1、1苏教版八年级数学上册知识点 第 1 章 全等三角形 一、全等三角形概念 ： 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形的表示全等用符号“” 表示，读作“ 全等于”。如ABCDEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3、全等三角形有哪些性质 （1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2
2、）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 4、学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边” 与“ 对边”，“对应角”与 “ 对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上； （3）：“有三个角对应相等”或“ 有两边及其中一边的对角对应相等” 的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边” 、“对顶角” 5、全等三角形的判定 边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS” ) 边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（
3、可简写成“SAS” ) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA” ) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS” ) 2直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边” 或“ HL”） 6、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180，这种变换叫做对称变换。 （3）旋
4、转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。5、证明两个三角形全等的基本思路：一般来讲，应根据题设并结合图形，先确定两个三角形已知相等的边或角，然后按照判定公理或定理，寻找并证明还缺少的条件.其基本思路是： ）.有两边对应相等，找夹角对应相等，或第三边对应相等.前者利用SAS判定，后者利用SSS判定. ）.有两角对应相等，找夹边对应相等，或任一等角的对边对应相等.前者利用ASA判定，后者利用AAS判定. ）.有一边和该边的对角对应相等，找另一角对应相等.利用AAS判定.）.有一边和该边的邻角对应相等，找夹等角的另一边对应相等，或另一角对应相等.前者利用SAS判定，后者
5、利用AAS判定. 二、角的平分线：1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：平分线上的点；点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上4、方法规律 （1）有角平分线，通常向角两边引垂线。 （2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。常用方法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。 （3）注意：证题时可直接应用角平分线性质定理和判定定理，不必去找全等三角形。 3第 2 章 轴对称图形 一、轴对称图
6、形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系 区别：（1）轴对称是指两个图形间的位置关系,轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；（2）轴对称涉及两个图形,轴对称图形是对一个图形而言的联系：（1）定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合；（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分（即
7、看成两个图形）,那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来,如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形 4.轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。二、线段的垂直平分线 1. 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 43.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的
8、垂直平分线上 4.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等 三、画轴对称图形的步骤：1、点出关键点。找出所有的关键点，即图形中所有线段的端点。2、确定关键点到对称轴的距离。关键点离对称轴多远，对称点就离对称轴多远。3、点出对称点。4、连线。按照给出的一半图形将所有对称点连接成线段。5、轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合。 四、等腰三角形的性质 1、 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三
9、角形的两个底角相等。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边且垂直于底边，也就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。推论2：等边三角形的各角相等，且每一个角都等于60.等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； （二）等腰三角形的判定 1、 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等（等角对等边） 推论1、三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2、有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 推论3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 1.等腰三角形的性质 5.等腰三角形的
10、两个底角相等。（等边对等角） .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）等腰三角形的其他性质： 等腰直角三角形的两个底角相等且等于45 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则 b/2 x2xa 是 x 的平方 x 的平方是 ax 是 a 的平方根 a 的平方根是 x2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根a 的算术x2平方根记为 ，读作“根号 a”，a 叫做被开方数 a规定：0 的算术平方根是
11、 0.也就是，在等式 (x0)中，规定 。2 ax（2） 的结果有两种情况： 当 a 是完全平方数时， 是一个有限数；a当 a 不是一个完全平方数时， 是一个无限不循环小数。（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5） (x0) ax2 axa 是 x 的平方 x 的平方是 ax 是 a 的算术平方根 a 的算术平方根是 x（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。9（ 0） a 0a；注意 的双重非负性：a2 a- （ ax3xa 是 x 的立方 x 的立方是 ax 是 a 的立方根 a 的
12、立方根是 x（6） ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。33三、实数 一、实数的概念及分类无理数：像前面的很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数，无限不循环小数又叫无理数。实数：有理数和无理数统称实数。1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数或无限循环小数实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数负无理数正实数10实数 0负实数整数包括正整数、零、负整数。零和正整数又叫自然数。正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 等；32,7（2）有特定意义的数，如圆周率 ，或化简后含有
13、的数，如 +8 等；3（3）有特定结构的数，如 0.1010010001等；二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零） ，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0，a=b，反之亦成立。数 a 的相反数是a，这里 a 表示任意一个实数。2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|0。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a0；若|a|=-a，则 a0。一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是 0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。3、倒数如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。4. 实数与数轴上点的关系：每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。三、科学记数法和近似数 1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
