1、第二章 鸽巢原理2.0 和式与积式2.0.1 和式 (Sum formula）定义 1 a0+a1+ an称为 a0, a1, , an的 和式 ，常简记为 或 (2.0.1) “”称为 和号 ； “ai”称为和式的 通项 或累加项， “i”为通项的 下标 或 足标 ，用来标识和式中1不同的项。下标 i的变化范围常以逻辑表达式的形式写在和号下面，简单时也以罗列的形式表示在和号 “”的上、下方，下边指明 初值 ，上边指明 终值 ，其变化取由初值到终值的 相继递增整数 。 若令 Nn表示前 n+1个自然数所成之集，即Nn=0, 1, 2, , n， 则（ 2.0.1）式还可表示为 2命题 1 用和
2、号 表示的和式中，通项下标的改变不 影响和式。 例如 都表示同一和式。 当通项下标不取连续整数时，也希望能寻找一些规律，以便于用和式写出简单的表示式， 下面给出一些特殊和式的例子。 31. 奇数做下标 2. 偶数做下标 43. 双下标 4. 给定数 42的所有因子之和 :因为 42 =221=237=67=142=.所以 42的所有因子为： 1,2,3,6,7,14,21,4251+2+3+6+7+14+21+42= 6. 空和（由逻辑表达式不成立所致， 约定空和的值为 0） 6命题 2（加法的交换律） 如果（ i1, i2, , ii） 是 (1, 2, , n)的一个置换 ,则 :命题 3（加法的结合律） 如果 1mn， 则 :7命题 4（乘法交换律） 命题 5（乘法对加法的分配律） 推论 8注意到若附加条件 xi 0(1in)， 则 2.1.2 积式（ Product formula）与和式类似 , 还可以并行的讨论积式或更一般地写为9即积式可转化为和式来处理。条件 xi 0并无实质性的限制，因若某个 xi=0， 则整个积式为 0，又恰有 k项取负时，可先对（ 2.1.8）式两边乘 (-1)k， 以确保 xi 0， 最后再将其恢复过来。 例如： （ 1） n的阶乘 10
