1、1必修 1 第二章 基本初等函数（）基本题型分类题型一：指数与指数幂的运算和对数与对数的运算（一）化简求值：1化简 4433212)()(1解： 21)()(2化简 326442312解： 12423612232 )()()(3化简 2121baba3解： 021212121 ba)(（二）含附加条件的幂的求值4已知 ，求下列各式的值51a(1) ；(2) ；2214解：(1)由 两边平方得： ，即 2521a232a(2) ， 3521212 aa)( 3题型二：指数函数、对数函数、幂函数的定义5(1)下列以 x 为自变量的函数，其中为指数函数的是（ ）A. B. C. D.()y(2.71
2、8)xye5xy2xy(2)如果函数 是指数函数，则有（ ）23)aA. B. C. D.1或 aa01a且5解：(1)B；(2)C；由指数函数的三大特征： 的系数为 1；底数 且 的常数；指数位置上仅有自x ,变量 x【规律总结】系数为 1；底数为大于 0 且不等于 1 的常数；指数函数的指数仅有自变量 x6函数 是对数函数，则实数 axfa)(log()12a6解： 解得： 01【规律总结】判断一个函数是否为对数函数的方法：2判断一个函数是对数函数必须是形如 且 的形式，即必须满足以下条件：,(log0axy)17函数 是幂函数，且当 时， 是增函数，则 的解析式为 3221mxxf)()
3、 ,()(xf)(xf7解：因为函数 是幂函数，所以 解得： ； 322f)() 0312m23f)(【规律总结】由幂函数的特征：指数 为常数；底数为自变量；系数为 1题型三：指数函数、对数函数、幂函数的图象8(1)函数 的图象过定点 3(0,1)xyaa且8解：(1)令 ， ， ，所以函数 的图象过定点 4y3(0,1)xyaa且 ),(43【归纳总结】：函数 恒过定点问题，令 解出 ，则定点为 myxf)( )f ,(mx(2)如图是指数函数(1) ，(2) ，(3) ，(4) 的图象，axybxcxyd则 与 1 的大小关系为（ ）,abcdA. B.1dC. D. abc(2)令 ，这
4、时各自的函数值就是它们的底数，从而大小显而易见；答案：B1x9(1)函数 且 的图象恒过点 ,()(log021xya )1a(2)如图所示的曲线是对数函数 ， ， ，xylogxyblxyclog图象，则 与 1 的大小关系为 xydldcb,9解：(1)令 ， ，所以函数 且 的图象恒过点1x0 ,()(log021axya )1),(20【规律总结】对数函数恒过定点问题(1)求函数 且 的图象过的定点时，只需令 求出 ，即得定点为 ,)(logaxfmy)1)(xf ),(mx(2)令 ，这时各自的真数就是它们的底数，从而大小显而易见；答案： 1 01cdab1310如图所示，曲线是幂函
5、数 在第一象限内的图象，已知 分别取 四个值，相应于曲线nxyn21,的 依次为（ ）4321C,nA, B. C. D.2,12, 12, 21,10解：由幂函数的性质得：答案：D 题型四：指数函数、对数函数、幂函数的性质(一)比较大小(1)已知 ，则 的大小关系是（ ）809070218.,cbacba,(A) (B) (C) (D)cabac(1)解：D【规律总结】：1.底数相同，指数不同，利用指数函数的单调性解决；2.底数不同，指数相同，利用指数函数的图象解决；在同一个平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数 对a指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数
6、函数所取值对应的函数值即可3.底数不同，指数也不同：采用中间量法取中间量 1，其中一个大于 1，另一个小于 1；或以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数比如要比较 与 的大小，可取 或 为中间量， 与 利用函数的单cadbdacbcad调性比较大小， 与 利用函数的图象比较大小dba(2)已知 alog 23.6，blog 43.2，clog 43.6，则( )Aabc Bac b Cbac Dcab(2)解：B【规律总结】：1.若底数为同一常数，则可根据对数函数的单调性直接进行比较；2.若底数为同一字母，则可根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；3.若底数不同
7、，真数相同，则可以根据对数函数的图象进行比较；4.若底数和真数均不相同，则常借助 1,0 等中间值进行比较(3)设 ，则 的大小关系是（ ）525352)(,)(,)(cbacba,A. B. C. D.caacb(3)解：A【规律总结】：1. 若指数相同，底数不同，则考虑幂函数；2. 若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；3. 若指数与底数都不相同，则考虑取中间量法；取中间量 1，其中一个大于 1，另一个小于 1；或以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数比如要比较 与 的大小，可取 或 为中间量， 与 利cadbdacbcad用函数的单调性比较大小， 与 利用函数的图象比较
8、大小dba(二)求函数值域或最值11求函数 在 上的值域124xxy)(,23411解： 121241xxxxy)()(设 ， ，xt)(2843t, ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，312)(tgy )(tgy,214,821t当 时， ；当 时， ；tminyt 57321max所以函数 在 上的值域为 24xx)(,23,4【规律总结】求形如：函数 的值域,ncbsayx使用“换元法”设 ，从而原函数 变为关于 的一元二次函数 ；由t cbsayx2t cbtatgy2)(，求出 的值域 ，即 的范围为 ，进而转化为求一元二次函数 在,nmxxs,qpt,qp上的值域此题使用
9、了“换元法”和“转化”的数学思想qpt12求函数 的值域321xy)(12解：函数 的定义域为 R；设 ，所以 ，2 41322)(xxt ),)(421ty所以 ，所求函数 的值域为 160y321xy)(,(160【规律总结】求形如函数 的值域)(xfa使用“换元法”设 ，求出 的值域 ，从而转化为 在 的值域（使用指数ft )(xft,nmtagy)(,nm函数的单调性） 13已知 满足不等式 ，求函数 的最值x 37250250.log)(l )(lo)(l)422xxf13解：由 得 ，则 ，50x.)(log 01250log)(.x 21350.g即 ， ；2150350 .l.
10、l, 8又 )(log()()(l)4222xxf3xlog令 ， ， ，t2l8321t则 ，,)(tthy ， 4123min )(maxhy【规律总结】求形如： 时，函数 的值域,x),(log)(l 102scxbss5使用“换元法”设 ，由 ，求出 值域 ，即 的范围为 ，进而转化为求一元二xtslog,nmxtslog,qpt,qp次函数 在 上的值域此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想cbay2)(,qpt14求函数 的值域)l 22xx14解：设 ， ，从而 ， ，1(t ),2t ),log)(2tty ，所以函数 的值域为 1)(gylog2xxy ,1【规律总结】求形
11、如函数 的值域,),(lonmxfa使用“换元法”设 ，求出 的值域 ，从而转化为求函数t,),(nxft,qp的值域此题使用了“换元法”和“转化”的数学思想,lg)(qptya（三）解不等式15(1).已知 ，求实数 的取值范围250x.x(1).解： ， ， ；所以实数 的取值范围是 21.)( 205. xx),(2(2). 求不等式 ，且 中 的取值范围01472aaxx()1(2).解：若 ，则 ， ；3x若 ，则 ， ；0综上，当 时，不等式 ，且 中 的取值范围为 ；11472x()ax),(3当 时，不等式 ，且 中 的取值范围为 a0a【规律总结】1形如 的不等式，借助于指数
12、函数 的单调性求解；如果 的值不确定，需分)()(xgxf ),(10ayx a与 两种情况讨论；a102形如 的不等式，注意将 转化为以 底的指数幂的形式，再借助指数函数 的单调性求bx ba ),(10yx解16解下列不等式(1). )1logl331x（(1)解： 2（ 解得：120xx所以不等式 的解集为)1logl33（ ),(2). (a0，a1) ogaa（6(2).解： )1log2lxaa（若 ，则 解得： ；10x若 ，则 解得： ；0a12x综上，当 时，不等式 的解集为 ；1)1loglxaa（当 时，不等式 的解集为 （ ),(【规律总结】1.形如 的不等式，可借助指
13、数函数的单调性求解，若底数 a 的值不确定，则需对其分 a1 和bxaalogl0a1 两种情况讨论2.形如 的不等式，要首先将 b 化为以 a 为底数的对数形式，再进行求解3.形如 的形式，可借助对数函数的图象求解ball题型五：复合函数的单调性判断及应用17判断函数 的单调性，并指出它的单调区间)(log)(xxf217解：令 ，得 或02函数 的定义域为 或 ，)(l)(xxf 0x|2设 ，且 ，,21 21 )(log)(log)(log)( 22121221 xxxxff ， ，又 ；),(,21 021, 211021)( ，所以021)(logx)(21xff函数 在 上单调递
14、增lxf,(同理可证：函数 在 上单调递减)log)(f2),(0所以函数 的单调递减区间为 ；单调递增区间为 xx2 ,),(2【规律总结】嵌套式复合函数的单调性：“同增异减” 形如： ，设 为内函数， 为外函数；当内函数 和外函数 在定义域内单)(xgfy)(xgt)(tfy)(xgt)(tfy调性相同时，此时这个复合函数 在该定义域上为增函数，即“同增” ；)(fy当内函数 和外函数 在定义域内单调性相异时，此时这个复合函数 在该定义域上为减函)(xt t )(xfy数，即“异减” 7形如：复合函数 ，先令 求出函数的定义域，)(logxfya0)(xf当 时，若 在定义域上为增函数，则复合函数 在该定义域上为增函数，若 在定义域上1a)(f )(logxfya)(xf为减函数，则复合函数 在该定义域上为减函数；)(lxfya若 时，若 在定义域上为增函数，则复合函数 在该定义域上为减函数，若 在定义域0)(xf )(lxfya )(xf上为减函数，则复合函数 在该定义域上为增函数)(logxfya
