1、专题 抽象函数一、知识梳理（1）几类常见的抽象函数抽象函数满足条件 代表函数1 1212()()fxfxf（ ）()fxk021212()()fxfxf（fa,1）31122()()xfffx（()logafx）0,14 112ff ()afx5 12()()()xxfxf cos6 1)()ff()tan4xf7 1212()xfxff 1()logafx8 ()()ffx或lafx1()（2）抽象函数的对称性若函数 定义域为 ，且满足条件： ，则函数 的图像关于直线 对o1)(xfyR)(xbfaf)(xfy2bax称推论 1 若函数 定义域为 ，且满足条件： ，则函数 的图像关于直线 对
2、)(f )(f)(f称推论 2 若函数 定义域为 ，且满足条件： 又若方程 有 个根，则此 个根的和为)(xfyR)(xaf0)(xfnna若函数 定义域为 ，且满足条件： （ 为常数） ，则函数 的图象关o)(f cbf)(, )(xfy于点 对称2,(cb推论 1. 若函数 定义域为 ，且满足条件： （ 为常数） ，则函数 的图象关)(xfyR0)(xaf )(xfy于点 对称)0,(a若函数 定义域为 ，则函数 与 两函数的图像关于直线 对称o3)(f )(fy)(bfy 2abx若函数 定义域为 ，则函数 与 两函数的图像关于点 对4xyRxaxc),(c称性质 1 对函数 ，若 成立
3、，则 的图像关于点 对称)(f )()(bfxfy)(fy)0,2(ba性质 2 函数 与函数 的图像关于直线 对称axyaax性质 3 函数 与函数 的图像关于直线 对称)(f)(f 0性质 4 函数 与函数 的图像关于点 对称xby),2(b（3）抽象函数周期性若函数 定义域为 ，且满足条件 ，则 是以 为周期的周o5)(xfyR)()(bxfaf)(xfybaT期函数；若函数 定义域为 ，且满足条件 ，则 是以 为周期o6)(f )()(ff)(f)(2的周期函数；若函数 的图像关于直线 与 对称，则 是以 为周期的周o7)(xfyax)(b)(xfy)(abT期函数；若函数 的图像关于
4、点 与点 对称，则 是以 为周期的周期o8)(f)0,()(, )(f)(2函数；若函数 的图像关于直线 与点 对称，则 是以 为周期的周o9)(xfyax)(,b)(xfy)(4abT期函数；性质 1 若函数 满足 及 ，则函数 有周期f )()(ff 0,(abfxf xf)(2ba性质 2 若函数 满足 及 ，则函数 有周期)(xf )()(xafxf ),)()(fbf )(f)(性质 3 若函数 满足 且 是偶函数，则函数 有周期)(f )0()(ff (xf )(xfa2性质 4 若函数 满足 及 ，则函数 有周期xxa 0,)abbf )(xf)(ba性质 5 若函数 满足 且
5、是奇函数，则函数 有周期)(f )0()(ff (xf )(xfa4二、题型分析1抽象函数的值（值域）例 1：函数 的值域 ，则 的值域为 ()fx1(,4()2()gxffx例 2：定义为 的函数 ，对任何 ，都有 ，则 R)f,abRab2(194)f例 3：设 是 上的不减函数，即对于 有 ，且满足：（1） ；()fx0,1 120x12()fx(0)f（2） ；（3） ，则 2()()fxf05f例 4：设奇函数 的定义域为 ， ，且对任意 ，都有 ，()yfxR12,xR121()(fxfx2)f当 时， 是增函数，则函数 在区间 上的最大值是 0x2()yfx3,2抽象函数的单调性
6、例 5：奇函数 在区间 上是增函数，在区间 上的最大值为 8，最小值为 ， ()fx3,7,6 12(6)3ff例 6：设 是定义在 上的增函数，且 ，若 ，则 成立fR()()xffy(3)f)5fx的 的取值范围是 x3抽象函数的奇偶性例 7： 是定义在 上的奇函数，它的最小正周期为 2，则()fR(1)2(3)(195)fffA、1 或 0 B、1 或 C、0 D、1 例 8：函数 的定义域是 ，函数 ，已知 ，则 ()fx()()gxffx(5)g()g4抽象函数的周期性例 9：定义在实数集上的函数 ，满足 ，则 的值为 ()f1()()ffx20)().32(1ff 例 10：定义在
7、 上的非常数函数，满足（1） 为偶函数；（2） ，则 一定是（ R(0)f(5)fxf()fx）A 、是偶函数，也是周期函数 B、是偶函数，但不是周期函数C、是奇函数，也是周期函数 D、是奇函数，但不是周期函数 补充练习题1函数 是定义在 上的实函数，它既关于 对称，又关于 对称，那么 的周期是（ ）()fxR5x7x()fx（A） （B） （C） （D） 4222已知定义域为 R 的函数 在区间 上为减函数，且函数 为偶函数，则（ ）xf,88xfy（A） （B） （C） （D）76f9697f1073定义在 上的函数 既是奇函数，又是周期函数， 是它的一个正周期.若将方程 在闭区间)(xf
8、 T0)(xf上的根的个数记为 ，则 可能为（ ）T,n（A）0 （B）1 （C）3 （D）5 4定义在 上的函数 ，它具有下述性质：（1）对任何 ，都有 ；（2）对任何R()yfxxR3()(fxf， ，都有 则 的值为（ ）12,x12x2)f(0)1()ff（A）0 （B）1 （C） （D）不确定5已知函数 是定义在 上的偶函数，且满足 ，当 时， ，则)(fR()(3fxf0,1x()2fx (2.f6函数 是定义域为 的奇函数，且为增函数， ，则实数 的取值范围是 )fx1, 2(1)()fafa7定义在 上的函数 ，恒有 若 ，那么 R()fx()(fxyfy64(03)f8已知函数 的定义域为 ，并对一切实数 ，都满足 yRx(2)fx（1）证明：函数 的图像关于直线 对称；()fx2（2）若 又是偶函数，且 时， ，求 时的 的表达式()fx0,()1fx4,0x()fx9 设函数 在 上满足 ， ，且在闭区间 上，只有)(xf),)2()(xff)7()(xff0,703)1(f（1）试判断函数 的奇偶性；)(xfy（2）试求方程 在闭区间 上的根的个数，并证明你的结论 0)(xf 205,
