1、 第 1 讲 函数与方程思想、数形结合思想 高考定位 函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形 结合思想一般在选择题、填空题中考查 . 1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法 . (2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组 ，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法 . 2.函数与方程的思想在解题 中的
2、应用 (1)函数与不等式的相互转化，对于函数 y f(x)，当 y 0 时，就转化为不等式 f(x) 0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式 . (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要 . (3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论 . 3.数形结合是一种数学思想方法，包含 “ 以形助数 ” 和 “ 以数辅形 ” 两个方面，其应用大致可以分为两种情形： 借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；
3、 借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质 . 4.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特 征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围 .数学中的知 识，有的本身就可以看作是数形的结合 . 热点一 函数与方程思想的应用 微题型 1 不等式问题中 的函数 (方程 )法 【例 1 1】 (1)f(x) ax3 3x 1 对于 x 1， 1，总
4、有 f(x) 0 成立，则 a_. (2)设 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x 0 时， f(x)g(x) f(x)g(x) 0，且 g( 3) 0，则不等式 f(x)g(x) 0 的解集是 _. 解析 (1)若 x 0，则 不论 a 取何值， f(x) 0 显然成立； 当 x 0 即 x (0， 1时， f(x) ax3 3x 1 0 可化为 a 3x2 1x3. 设 g(x) 3x2 1x3，则 g(x) 3（ 1 2x）x4 ， 所以 g(x)在区间 0， 12 上单调递增，在区间 12， 1 上单调递减， 因此 g(x)max g 12 4，从而 a 4
5、. 当 x 0 即 x 1， 0)时， f(x) ax3 3x 1 0 可化为 a 3x2 1x3，设 g(x) 3x2 1x3， 且 g(x)在区间 1， 0)上单调递增，因此 g(x)min g( 1) 4， 从而 a 4，综上 a 4. (2)设 F(x) f(x)g(x)，由于 f(x)， g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，得 F( x) f( x)g( x) f(x)g(x) F(x)，即 F(x)在 R上为奇函数 . 又当 x 0 时， F(x) f(x)g(x) f(x)g(x) 0， 所以 x 0 时， F(x)为增函数 . 因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以
6、x 0 时， F(x)也是增函数 . 因为 F( 3) f( 3)g( 3) 0 F(3). 所以，由图可知 F(x) 0 的解集是 ( ， 3) (0， 3). 答案 (1)4 (2)( ， 3) (0， 3) 探究提高 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题； (2)函数 f(x) 0或 f(x) 0恒成立，一般可转化为 f(x)min 0 或 f(x)max 0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用 函数值域求解 . 微题型 2 数列问题的函数 (方程 )法 【例 1 2】 已知数列 an满足 a1 3， an 1 an p3
7、 n(n N*， p 为常数 )， a1， a2 6， a3 成等差数列 . (1)求 p 的值及数列 an的通项公式； (2)设数列 bn满足 bn n2an，证明： bn49. (1)解 由 a1 3， an 1 an p3 n， 得 a2 3 3p， a3 a2 9p 3 12p. 因为 a1， a2 6， a3 成等差数列， 所以 a1 a3 2(a2 6)， 即 3 3 12p 2(3 3p 6)， 得 p 2，依题意知， an 1 an 2 3n. 当 n 2 时， a2 a1 2 31， a3 a2 2 32， ， an an 1 2 3n 1. 将以上式子相加得 an a1 2
8、(31 32 3n 1)， 所以 an a1 2 3 （ 1 3n 1）1 3 3n 3， 所以 an 3n(n 2). 又 a1 3 符合上式，故 an 3n. (2)证明 因为 an 3n，所以 bn n23n. 所以 bn 1 bn （ n 1）23n 1 n23n 2n2 2n 13n 1 (n N*)， 若 2n2 2n 1 0，则 n 1 32 ， 即当 n 2 时，有 bn 1 bn， 又因为 b1 13， b2 49，故 bn 49. 探究提高 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型： (1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解 . (2)数列中
9、的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组 an 1 an，an an 1，an 1 an，an an 1 求解 . (3)数 列中前 n 项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an 0(an 0)成立时最大的 n值即可求解 . 微题型 3 解析几何问题的方程 (函数 )法 【例 1 3】 设椭圆中心在坐标原点， A(2， 0)， B(0， 1)是它的两个顶点，直线 y kx(k 0)与 AB相交于点 D，与椭圆相交于 E、 F 两点 . (1)若 ED 6DF ，求 k 的值； (2)求四边形 AEBF 面积的最大值 . 解 (1)依题意得椭圆的方程为 x24 y2
10、1，直线 AB， EF 的方程分别为 x 2y 2， y kx(k 0).如图，设 D(x0， kx0)， E(x1， kx1)，F(x2， kx2)，其中 x1 x2，且 x1， x2 满足方程 (1 4k2)x2 4，故x2 x1 21 4k2. 由 ED 6DF 知 x0 x1 6(x2 x0)， 得 x0 17(6x2 x1) 57x2 107 1 4k2； 由 D 在 AB上知 x0 2kx0 2， 得 x0 21 2k.所以 21 2k 107 1 4k2， 化简得 24k2 25k 6 0， 解得 k 23或 k 38. (2)根据点到直线的距离公式和 式知，点 E， F 到 A
11、B的距离分别为 h1 |x1 2kx1 2|5 2（ 1 2k 1 4k2）5（ 1 4k2）， h2 |x2 2kx2 2|5 2（ 1 2k 1 4k2）5（ 1 4k2）. 又 |AB| 22 12 5， 所以四边形 AEBF 的面积为 S 12|AB|(h1 h2) 12 54（ 1 2k）5（ 1 4k2） 2（ 1 2k）1 4k2 2 1 4k2 4k1 4k2 2 2， 当 4k2 1(k 0)，即当 k 12时，上式取等号 . 所以 S 的最大值为 2 2. 即四边形 AEBF 面积的最大值为 2 2. 探究提高 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，
12、求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个 (或者多个 )变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决 . 热点二 数形结合思想的应用 微题型 1 利用数形结合思想讨论方程的根或函数零点 【例 2 1】 (1)若函数 f(x) |2x 2| b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是_. (2)设函数 f(x)(x R)满足 f( x) f(x)， f(x) f(2 x)，且当 x 0， 1时， f(x) x3.又函数 g(x) |xcos(x)|，则函数 h(x) g(x) f(x)在 12， 32 上的零点个数为 ( ) A.5 B.6 C
13、.7 D.8 解析 (1)由 f(x) |2x 2| b 有两个零点， 可得 |2x 2| b 有两个不等的实根， 从而可得函数 y |2x 2|的图象与函数 y b 的图象有两个交点，如图所示 . 结合函数的图象，可得 0 b 2，故填 (0， 2). (2)根据题意，函数 y f(x)是周期为 2 的偶函数且 0 x 1 时， f(x) x3，则当 1 x 0 时， f(x) x3，且 g(x) |xcos(x)|，所以当 x 0 时， f(x) g(x).当 x 0时，若 0x 12，则 x3 xcos(x)，即 x2 cos x. 再根据函数性质画出 12， 32 上的图象，在同一个坐
14、标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有 5 个根 .所以总共有 6 个 . 答案 (1)(0， 2) (2)B 探究提高 用图象法讨论方程 (特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程 )的解 (或函数零点 )的个 数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 (不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数 )，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解 (或函数零点 )的个数 . 微题型 2 利用数形结合思想解不等式或求参数范围 【例 2 2】 (1)若不等式 9 x2 k(x 2) 2的解集为区间 a， b，且 b
15、 a 2，则 k _. (2)若不等式 |x 2a| 12x a 1 对 x R 恒成立，则 a 的取值范围是 _. 解析 (1)如图 ，分别作出直线 y k(x 2) 2与半圆 y9 x2.由题意，知直线在半圆的上方，由 b a 2，可知 b 3， a 1，所以直线 y k(x 2) 2过点 (1， 2 2)，则 k 2. (2)作出 y |x 2a|和 y 12x a 1 的简图，依题意知应有 2a 2 2a，故 a 12. 答案 (1) 2 (2) ， 12 探究提高 求参数范围或解不等式问题经常 联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个 (或多个 )函数，利用两个函数图象的
16、上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答 . 微题型 3 利用数形结合思想求最值 【例 2 3】 (1)已知 P 是直线 l： 3x 4y 8 0 上的动点， PA、 PB是圆 x2 y22x 2y 1 0 的两条切线， A、 B 是切点， C 是圆心，则四边形 PACB 面积的最小值为 _. (2)(2015全国 卷 )已知 F 是双曲线 C： x2 y28 1 的右焦点， P 是 C 的左支上一点， A(0， 6 6)，当 APF 周长最小时，该三角形的面积为_. 解析 (1)从运动的观点看问题，当动点 P 沿直线 3x 4y 8 0 向左上方或右下方无
17、穷远处运动时，直角三角形 PAC 的面积 SRt PAC 12|PA|AC| 12|PA|越来越大，从而 S 四边形 PACB 也越来越大；当点 P 从左上、右下两个方向向中间运动时， S 四边形 PACB 变小，显然，当点 P 到达一个最特殊的位置，即 CP 垂直直线 l 时， S 四边形 PACB 应有唯一的最小值， 此时 |PC| |3 1 4 1 8|32 42 3， 从而 |PA| |PC|2 |AC|2 2 2. 所 以 (S 四边形 PACB)min 2 12 |PA| |AC| 2 2. (2)设双曲线的左焦点为 F1，连接 PF1，根据双曲线的定义可知 |PF| 2 |PF1
18、|，则 APF 的周长为 |PA | |PF| |AF| |PA| 2 |PF1| |AF| |PA | |PF1| |AF| 2， 由于 |AF| 2 是定值，要使 APF 的周长最小，则 |PA | |PF1|最小，即 P， A， F1 三点共线，如图所示 . 由于 A(0， 6 6)， F1( 3， 0)， 直线 AF1 的方程为： x 3 y6 6 1， 即 x y2 6 3， 代入双曲线方程整理可得 y2 6 6y 96 0，解得 y 2 6或 y 8 6(舍去 )， 所以点 P 的纵坐标为 2 6. 所以 S APF S AFF1 S PFF1 12 6 6 6 12 6 2 6
19、12 6. 答案 (1)2 2 (2)12 6 探究提高 破解圆锥曲线问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究 .直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系 式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论 . 1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想 . 2.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解 (证 )不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解
20、 . 3.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量 . 4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的 . 5.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析 ，通过数的帮助达到解题的目的 . 6.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象 . 一、选择题
21、 1.直线 3x y m 0 与圆 x2 y2 2x 2 0 相切，则实数 m 等于 ( ) A. 3或 3 B. 3或 3 3 C. 3 3或 3 D. 3 3或 3 3 解析 圆的方程 (x 1)2 y2 3，圆心 (1， 0)到直线的距离等于半径 | 3 m|3 1 3| 3 m| 2 3m 3或 m 3 3. 答案 C 2.已知函数 f(x)满足下面关系： f(x 1) f(x 1)； 当 x 1， 1时， f(x) x2，则方程 f(x) lg x 解的个数是 ( ) A.5 B.7 C.9 D.10 解析 由题意可知， f(x)是以 2 为周期，值域为 0， 1的函数 . 又 f(
22、x) lg x，则 x (0， 10，画出两 函数图象， 则交点个数即为解的个数 . 由图象可知共 9 个交点 . 答案 C 3.函数 f(x)的定义域为 R， f( 1) 2，对任意 x R， f(x) 2，则 f(x) 2x 4 的解集为 ( ) A.( 1， 1) B.( 1， ) C.( ， 1) D.( ， ) 解析 f(x) 2 转化为 f(x) 2 0，构造函数 F(x) f(x) 2x， 得 F(x)在 R上是增函数 . 又 F( 1) f( 1) 2 ( 1) 4， f(x) 2x 4， 即 F(x) 4 F( 1)，所以 x 1. 答案 B 4.已知 a， b 是平面内两个
23、互相垂直的单位向量，若向量 c 满足 (a c)(b c) 0，则 |c|的最大值是 ( ) A. 2 B.2 2 C. 3 D.2 解析 如图，设 OA a， OB b， OC c，则 CA a c， CB b c.由题意知 CA CB ， O， A， C， B四点共圆 . 当 OC 为 圆的直径时， |c|最大，此时， |OC | 2. 答案 A 5.当 0 x 12时， 4x logax，则 a 的取值范围是 ( ) A. 0， 22 B. 22 ， 1 C.(1， 2) D.( 2， 2) 解析 利用指数函数和对数函数的性质及图象求解 . 0 x 12， 1 4x 2， logax 4x 1， 0 a 1，排除答案 C， D； 取 a 12， x 12，则有 412 2， log1212 1， 显然 4x logax 不成立，排除答案 A；故选 B. 答案 B 二、填空题 6.(2015全国 卷改编 )已知 A， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， ABM为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为 _.
