1、于安士120010 届高考数学快速提升成绩题型训练抽象函数1. 已知函数 y = f (x)(x R，x0)对任意的非零实数 1x， 2，恒有 f( 1x2)=f( 1)+f( 2x),试判断 f(x)的奇偶性。2 已知定义在-2 ，2 上的偶函数， f (x)在区间0，2上单调递减，若 f (1-m)0.(1)求 ()f;(2)求和 1()3.()ffn*)N;(3)判断函数 x的单调性 ,并证明.14.函数 ()f的定义域为 R,并满足以下条件:对任意 xR,有 ()fx0;对任意 ,xyR,有yfx; 1()3f.(1)求 (0)的值;(2)求证: fx在 R 上是单调减函数 ;(3)若
2、 abc且 2ac,求证: ()2()fcfb.15.已知函数 ()fx的定义域为 R,对任意实数 ,mn都有 )()nfmn,且当 0x时,0()1f.(1)证明: ,0x且 时 f()1;(2)证明: ()f在 R 上单调递减 ;(3)设 A= 22,()xyfyf,B=(,)2)1,xyfaaR,若 AB=,试确定 a的取值范围.16.已知函数 ()fx是定义在 R 上的增函数,设 F()()xfax.(1)用函数单调性的定义证明: ()x是 R 上的增函数;(2)证明:函数 y= ()Fx的图象关于点( ,02a成中心对称图形 .17.已知函数 f是定义域为 R 的奇函数,且它的图象关
3、于直线 1x对称.(1)求 (0)f的值;于安士3(2)证明: 函数 ()fx是周期函数;(3)若 ()01,f求当 xR时, 函数 ()fx的解析式,并画出满足条件的函数 ()fx至少一个周期的图象.18函数 ()fx对于 x0 有意义，且满足条件 (2)1,()(),ffxyfyf是 减函数。（1）证明： 10；（2）若 ()3)2fx成立，求 x 的取值范围。19设函数 在 (,上满足 (2)()ffx， (7)()ffx，且在闭区间0，7上，只有 1)0f（1）试判断函数 (yx的奇偶性；（2）试求方程 )f=0 在闭区间 -2005，2005 上的根的个数，并证明你的结论20. 已知
4、函数 f（ x）对任意实数 x， y，均有 f（ x y） f（ x） f（ y），且当 x0 时，f（ x）0， f（1）2，求 f（ x）在区间2，1上的值域。21. 已知函数 f（ x）对任意 ，满足条件 f（ x） f（ y）2 + f（ x y），且当x0 时， f（ x）2， f（3）5，求不等式 的解。22. 设函数 f（ x）的定义域是（，），满足条件：存在 ，使得 ，对任何 x 和 y， 成立。求：（1） f（0）； （2）对任意值 x，判断 f（ x）值的正负。23. 是否存在函数 f（ x），使下列三个条件： f（ x）0， x N； f（2）4。同时成立？若存在，求出
5、f（ x）的解析式，如不存在，说明理由。24. 设函数 y f（ x）的反函数是 y g（ x）。如果 f（ ab） f（ a） f（ b），那么g（ a b） g（ a） g（ b）是否正确，试说明理由。25. 己知函数 f（ x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当 是定义域中的数时，有 ； f（ a）1（ a0， a 是定义域中的一个数）；当 0 x2 a 时， f（ x）0。答案：于安士41. 解：令 1x= -1， 2=x，得 f (-x)= f (-1)+ f (x) 为了求 f (-1)的值，令 1x=1， 2=-1，则 f(-1)=f(1)+f(-1),即 f(1)=0,
6、再令 1= 2=-1 得 f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1) f(-1)=0 代入式得f(-x)=f(x),可得 f(x)是一个偶函数。2. 分析：根据函数的定义域，-m ， m-2,2 ，但是 1- m 和 m 分别在-2，0和0，2的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则 f (x)有性质 f（ -x)= f (x)=f ( |x| )，就可避免一场大规模讨论。解：f (x)是偶函数， f (1-m)0, 令 0,2xy得, 2(0)(0)1fff(2)任取任取 1212,x且 ,则令 13p,故 12p函数 ()f的定义域为 R,并满足以下条件:对任意
7、xR,有 ()fx0;对任意 ,xyR,有 yfx; ()3f 121212() ()()3ppfpff0 fx函数 ()是 R 上的单调减函数 .(3) 由（1） （2）知， ()01fb， ()1fb (),a cfaffcf ()()()2()acacbbbfcfff，而 2acb 22ab ()()fcf15. (1)证明: 令 0,1mn,则 ()(01)ff当 x时, ()fx,故 , , 当 0x时, ()1fx于安士8当 0x时, ,则 (0)1()()ffxfxffxfx(2)证明: 任取 1212,R且 ,则2 211()()()()fxffxfxfxffx211()()f
8、xf 10,00 Fx是 R 上的增函数;(2)设 0(,)My为函数 = ()Fx的图象上任一点,则点 0(,)Mxy关于点( ,0)2a的对称点为 N(,mn),则 00,22xna,故 00,maxny于安士9把 0,max代入 F()()fxa得, 0000()()()(fxfaxfafx=-0y函数 = ()x的图象关于点 ( ,0)2成中心对称图形.17.(1)解: f为 R 上的奇函数, 对任意 ,xR都有 ()(fxf,令 0,x则(0)(f =0(2)证明: ()fx为 R 上的奇函数, 对任意 ,xR都有 ()(fxf, ()f的图象关于直线 1对称, 对任意 都有 1),
9、 用 1x代 得, (2)()()(fxfxffx 2()f,即 4) x是周期函数,4 是其周期.(3)当 1,3时， (1)23xf当 4kx时， (4fk， Z当 13k时， )x， (41() ,243)xkf zR图象如下：y-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x18.(1)证明：令 1xy，则 ()(1)ff，故 (1)0f于安士10（2） ()1f，令 2xy，则 ()(2)ff， (4)2f 3x2(3)43(314f xfxx ()f成立的 x 的取值范围是 1。19解:（1）由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数 )(xfy的对称轴为 72x和
10、 ,从而知函数 )(xfy不是奇函数,由 )14()()14()7()(2 xfxfxffff 10x,从而知函数 y的周期为 0T又 )(,)(3ff而 ,故函数 )(xf是非奇非偶函数 ;(2)由 )14()14()7()(2 xfxffxffxf )10(xff又 0973(1,03 故 f(x)在0,10和-10,0 上均有有两个解 ,从而可知函数 )(xfy在0,2005 上有 402 个解, 在-2005.0上有 400 个解,所以函数 )(xfy在-2005,2005上有 802 个解.20. 解：设 ，当 ， ， ， ，即 ， f（ x）为增函数。在条件中，令 y x，则 ，再令 x y0，则 f（0）2 f（0）， f（0）0，故 f（ x） f（ x）， f（ x）为奇函数， f（1） f（1）2，又 f（2）2 f（1）4， f（ x）的值域为4，2。21. 解：设 ，当 ， ，则， 即 ， f（ x）为单调增函数。
