复变函数湖北民族学院理学院7.1 解析变换的特性7.1.1 解析变换的保域性7.1.2 解析变换的保角性7.1.3 单叶解析变换的共形性第七章 共形映射2022/1/111复变函数湖北民族学院理学院定理7.1 (保域定理)设w=f(z)在区域D内解析且不恒为常数,则D的象G=f(D)也是一个区域.证 首先证明G的每一点都是内点.设w0G,则有一点z0D,使w0=f(z0).要证w0是G的内点,只须证明w*与w0充分接近时,w*亦属于G.即当w*与w0充分接近时,方程w*=f(z)在D内有解.为此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,)由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆C:|z-z0|=R,显然 f(z0)-w0=0,f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外)C及C的内部全含于D,使得均不为零.因而在C上:7.1.1解析变换的保域性内的点w*及在C上的点z有对在邻域2022/1/112复变函数湖北民族学院理学院因此根据儒歇定理,在C的内部与f(z)-w0有相同零点的个数.于是w*=f(z)在D内有解. 由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线C:
