1、 2.3 极限运算的基本法则及其运用问题 : 根据极限的定义 , 只能验证某个常数 A 是否为某个函数 (x)的 极限 , 而不能求出函数 (x)的极限 . 为了解决极限的计算问题 , 下面介绍极限的运算法则 ; 并利用这些法则和 2.1 及 2.2中的某些结论来求函数极限 . 一 .极限的四则运算法则定理 6. 若 lim (x) = A, lim g(x) = B. 则(1). lim (x) g(x) = lim (x) lim g(x) = A B;(2). lim(x) g(x) = lim(x) lim g(x) = A B;(3).当1其证明可用定义 . 以极限过程为 xx 0的
2、证明 (1)为例 . 由 |(x)+g(x)(A+ B) |=|(x) A +g(x) B| (x) A |+|g(x) B |即可 .(1)、 (2)的推广 :(2)中 g(x) = c 时 , lim c(x) = c lim(x).(2)中 (x) = g(x) 时 ,2有理分式函数从而有多项式函数例 9. 求345对有理分式函数 F(x), 在 x 时极限有如下讨论 :例 10. 设求6解例 11. 求7例 12.二 .复合函数的极限运算法则定理 7. 如果函数 y =(u) , u =(x)满足条件：则复合函数 (x) , 当 xx 0时的极限也存在 , 且8其理论证明 (略 ).
3、但须指出以下两点：(1).也可将此定理中的极限过程改为 x, 或者将(x)的极限 a 改为 (即只须外函数极限存在 ), 结论同样成立 .(2).此定理表明了满足定理条件的复合函数的极限是存在的 , 同时也说明用变量替换的方法去计算复合函数的极限是可行的 , 即 (u)与 u = (x)满足定理 条件 , 则通过变换 u = (x) , 即可把求 的问题转换为求 9例 13.求提示：三 .曲线的渐近线定义 当曲线 y = (x)上动点M沿着曲线无限远离原点移动时 ,若该动点 M到某直线 L的距离无限趋近于零 (如右图 ),则称此直线 L是曲线 y = (x) 的渐近线 .o xyy=(x)MQL:y=ax+b 故应当考虑左、右极限 .10
