量的相
8、对变化与价格的相对变化相等。 当 1dE ，为富有弹性，即商品需求量的相对变化大于价格的需求变化。此时价格的变化对需求量的影响较大。换句话说适当降价会使需求量有大幅度上升，从而能够增加收入需求。富有弹性的商品价格下降而总收益增加，就是我们常说的薄利多销；需求富有弹性的商品价格上升，便会导致需求量大大减少从而导致总收益的减少。 当 1Ed 时，称为缺乏弹性，即商品需求量的相对变化小于价格的相对变化。此时价格的相对变化对需求量的影响较小，在适当涨价后不会使需求量有太大的下降，从而可以使收入增加。最为典型的就是粮食。中国有句古语叫“谷贱伤农”意思是指粮食丰收但是农民的收入反而会减少。原因就在于粮食是
9、生活必需品缺乏弹性，粮食丰收以供大于求，粮价必定下跌，但是需求量并没有增加多少，这就导致农民的总收益减少。当遇到灾荒年时粮食的供给减少，但是需求量变化不大，粮价自然上升，农民的收 入反而会增加。所以作为农民若想增加收入 作出合理安排，应该在丰收年囤积粮食，待灾荒年高价卖出。 当 1Ed 时，称为完全弹性。 当 0Ed 时，称为完全无弹性。 （三）弹性应用于经济学的实际意义 1.进出口商品供求弹性与国际贸易收支 研究某个国家进出口商品供给和需求弹性，对这个国家正确地制定汇率政策、价格政策、产业政策、外贸管理政策等宏观微观经济政策，进而改善 贸易收支，促进国际收支平衡有着重大的理论意义。 一般而言
10、，需求弹性越大，货币贬值对贸易收支的调节效果越好，越有利于改善国际贸易收支。当需求弹性无穷大时，一国货币贬值不仅能消除逆差，还可以使该国从逆差变为顺差。相反当需求缺乏弹性时，一国的货币贬值不仅不能改5 善国际贸易收支，反而使国际贸易收支恶化。进出口商品的供给弹性性对贸易收支也有影响，但其影响方向是不确定的。英国经济学家马歇尔率先提出了商品的供给和需求价格弹性理论，并将其运用于国际贸易领域，正式提出了“进出口需求弹性”的概念。后来在勒纳等人的相继努力下，创立 了国际收支弹性分析法的马歇尔一勒纳条件，主要考察在假定供给弹性无穷大时，货币贬值与贸易收支之间的改善关系。在这一条件中，只要该国出口和进口
11、需求弹性之和的绝对值大于1，那么该国的货币贬值一定能够改善贸易收支，进而改善国际收支。 2.供需弹性与税负转嫁 税负转嫁，就是纳税人不实际负担所纳税收，而通过购入或销出商品价格的变动，或通过其他手段，将全部或部分税收转移给他人负担。税负转嫁并不会影响税收的总体负担，但会使税收负担在不同的纳税人之间进行分配，对不同的纳税人产生不同的经济影响。税负转嫁是税收政策制定时必须考虑 的重要因素。税负转嫁的主要途径是价格的变动，转嫁的幅度取决于供求弹性。需求弹性较大，供给弹性较小，税收将主要由纳税人自己承担 ;需求弹性较小，供给弹性较大，税收将主要由其他人负担。税负完全转嫁或完全不能转嫁的情形，理论上分析
12、只能是下列四个条件之一 :一是需求完全没有弹性，二是需求有充分弹性，三是供给完全没有弹性，四是供给有充分弹性。在第一和第四种情况下，税负可以完全转由购买者负担。在第二和第三种情况下，税收将完全由纳税人自己负担。当然，这四种情况出现的机会都很少，因此，较普遍的情况总是在这两个极端之间。例如，生 活必需品盐类由于缺乏弹性，消费者税收负担就比较大 ;而生活奢侈品由于富有弹性，消费者税收负担就比较小。 3.恩格尔定律的应用 恩格尔定律是需求收入弹性应用的一个范例。其含义是 :对于一个家庭来说，收入水平越低，食物支出占消费总支出的比重越大，反之则相反。对于一个国家来说也是这样。因此，如果用恩格尔系数来表
13、示食物支出变化率与总支出变化率的比值，那么，其大小同收入水平的高低 (或家庭的富裕程度 )成反比。由于收入等于消费储蓄，故消费总支出可用收入代替。因此恩格尔系数也可表示为食物支6 出变化率与收入变化率之比，其实质就是需 求的收入弹性，西方统计学家经常以恩格尔系数的高低作为划分低、中、高收入国家的标准。事实上，恩格尔系数还可以反映出在商品价格变化的情况下，价格的同一变动对不同收入水平的家庭(或国家 )的影响是不同的。比如当食物价格上涨幅度大于其他消费品价格上涨幅度时，低收入家庭更加不利。目前，恩格尔系数已被广泛应用于消费结构的变化分析。 值得注意的是，在经济分析中，弹性分析需要的数据少，计算方法
14、只需要对微分和导数有所了解即可，而且应用广泛灵活。但是，由于考虑的变量较少，分析结果可能有片面性。这就要求利用这一分析方法时要充分考虑 其他因素的影响，必要时适当修改分析结论。 四 结论 在当今国内外，越来越多的应用高等数学知识，越来越多地将数学作为分析工具，正如我们以上的分析，将高等数学中求导法则应用于经济中，根据变量的实际含义进行应用，边际分析和弹性分型就是很好的例证，这种借用数学的分析方法，使经济分析走向定量化、精密化和准确化，同时给企业经营者提供客观、精确的数据和视角，这也正是数学应用性的具体体现。 7 参考文献： 1吴赣昌 .微积分 :经济类 :上册 M.北京：人民大学出版社， 2008. 2李振 宇，陈兴荣 .关于一类函数边际概念的经济特征 M.工科数学， 1993. 3盛光进 .经济应用数学 M.上海 :上海交通大学出版社， 2009. 4 黎诣远 .经济数学基础 M.高等教育出版社， 2010. 5龙辉平 .浅谈边际与弹性的经济学分析与应用 J.湖南工业职业技术学院学报第 9 卷第 2 期 . 6董秋林 .弹性理论在经济学中的应用 .数学之美， 2006(1).
