1、1矩量法及其在天线中的应用电子工程设计技术一部分依赖于适当的物理结构模型。该模型可以使分析更有效更正确，以便工程师在极少的模型反复和试验检查步骤的情况下达到所需要的性能指标。大多数电气和电子工程师应用电路理论模型来分析各种有源和无源电路。这种模型简单易行，不需大量的理论背景，也很容易实现。然而，它们不能预测电源频率下的电路状态特性，更不用说分析辐射现象。电路理论模型需要与物理结构相联系。电磁场模型主要被天线和微波工程师所采用。分析从物理结构开始，它提供了设备和电路的性能。大多数电磁场问题没有解析解，而是采用数值逼近 法。电磁场分析的数值方法有多种。它们都是以麦克斯韦方程或推导方程为基础的。场分
2、析的数值方法可分为许多类。大多数的数值方法解决线性问题，如大部分天线结构。这些系统被一系列算子方程所描绘。一个算子是从一个函数空间到另一个函数空间的映射。因此，算子方程里的未知量是一个方程。解决非线性系统的方法不在我们讨论的范围内。另一种分类是数值方法求解的量为基础的。一些方法直接解决电场或磁场矢量或是与它们密切相关的量（例如，洛仑兹电位）。初始方程是麦克斯韦方程的微分形式或它们的推导（例如，波动方程）。因此，未知量沿场占有的体积传播，待求方程是几个未知变量的线性偏微分方程。这类方法有有限元法(FEM,the finite element method)和有限差分法(FD,the finite
3、 difference)。相对来说，FEM 和 FD 编程容易，它们能有效处理不同类甚至非线性媒质。然而，它们通常需要一定的精确度，因此，需要大量的计算机资源。第二种方法是求解场源（电流和电荷）。这些源可以是物理源或是通过电磁场定理推导的数学源（等效源）。在数值分析中，电磁场或是关联电位用这些源来表示，通常通过洛仑兹电位。这些表达式是积分形式，源出现在适当的核心方程相乘的积分里。例如，对真空场来说，洛仑兹电位的核心就是自由空间的格林方程。另一方面，某些方程是以边界条件或构成关系为基础的。边界条件与不连续表面场矢量的切线和法线有关。构成关系反映媒质特性：电介质极化，电流传导性和磁化强度。最后，在
4、推导中，涉及边界条件和构成关系的量用场源表示。结果，得到了未知源的积分方程（或一组积分方程）。在许多情况下，未知量沿体积分布，在其他许多情况，源在表面分布。待求方程是有关未知量的积分方程，这类方法以矩量法（MoM）为基础。在某些情况下，未知量的导数可能出现在方程里，提出，这类方法需要一些分析准备和数值程序的执行。当应用在不均匀媒质时，效率低，不适合非线性媒质。本文中，重点在于有关天线问题的积分方程的应用，应用 MoM 法求解。文章介绍了MoM 的基本原理，省略了详述和严格的证明，详细的给出了天线的矩量法应用，并给出了相关的运算程序和计算结果。第一节 矩量法原理线性算子方程电磁场问题的数值求解方
5、法可分为两种。第一种直接针对电磁场，第二种针对场源。在两种情况下，待求方程为关于未知量（场或源）的线性算子方程。然而第一种情况是微分方程，第二种是积分方程。两类方程属于线性算子方程，通式为L(f)=g (1.1)式中，L 为算子；g 为源或激励，认为它是已知方程；f 为场回响应，它为待求未知方程。算子的线性遵循麦克斯韦方程和构成方程的线性，这里仅考虑线性媒质。对第一类数值方法，L 为微分算子，f 为场矢量或电位， g 是一个已知量。对第二类数值方法，L 为积分算子，f 代表场源，g 是一个已知激励。线性算子方程能用求解，它是解决线性算子方程的综合技术。2矩量法的基本步骤基本步骤如下。未知量（f
6、）被分解为一系列线性无关的线性函数 （基函数或展开nf函数），由以下有限级数组成(1.2)1Nnff2式中， 为待定系数。选择基函数时通常依赖先验知识，以使 f 有较小数量（N ）的元素n组成。将(1.2)式代入式(1.1) ，可得近似方程(1.3)1()NnLfg因为算子是线性的，可重写式(1.3)，得(1.4)1()nf值得注意的是，(1.3)式不能精确地满足所有点，因为级数个数是有限的。有解析解的例子很少，不属于这里讨论的范围。未知系数在式(1.3)成立的时候可求得。因此，要采取措施使式(1.3)的左右两边匹配，以保证一定的精确度。在矩量法中，采取如下措施。方程(1.3)的两边被乘以已知
7、选择的适当的函数 ，称mW为权函数。两函数 f 和 g 作内积为 。指定空间元素 f 和 g 的内积是标量，满足以,fg下性质： ,hh*0,ff为任意标量，h 为同空间另一个元素。,加权函数的选择和内积也要依靠先验知识。现在有下式成立(1.5)1,(),NnmnmwLfg式是一个含有待定系数的线性联立方程组。为得到这些参数的确定线性方程系统，加权函数必须是线性无关的 N 元方程，可得m=1,N (1.6)1,(),Nnmnmf方程包含个未知量，要解它有很多种方法。基函数和权函数的选择可以是任意的。为了得到比较精确的解，选择基函数要使得结果由相对少的基函数组成。同样，选择权函数要使得方程(1.
8、4)两边有较小的差异。另一方面，函数的选择哟啊兼顾非复杂性和计算时间，以及有更大的适应范围。当选用相同形式的基函数和权函数 时，这种方法称为伽略金法(,1.,)nfgn(Galerkin)法，它与雷利里兹(Raleigh-Ritz)变分法等效，通常应用在有限元逼近中。基函数和权函数都可以分为两类。第一类为分域基函数，仅在每一个子域里定义一个基函数（如，其他域为零），通常有脉冲函数，三角基函数（阶梯函数）。分域基可以处理任意形状的天线，然而它可能回引起不稳定，因为未知函数的近似可能不连续或有不连续的导数，所以需要大量的基函数组成，可获得精确解。另一类为全域基函数，每一个函数在全域里不为零，有多项
9、式，三角函数等等。3矩量法与 Harrington 问题a. Harrington 问题： 方程 (1.7)201(),()|xxdfg24,(01)xb. 矩量法解. 全域基伽略金法: 基函数： 1(),.,nnfxN权函数： .mmW(),nnLwf3(38),24mmgw1nLgTnff. 全域基点匹配法: 基函数： 1(),0,1.,nnfxxN权函数： ，其中)mmW1,mxxN1(),(nnnLwf214gxnmgTnff. 分域基 pulse-点匹配法: 基函数： 10(),.,nnfxN在 子 域其 他权函数： ，其中)1mmW1,mxxN2,()021,|(),nxelsnn
10、Lwxf214mmgngTnff. 分域基 pulse-伽略金法: 基函数： 10(),.,nnfxN在 子 域其 他权函数： ，其中mW在 子 域其 他 1,mxxN2,01,|(),mnxelsnnLwxf23,4mg1nmgTnff. 三角基 pulse 选配法: 基函数： (),1.,nfxTN权函数： ，其中10mW在 子 域其 他 1,mxxN2,01,|(),mnxelsnnLwxf22,4)mg1nmg4Tnff4用矩量法求解 Harrington 问题编程实现的原代码及结果. 全域基伽略金法: （ 原代码）主程序：clcclear all ;close all;x=0:0.0
11、01:1;f=0;N=10;for m=1:Nfor n=1:NLmn(m,n)=m*n/(n+m+1);endgm(m)=m*(3*m+8)/(2*(m+2)*(m+4);endtemp=(Lmn-1);aref=temp*gm;for n=1:Nf=f+aref(n)*fn(x,n);endf0=5*x/6-0.5*x.2-x.4/3;plot(x,f,b*,x,f0,r)ylabel(f);xlabel(x);grid on子函数：function y=fn(x,n)y=x-x.(n+1);结果：. 全域基点匹配法: （ 原代码）主程序：clcclear all ;close all;x
12、=0:0.001:1;f=0;N=10;detx=1/(N+1);m=1:N;gm=0;Xm=m*detx;for m=1:Nfor n=1:NLmn(m,n)=n*(n+1)*Xm(m)(n-1);endgm(m)=1+4*Xm(m)2;endtemp=(Lmn-1);aref=temp*gm;for n=1:N5f=f+aref(n)*fn(x,n);endf0=5*x/6-0.5*x.2-x.4/3;plot(x,f,b*,x,f0,r)ylabel(f);xlabel(x);grid on子函数：function y=fn(x,n)y=x-x.(n+1);结果：. 分域基 pulse-
13、点匹配法: （ 原代码）主程序：clcclear all ;close all;x=0:0.001:1;f=0;N=10;detx=1/(N+1);m=1:N;gm=0;Xm=m*detx;for m=1:Nfor n=1:NLmn(m,n)=Lmn_calculated(detx,m,n);endgm(m)=1+4*Xm(m)2;endtemp=(Lmn-1);aref=temp*gm;for n=1:Nf=f+aref(n)*Pulse(x-Xm(n),detx);endf0=5*x/6-0.5*x.2-x.4/3;plot(x,f,b*,x,f0,r)ylabel(f);xlabel(x
14、);grid on子函数：function y=Lmn_calculated(detx,m,n)if (m=n) y=2/(detx)2;else if (abs(m-n)=1) y=-1/(detx)2;else y=0;end endfunction y=Pulse(x,detx)len=length(x);for n=1:lenif abs(x(n)=detx/2 y(n)=1;6else y(n)=0;endend结果：. 分域基 pulse-伽略金法 : 主程序：clcclear all ;close all;x=0:0.001:1;f=0;N=10;detx=1/(N+1);m=1
15、:N;gm=0;Xm=m*detx;for m=1:Nfor n=1:NLmn(m,n)=Lmn_calculated(detx,m,n);endgm(m)=(1+4*Xm(m)2+detx3/3)*detx;endtemp=(Lmn-1);aref=temp*gm;for n=1:Nf=f+aref(n)*Pulse(x-Xm(n),detx);endf0=5*x/6-0.5*x.2-x.4/3;plot(x,f,b*,x,f0,r)ylabel(f);xlabel(x);grid on子函数：function y=Lmn_calculated(detx,m,n) if (m=n) y=2/
16、(detx);else if (abs(m-n)=1) y=-1/(detx);else y=0;end endfunction y=Pulse(x,detx)len=length(x);for n=1:lenif abs(x(n)=detx/2 y(n)=1;else y(n)=0;endend结果：. 三角基 pulse 选配法: （ 原代码）主程序：7clcclear all ;close all;x=0:0.001:1;N=300;detx=1/(N+1);m=1:N;gm=0;f=0;Xm=m*detx;for m=1:Nfor n=1:NLmn(m,n)=Lmn_calculate
17、d(detx,m,n);endgm(m)=(1+4*Xm(m)2+detx3/3)*detx;endaref=(Lmn-1)*gm;for n=1:Nf=f+aref(n)*Triangle(x-Xm(n),detx);endf0=5*x/6-0.5*x.2-x.4/3;plot(x,f,b*,x,f0,r)ylabel(f);xlabel(x);grid on子函数：function y=Lmn_calculated(detx,m,n) if (m=n) y=2/(detx);else if (abs(m-n)=1) y=-1/(detx);else y=0;end endfunction
18、y=Triangle(x,detx)len=length(x);for n=1:lenif abs(x(n)=detx/2 y(n)=1-abs(x(n)/detx;else y(n)=0;endend第二节 静电场问题的矩量法求解1静电场算子方程a. 静电场方程：在自由空间存在理想导体，带电压，感应电荷为 ， 为源的矢置矢量，它在周围()r空间的电位分布为 ，电场为 ，有()r()Er()2r.:|BC得到算子方程： ，其中， 。()Lr2L8解为 1()()4VrrdR得逆算子 。1Lb.性质:算子为实的正定自伴算子。2用矩量法求导体平板上的电荷分布及电容a方板的边长为 2a,带电电压 V
19、，电荷分布为 ，电位为(,)xy,式中 ()(,)4axyxyzdR 22()z观察点在板上，有 22(,)adxy 用分域基，将导体班均匀划分为个小方块，用基： 10nnsnsf在 上在 所 有 其 它 上则电荷密度表示为 1(,)Nnxyf权：点选配 )mmw由此可得， 2(0.814)4bn bldxy， ，可求得 ，即得电荷密度。mVgmnmlgnb用矩量法求解导体平板上的电荷分布及电容编程实现的原代码及结果主程序：clcclear allclose alla=0.5;N=10;%50V=1;b=a/N;for m=1:N2for n=1:N2Lmn(m,n)=lmn_flatboar
20、d(m,n,a,b,N);endendV=zeros(N2,1)+1;temp=Lmn-1;arf=temp*V; i=1;for m=1:Nfor n=1:Nshow(m,n)=arf(i);i=i+1;endend9mesh(show);C=abs(sum(arf)*(2*b)2子函数：function y=lmn_flatboard(m,n,a,b,N)epsl0=8.854187817e-012;if m=ny=2*b*0.8814/(pi*epsl0);%log(1+sqrt(2)=0.8814elsefor i=1:Nfor j=1:Nif (i-1)*N+j=m)locateX_
21、m=i;locateY_m=j;break;endendif (i-1)*N+j=m)break;endendfor i=1:Nfor j=1:Nif (i-1)*N+j=n)locateX_n=i;locateY_n=j;break;endendif (i-1)*N+j=n)break;endendy=b2/(pi*epsl0*sqrt(locateX_m-locateX_n)*2*b)2+(locateY_m-locateY_n)*2*b)2);end结果：(N=10 时)C =3.9833e-011电荷分布图(N=50 时)C =4.0650e-011电荷分布图104用矩量法求平行板电容
22、上的电荷分布及电容a多导体系统：N 个带电导体，第 n 个导体的电压 Un，电荷为 Qn，密度为 ，则有n124nsnVSdRA在 上在 上在 上b平行方板电容器：板宽为 2a，板间距为 d，在平行方板问题中，其中 ， 同于单板问题，而bLtt=Ltb，可通过近似简化之，而又 ，所以 可22()()tbmnmnxydnl bttLL得。， ，tbmgtbVgnmLg即可求得 ，从而得到电荷发布与电容。nc用矩量法求平行板电容上的电荷分布及电容的原代码及结果主程序：clcclear allclose allepsl0=8.854187817e-012;a=0.5;N=10;b=a/N;d=0.01;N=a/b;V0=1;for m=1:N2for n=1:N2Lmn(m,n)=lmn_flatboard(m,n,a,b,N);Lmn_tb(m,n)=lmn_tb(m,n,a,b,d,N);endendL=Lmn,Lmn_tb;Lmn_tb.,Lmn;V1=zeros(N2,1)+V0;V2=-V1;V=V1;V2;temp=L-1;arf=temp*V; i=1;for m=1:Nfor n=1:Nshow(m,n)=arf(i);i=i+1;end
