1、 1 江苏省 2009 届高考数学 冲刺模拟试题（ 八 ） 一 填空题 1. 若集合 2 | ( 3 ) 5 0 , ,A x x k x k x R A R ，则实数 k 的取值范围为_ 2. 若 ( 2 )a i i b i ，其中 iRba , 是虚数单位，则 ba _ 3. 若不等式： 32x ax的解集是 非空集合 | 4 x x m ，则 am_. 4. na 是等差数列， 281, 5aa ，则数列 na 的前 9 项和 9S _. 5. 设 P 为圆 221xy的动点，则点 P 到直线 3 4 10 0xy 的距离的最小值为_ 6. 过点 )1,4( A 和双曲线 1169 2
2、2 yx右焦点的直线方程为 . 7. D 为 ABC 的 BC 边的中点，若 CD pAB qAC，则 pq_. 8. 若 ()y f x 为定义在 D 上的函数，则“存在 0xD ，使得 2200 ( ) ( )f x f x ”是“函数 ()y f x 为非奇非偶函数”的 _条件 . 9. 一个圆柱形容器的轴截面尺寸如右图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高 .现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容 器中水面的高度为 cm. （精确到 0.1cm） 10. 某班级在一次身高测量中，第一小组 10名学生的身高与全班学生平均
3、身高 170 cm 的差分别 是 4 ， 7 ， 8 ， 2 ， 1， 10 ， 15， 10， 7 ， 2 。则这个小组 10 名学生的平均身高是 _ cm 11.如果执行下面的程序框图，那么输出的 S =_ 开始 k 1 S 0 k 100? S S+2k-1 k k+1 结束 输出 S 否 是 10 cm20 cm第 9 题 2 12. 若 ayayaa x 2|1|,10 与函数且 的图象有两个交点，则 a的取值范围是 。 13. 已知函数 2 31f x m x m x 的值域是 0, ) ，则 实数 m 的取值范围是_ 14. 定义函数 s in , s in c o s()c o
4、 s , s in c o sx x xfx x x x ，给出下列四个命题： (1)该函数的值域为 1,1 ； (2)当且仅当 2 ( )2x k k Z 时，该函数取得最大值； (3)该函数是以 为最小正周期的周期函数 ； (4)当且仅当 32 2 ( )2k x k k Z 时， ( ) 0fx .上述命题中正确的个数是 _ 二解答题 15. 在 ABC 中，内角 ,ABC 所对的边长分别是 ,abc. （） 若 2c ， 3C ，且 ABC 的面积 3S ，求 ,ab的值； （） 若 AABC 2s in)s in (s in ，试判断 ABC 的形状 . 3 16. 如图，在直三棱柱
5、 1 1 1ABC ABC 中， 1 2CC AC BC ， 90ACB . （ 1） 下图给出了该直三棱柱三视图中的主视图，请据此画出它的左视图和俯视图； （ 2） 若 P 是 1AA 的中点，求四棱锥 1 1 1B CAPC 的体积 . 17. 国际上常用恩格尔系数（记作 n）来衡量一个国家和地区人民生 活水平的状况，它的计算公式为： %1 0 0 消费支出总额食品消费支出总额n ，各种类型家庭的 n 如下表所示： 家庭类型 贫困 温饱 小康 富裕 最富裕 n n60% 50%n 60% 40%n 50% 30%n 40% n 30% 根据某市城区家庭抽样调查统计， 2003 年初至 20
6、07 年底期间，每户家庭消费支出总额每年平均增加 720 元，其中食品消费支出总额每年平均增加 120 元。 （ 1）若 2002 年底该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额 9600 元，问2007 年底能否达到富裕？请说明理由。 （ 2）若 2007 年比 2002 年的消费支出总额增加 36%，其中食品消费支出总额增加 12%，问从哪一年底起能达到富裕？请说明理由。 ABC1A1B1C第 16题图 主 视 图 左 视 图俯 视 图22A1A1CC4 18. 设 12,FF分别是椭圆 C： 22 1 ( 0 )xy abab 的左右焦点 (1)设椭圆 C 上的点 3( 3, )
7、2到 12,FF两点距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标 (2)设 K 是（ 1）中所得椭圆上的动点，求线段 1KF 的中点 B 的轨迹方程 (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点，过原点的直线 L 与椭圆相交于 M， N 两点，当直线 PM ，PN 的斜率都存在，并记为 ,PM PNkK 试探究 PM PNkK 的值是否与点 P 及直线 L 有关，并证明你的结论。 19. 设函数40,c o s)1(s i n)( nnnnf，其中 n 为正整数 . （ 1）判断函数 )()( 31 ff 、 的单调性，并就 )(1f 的情形证明你的结论； （ 2）证明： 224446 s i
8、 ncoss i ncos)()(2 ff ； （ 3）对于任意给定的正整数 n ，求函数 )(nf 的最大值和最小值 . 20. 观察数列： 1, 1,1, 1, ； 正整数依次被 4 除所得余数构成的数列 1, 2, 3, 0,1, 2, 3, 0,； t a n , 1 , 2 , 3 , .3n nan(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周5 期数列的定义：对于数列 na ，如果 _，对于一切正整数 n 都满足 _成立，则称数列 na 是以 T 为 周期的周期数列； (2) 若 数 列 na 满足 *21 ,n n n na a a n N S
9、 为 na 的前 n 项和，且232 0 0 8 , 2 0 1 0SS，证明 na 为周期数列，并求 2008S ； (3)若数列 na 的首项1 1, 0, )2a p p，且 *1 2 (1 ),n n na a a n N ，判断数列 na是否为周期数列，并证明你的结论 . 试题答案 一 填空题 1. ( , 1 2. 3 3. 1368 4. 18 5. 1 6. xy 5. 7. 0 8. 充 分 且 非 必 要条 件 9. 8.3 10. 170 11. 10000 12. )21,0( 13. . 0,1 9, . 14. 1 个 二解答题 15. 解： （ ）由 余弦定理 及
10、已知条件得， 22 4a b ab ， 又因为 ABC 的面积等于 3 ，所以 1 sin 32 ab C ，得 4ab 联立方程组 22 44a b abab ，解得 2a ， 2b （ ）由题意得 AAAB c o ss inc o ss in ， 当 cos 0A 时， 2A ， ABC 为直角三角形 当 cos 0A 时，得 AB sinsin ，由正弦定理得 ba ， 所以， ABC 为等腰三角形 6 16.（ 1）解： . （ 2） ：如图所示 . 由 1 1 1 1BC AC ， 1 1 1BC CC ，则 11BC 面 11ACCA .所以，四棱锥1 1 1B CAPC 的体积
11、为 1 1 1 1 1111 1 12 1 2 2 23 3 2B C A P C C A P CV B C S 17. 解：（ 1）因为 2002 年底刚达到小康，所以 n=50% 且 2002 年每户家庭消费支出总额为 9600 元， 故食品消费支出总额为 9600 50%=4800 元 则 %40%411 3 2 0 05 4 0 072059 6 0 0 12054 8 0 02 0 0 7 n，即 2007 年底能达到富裕 （ 2）设 2002 年的消费支出总额为 a 元，则 % ),361(7205 aa 从而求得 10000a 元， 又设其中食品消费支出总额为 % ) ,121(
12、1 2 05, bbb 则元 从而求得 5000b 元。 当恩格尔系数为 %407 2 01 0 0 0 0 1 2 05 0 0 0%30,%40%30 xxn 有时， 解得 .8.2095.5 x 则 6 年后即 2008 年底起达到富裕。 18. 解：（ 1）由于点 3( 3, )2 在椭圆上， 22223()( 3 ) 21ab 2a =4, CA1A主 视 图 左 视 图俯 视 图1C221C1A1B222C21BB1CABC1A1B1CP7 椭圆 C 的方程为 22143xy焦点坐标分别为（ -1， 0） ，（ 1， 0） （ 2）设 1KF 的中点为 B（ x, y）则点 (2
13、1,2 )K x y 把 K 的坐标代入椭圆 22143xy中 得 22(2 1) (2 ) 143xy 线段 1KF 的中点 B 的轨迹方程为 221( ) 1324yx （ 3）过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M， N 关于坐标原点对称 设 0 0 0 0( , ) ( , ) , ( , )M x y N x y p x y -11 分 ,M N P 在 椭 圆 上 ， 应 满 足 椭 圆 方 程，得 22 22002 2 2 211xy xya b a b ， 00P M P Ny y y ykKx x x x PM PNkK = 220 0 0220 0 0y y y y y y
14、x x x x x x = 22ba 故： PM PNkK 的值与点 P 的位置无关，同时与直线 L 无关， 19. 解 :（ 1） )()( 31 ff 、 在 4,0 上均为单调递增的函数 对于函数 c o ssin)(1 f ，设 4,0, 2121 、，则 )()( 2111 ff 1221 coscoss i ns i n ， 1221 c o sc o s,s i ns i n ， ,2111 ff 函数 )(1f 在 4,0 上单调递增 . （ 2） 原式左边 4466 c o ss i nc o ss i n2 44422422 c o ss i nc o sc o ss i
15、ns i nc o ss i n2 2cos2sin1 22 . 又 原式右边 2c o ss i nc o s 2222 . 224446 s i ncoss i ncos)()(2 ff . （ 3）当 1n 时，函数 )(1f 在 4,0 上单调递增， 8 )(1f 的最大值为 041 f，最小值为 101 f . 当 2n 时， 12 f ， 函数 )(2f 的最大、最小值均为 1. 当 3n 时，函数 )(3f 在 4,0 上为单调递增 . )(3f 的最大值为 043 f，最小值为 103 f . 当 4n 时，函数 2sin211)( 24 f在 4,0 上单调递减， )(4f
16、的最大值为 104 f ，最小值为2144 f. 下面讨论正整数 5n 的情形： 当 n 为奇数时，对任意 4,021 、且 ,21 122121 coscoss i ns i n)()( nnnnnn ff ， 以及 1coscos0,1s i ns i n0 1221 ， 1221 c o sc o s,s i ns i n nnnn ，从而 )()( 1 nn ff . )(nf 在 4,0 上为单调递增，则 )(nf 的最大值为 04 nf，最小值为 104 f . 当 n 为偶数时，一方面有 )0(1coss i ncoss i n)( 22 nnnn ff . 另一方面，由于对任意
17、正整数 2l ，有 0s i nc o ss i nc o s)()(2 222222222 llll ff ， 42 1)(2 1)(21)( 122122 nnnnn ffff . 函数 )(nf 的最大值为 1)0( nf ，最小值为 nnf 2124. 综上所述，当 n 为奇数时，函数 )(nf 的最大值为 0 ，最小值为 1 . 当 n 为偶数时，函数 )(nf 的最大值为 1，最小值为 n212. 20. 解： (1) 存在正整数 , n T nT a a 使 ； (2)证明：由 2 1 3 2 1 1 1n n n n n n n n n na a a a a a a a a a
18、 9 63n n na a a 所以数列 na 是以 6T 为周期的周期数列 由 2 3 1 2 1 2 3 32 0 0 8 , 2 0 1 0 , 2 0 0 8 , 2 0 1 0 2S S a a a a a a 知 于是 1 2 12 1 22 0 0 8 1 0 0 32 1 0 0 5a a aa a a 又 *15 0,k k ka a a k N ， 所以， 2 0 0 8 1 2 3 4 2 3 1007S a a a a a a (3)当 p =0 时， na 是周期数列，因为此时 *0( )na n N为常数列，所以对任意给定的正整数 T 及任意正整数 n ，都有 n
19、T naa ，符合周期数列的定义 . 当 1(0, )2p 时， na 是递增数列，不是周期数列 . 下面用数学归纳法进行证明： 当 1n 时，因为1 1, (0, ),2a p p所以 22 1 1 112 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( )22ppa a a p p ， 且 2 1 1 1 1 1 12 ( 1 ) ( 1 2 ) ( 1 2 ) 0a a a a a a a p p 所以1 2 2 1, (0 , )2a a a且假设当 n=k 时，结论成立，即12 1, ( 0 , )2kka a a a 且， 则 1 2 ( 1 ) ( 1 2 ) 0 ,k k k k k k ka a a a a a a 即 1kkaa 所以当 n=k+1 时，结论也成立 . 根据 、 可知， na 是递增数列，不是周期数列 . 高考资源网
