1、联系 QQ1165557537二、矩阵（一）矩阵概念由 mn 个数排成 m 行，n 列的数表称为 mn 矩阵，数 aij称为矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素当 m = n 时， A 称为 n 阶方阵；当 m 1 时， A 称为行矩阵；当 n = 1 时， A 称为列矩阵。元素全为 0 的矩阵称零矩阵，记作 O 。注意不同型的零矩阵是不相等的。（二）矩阵的运算1 矩阵的加法设 A = ( a ij ）与 B = ( b ij ）是同型矩阵，矩阵 A 与 B 的和记作 A + B ，规定矩阵相加满足：2 数乘矩阵数乘矩阵满足：矩阵相加及数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。矩阵相乘不满足交换律
2、，即一般 ABBA。还要注意两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。例如主对角线上的元素都是 1 ，其他元素都是 0 的方阵称为单位阵，记作 E，阶单位阵也记作 En。单位阵满足：4 方阵的幂设 A 为，n 阶方阵，规定方阵的幂满足：AB 是 A 左乘 B ，BA 是 A 右乘 B ，AB 有意义时， BA 可以没有意义.又，矩阵 A 0 , B0 时却可有 BA=0 。 而 A 0 , A ( ZY ）=0 不能得出 Z = Y 的结论。矩阵的转置满足： ( A T ) T = A ; ( A + B ) T = AT + BT ; （A） T=A T ; （AB）T = B TAT 。若方阵 A
3、= ( a ij ）满足 (AT ) = A ，则称 A 为对称阵。对称阵的元素按主对角线对称相等。即 aij a ji。6 方阵的行列式由 n 阶方阵 A 的元素所构成的 n 阶行列式叫做方阵 A 的行列式记作| A|或 detA 。|A|=0 时称 A 为奇异（方）阵，|A|0 时称 A 为非奇异（方）阵。注意长方阵没有行列式。（三）逆阵对于 n 阶方阵 A ，若存在 n 阶方阵 B ，使则称方阵 A 是可逆的， B 是 A 的逆阵，记作 A -1 。对于可逆矩阵有：当 A 可逆时，规定 A 0 E ,A -k = ( A -l ) k 。由|A|的代数余子式 Aij所构成的 n 阶方阵称
4、为方阵 A 的伴随阵。根据行列式性质 8 和 9 ，可得定理 n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是|A|0。当|A|0 时，由定理可知，可逆阵就是非奇异阵，不可逆矩阵就是奇异阵。（四）矩阵的初等变换 1 矩阵的初等变换与矩阵的等价下列三种变换称为矩阵的初等行变换：初等变换是可逆的。这就是说，若矩阵 A 经初等变换变为 B ，则 B 亦可经初等变换变为 A 。若矩阵 A 经初等变换变为 B ，则称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B 。AmnB mn，的充分必要条件是：存在 m 阶可逆阵 P 和 n 阶可逆阵 Q ，使 PAQ = B。方阵 A 可逆的充分必要条件是 A E 。2 行阶梯形及标准
5、形矩阵经初等行变换可变为行阶梯形和行最简形，再经初等列变换可变为标准形。例如：上面最后一个矩阵称为行阶梯形，它的特点是每个阶梯只有一行。继续施行初等行变换，可把它化成行最简形：上面最后一个矩阵称为行最简形，它的特点是行阶梯形中非零行的第一个非零元素为 1，且含这些元素的列的其他元素都是零。再施行初等列变换，可把它变为标准形：上面最后一个矩阵称为标准形，它的特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都是零。把矩阵化为行阶梯形和行最简形，是矩阵求秩和解线性方程组的有效手段。矩阵的许多运算都可以通过初等变换来实现。3 用初等变换求逆阵当方阵 A 可逆时， A 可经初等行变换变为 E ，因此对 n 2n 矩阵（ A | E ）施行行变换，当把 A 化为 E 时， E 就化为 A -1。
