1、1放缩技巧证明数列型不等式，因其思维 跨度大、构造性 强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成 为高考压轴题 及各级各类竞赛试题命题的极好素材。 这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩 例 1.(1)求 的值; (2)求证: .nk1243512nk解析:(1) 因为 ,所以)(12 121421nkn(2)因为 ,所以2422nn 352532 奇巧积累:(1) (2) 1122 )1()1(21 nnCn(3) )(!)(!1 rrn
2、rnCTrr(4) () 323(5) (6) nn12 nn21(7) (8) )()( nn2)3(1)(32(9) kknkkn 11(,1(10) (11)!)(!)( 212)nnn(11) )(1)2(1)2(1)2(1)2( nnnnnn(12) )()()(23 111nnn(13) 321322)(32)3(21 nnn(14) (15) !)(1)!(!kk )()1(15) 1222 jijijji例 2.(1)求证: )(167)(532 nn2(2)求证: n4123614(3)求证: 126)1(5352 n(4) 求证： )(12)1(nn解析:(1) 因为 ,所
3、以 )(2 )123()1(21 nin(2) )(44361422n(3)先运用分式放缩法证明出 ,再结合 进行裂项,最后就可以得到答案6)531n n(4)首先 ,所以容易经过裂项得到nn)(2 n1321)(2再证 而由均值不等式知道这是显然成立的，11211 n所以 )(32n例 3.求证: 35194)1(62n解析: 一方面: 因为 ,所以12 nn 3521215312 nkn另一方面: )(4319142当 时, ,当 时, ,3n)(6n21912)(6nn当 时, ,21)(所以综上有 359412n例 4.(2008 年全国一卷)设函数 .数列 满足 . .()lnfxn
4、a101()nnaf设 ，整数 .证明: .1(ba， 1labk 1kb解析: 由数学归纳法可以证明 是递增数列, 故 若存在正整数 , 使 , 则 ,n kmbambakk1若 ,则由 知)(kmba101bam, ,0lnlnln11 kmkkk aaa11 lnln3因为 ,于是)ln(l11bakkm babakk )(|ln| 1111例 5.已知 ,求证: .mmSxN32, 1(mnS解析:首先可以证明: nx)(所以要证 nkmmmmn 111111 )(0)(只要证: )()(S nkmmmmmnknkm nn1111111111 )(2)()( 故只要证 ,k1)()(即
5、等价于 ,mmmm k 111 )(即等价于 而正是成立的,所以原命题成立.1,)(kk例 6.已知 , ,求证: .nna24naT21 23321nTT解析: )1(41)(4)(42131 nnnn 所以 23)(233)2(4111 nnnnnnT 23n从而 2312713321 nnnTT例 7.已知 , ,求证:1x)(Zkn *)(1(41245432 Nnxxxn 证明: ,nnxn 211)2(42424412 因为 ,所以 )(412xn 所以 *)(1214245432 Nnxn 二、函数放缩例 8.求证： .)(653l4lnl *n4解析:先构造函数有 ,从而xx1
6、lnl)312(13ln4l3n2l n nnn 1987654132132 53798651n所以 llln例 9.求证:(1) )2(12l3l2l, nn解析:构造函数 ,得到 ,再进行裂项 ,求和后可以得到答案xfln)(2l )1(l22函数构造形式: ,1l)(1ln例 10.求证: nn2)l(312 解析:提示: 2ln1ll11l)l( n函数构造形式: xxl,ln当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数 ,f1)(首先: ,从而,niABCFxS )ln(|lixinin取 有, ,1i )1l(n所以有 , , , ,相加后可以得到: 2ll3)ln(nl)1l(
7、)1ln(312另一方面 ,从而有niABDExS1l|l1ixiniin取 有, ,i )l(所以有 ,所以综上有nn12)l( nn12)1l(312例 11.求证: 和 .解析:构造函数后即可证明e)!()!31( en)()8(92FE DCBAn-i nyxO5例 12.求证: 解析: ,叠加之后就可以得到32)1()321() ne 1)(321)(lnn答案 函数构造形式: (加强命题)00lnxxxx例 13.证明: )1*,(4)1ln54l32l nN解析:构造函数 ,求导,可以得到:()l()xxf,令 有 ,令 有 ,121)( xf 0f210)(xf2所以 ,所以
8、,令 有,0)(ff )ln(x12n1l2n所以 ,所以21ln )*(4)1l543l N例 14. 已知 证明12().nnaa 2ne解析: ,n a)(1)(然后两边取自然对数,可以得到 nnn aal)21(ll1 然后运用 和裂项可以得到答案)x1ln(放缩思路： naa2 nnn al)21l(l1。于是 ，nlnnall1.212)(l)21()l( 11 niniiia即 .ll 21eann 注：题目所给条件 （ ）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，()x0本题还可用结论 来放缩：)(21)(1nan )1(nnaa.)(lll n，)l()l()
9、( 2212 iniiini即 .13ll 2eaan例 16.(2008 年福州市质检)已知函数 若l(xf ).(2ln)():,0 bfafbafba 证 明解析:设函数 (),0gxfkx6()ln,()ln()ln(),0.112(), 0.2fxgxkxxk kgxkx令 则 有函数 ）上单调递增，在 上单调递减. 的最小值为 ，即总有kx2在 ,()(xg)2(kg).2(kgx而 ,lnlnln)2)( fkf ,lkxg即 .2l)()()( kfxff 令 则,bkax.ba.2ln)()()(fbaf ).()(2ln)() bfafbaf 例 15.(2008 年厦门市
10、质检) 已知函数 是在 上处处可导的函数,若 在 上恒成立.)(xf)0)(xffx 0(I)求证：函数 上是增函数； ,)(在g(II)当 ；)()():,0, 212121 xfxffx证 明时(III)已知不等式 时恒成立，0ln(x且在求证： ).()21()ln(143ln2 *2222 Nn解析:(I) ,所以函数 上是增函数0)(2xfg ,在xfg(II)因为 上是增函数,所以在)()( 212121 xfxfxff )()()( 21212212 ffff 两式相加后可以得到 1xfxff(3) )()() 212121 nnn xfxf 2 xxf )()() 212121
11、 nnnnn xfxfxf 7相加后可以得到: )()()( 2121 nnxxffxff 所以 )l(llnlln 21321 nxx 令 ,有 2)(x 22222 )1ln(4ln3lln 2222 )1(3ln)1(43n )(3l)1(122 )(n所以 ).()21ln)1(4ln3lln *22 N(方法二) )(2)1()(l2所以 )(4ln4l)l(l4l3l 222 n又 ,所以4n ).(21)n(1413 *222 N三、分式放缩姐妹不等式: 和)0,(maba )0,(mbab记忆口诀”小者小,大者大”，解释:看 b,若 b 小,则不等号是小于号,反之.例 19.
12、姐妹不等式: 和 也可以表12)1()531)(n 12)(61)4(n示成为 和2)(531642 n 64解析: 利用假分数的一个性质 可得)0,(maba1256341n n2167453 )12(6543n即)2( .)12()()( n例 20.证明: .13217(41n解析: 运用两次次分式放缩:(加 1)8956.3852n(加 2)n31021741相乘,可以得到:8)13(2875421381057.243784512 nnn所以有 .)()(四、分类放缩例 21.求证: 21321n解析: )21()41 33n 2)1(2)1( nnn 例 22. 在平面直角坐标系 中
13、, 轴正半轴上的点列 与曲线 （ 0）上的点列 满足xoyyAxynB，直线 在 x 轴上的截距为 .点 的横坐标为 , .nOBAnnBAnaBnbN(1)证明 4， ; (2)证明有 ，使得对 都有 .a1N00nb1231 208解析:(1) 依题设有： ，由 得：1,2nnnbnO,又直线 在 轴上的截距为 满足2 *22,nnbNnABxna100nab12nnba222110,n nbb22 4nn nb 22na显然，对于 ，有10*14,aN(2)证明：设 ，则*1,nbcN22 2222222 22111 1111n ncnnnnn 2 *20,nncN设 ，则当 时，*12
14、,nnSccN *21kn231 134342k kk 9。21312k所以，取 ，对 都有：409n0n208147110232 nnSbb故有 成立。n1231 28例 23.已知函数 ，若 的定义域为1，0，值域也为 1，0.若数列 满足),()(Rcbxf (xf nb，记数列 的前 项和为 ，问是否存在正常数 A，使得对于任意正整数 都有 ？并)(*3NnfbnnnT AT证明你的结论。解析:首先求出 ,xxf2)(nfbn12)(33 , , ,bTnn 1321 42184765,故当 时, ,2211 kkkk k12Tn因此，对任何常数 A，设 是不小于 A 的最小正整数，m
15、则当 时,必有 .2mnTn故不存在常数 A 使 对所有 的正整数恒成立.2例 24. 设不等式组 表示的平面区域为 ,nxy3,0nD设 内整数坐标点的个数为 .设 , 当 时,求证: . nDannaS2211 361712321naa解析:容易得到 ,所以,要证 只要证 ,因为n3672321n 2Snn,所nnnS 1()8765()4132 11 127)(2121 Tn以原命题得证五、迭代放缩例 25. 已知 ,求证:当 时,1,1xxn 2nnniix112|解析:通过迭代的方法得到 ,然后相加就可以得到结论nn例 26. 设 ,求证: 对任意的正整数 k,若 kn 恒有:| S
16、n+kS n|nnS2!si!si21i21n10解析: |2)sin(2)!sin()!1si(| knnkSknnknn 11|2|2)!1si(| knk)1()又 所以Cnnn 01( nSnk2|六、借助数列递推关系例 27.求证: 12642)1(53164253 解析: 设 则 ,从而nan)(1 nnn aaaa )()(11,相加后就可以得到nn221 12)2(13)()(11 nnaan所以 264536423 例 28. 求证: )(52解析: 设 则nan11,从而111 )2()(2)( nn aa,相加后就可以得到nn 12312)(3)(121 nna例 29. 若 ,求证:,11n )(21aan解析: nnnaa112所以就有 2122112121 naannn七、分类讨论例 30.已知数列 的前 项和 满足 证明：对任意的整数 ，nanS .1,)(2nann 4m有 871154m解析:容易得到 , 由于通项中含有 ，很难直接放缩，考虑分项讨论：.)1(23nnn n)(当 且 为奇数时 122312(311 nnnnna
