1、学习任务二 一阶微分方程n 微分方程的内容相当丰富 ,我们只要求大家在理解微分方程的有关概念基础之上 ,会求解一些简单的一阶微分方程 . 对于二阶以及更高阶的微分方程不对大家做要求 . n 对于有些较简单的微分方程 , 如 或 , 两边积分就可得出 y. n 1. 可分离变量的微分方程n 有些微分方程 , 如n 就不能两边积分将 y计算出来 . 但这个微分方程 (当 y 0时 )可以将变量 y以及 dy移到等号的左边，而将将变量 x以及 dx移到等号的右边，得到n 这时 , 称 是 可 分离变量的微分方程 . n 若一个微分方程可分离变量，在分离变量后，两边分别积分就可以得出微分方程的通解 .
2、 n 对 两边积分，得到n 即n 其中 C为任意常数 . 带一个任意常数的就是微分方程的通解 . n 注意 上述过程是在 y 0时完成的 . 事实上，微分方程n 的所有解为n 和 y = 0.n 例 (可分离变量的微分方程 ) 求解微分方程n Solution (当 y 0时 )分离变量得n 两边积分 , 得n 因为 y = 0也是微分方程的解，而在通解中取 C = 0，就得到 y = 0. 因此，所给微分方程的所有解为n 其中 C是任意常数 .n 例 (可分离变量的微分方程 ) 求解微分方程 (1 + x2)dy -2xydx = 0.n Solution 因为 (1 + x2)dy -2x
3、ydx = 0, (当 y 0时 )分离变量得n 两边积分 , 得n 因为 y = 0也是微分方程的解，而在 y = C(1 + x2)中取 C = 0，就得到 y = 0. 因此，所给微分方程的所有解为n 其中 C是任意常数 .n 例 (可分离变量的微分方程 ) 求微分方程n 满足初始条件 的特解 .n Solution (由已知条件知 y 0时 )分离变量得 ydy = -xdx. 两边积分 , 得n 其中 C是任意常数 . 整理得 ,n 将初始条件 代入 12 + 12 = 2C得 , 于是 C = 1. 于是微分方程满足初始条件的特解为n 2. 一阶线性微分方程n 有些微分方程 , 如n 是不能分离变量的 . 但它是一阶的线性微分方程 , 求解的方法是 “常数变易法 ”. n 一阶线性微分方程定义 形如的方程n 称为 一阶线性微分方程 , 其中 P(x)和 Q(x)是关于 x的函数 .
