第二章 薄板的振动问题2-1 薄板的自由振动等厚度各向同性薄板的非齐次运动方程为其中 为 板的单 位面积 上的质 量。p 为动载 荷。首先考虑齐次运动方程，即自由振动问题令 w = T(t)W(x,y), 代入齐次方程，两边同除TW, 得（1）（2）分离变量得常微分方程和微分方程固有值问题（3）（4）其的通解为因此薄板的自由振动问题可化为微分方程的固有值问题，即求振形函数在齐次边界条件下的非零解。使自由振动问题有非零解的频率 称为 固有频 率，相应非零解W 称为固有函数。振形微分方程（4）以及齐 次边 界条件完全确定固有频率的数值，而与动载荷无关。2-2 四边简支矩形薄板的自由振动设有四边简支的矩形薄板如图所示。OabxyACB取振形函数形式为代入振形方程（4）得给定一组m,n 的值，就可得到一个相应的固有频率，不妨用两个下标来表示某个固有频率，上式可写成由此可写出挠度函数的形式解将挠度的初始条件展成固有函数的级数其中待定系数由挠度函数的非齐次初始条件决定。解得其中挠度表达式讨论 运用分离变量法解偏微分方程，必然导致固有值问题： 分离变量法要求分离变量后每个函数有非零解，因此要求固有值
