1、常微分 方程 期终考试试卷 (1) 一、 填空题（ 30%） 1、方程 ( , ) ( , ) 0M x y d x N x y d y有只含 x 的积分因子的充要条件是（ ）。有只含 y 的积分因子的充要条件是 _。 、 _称为黎卡提方程，它有积分因子 _。 、 _称为伯努利方程，它有积分因子 _。 、若 12( ), ( ), , ( )nX t X t X t为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件是 _。 、形如 _的方程称为欧拉方程。 、若 ()t 和 ()t 都是 ()x At x 的基解矩阵，则 ()t 和 ()t 具有的关系是_。 、当方程的特征根为两个共轭虚
2、根是，则当其实部为 _时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _。 二、计算题（） 1、 3( ) 0ydx x y dy 、 sin co s 2x x t t 、若2114A 试求方程组 x Ax 的解 12( ), (0 )t 并求 expAt 、32( ) 4 8 0dy dyxy ydx dx 、求方程2dy xydx经过（ 0， 0）的第三次近似解 三、证明题（） 、 n 阶齐线性方程一定存在 n 个线性无关解。 试卷答案 一填空题 、()MNyx xN ()MNyx yM 、 2( ) ( ) ( )dy p x y Q x y R xdx y y z 、 ( ) ( )ndy p x
3、 y Q x ydx ( 1 ) ( )( , ) n p x d xnu x y y e 、 12 ( ), ( ), , ( ) 0nw x t x t x t 、1111 0nnnnnnnd y d d yx a a a ydxd x d x 、 ( ) ( )t t C 、零 稳定中心 二计算题 、解：因为1, 1MNyx ，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子22 ln21() dy yyy e ey ，两边同乘 21y得32 0dx x y dyy y 所以解为 321xxy yd x d y cyyy 22xycy 即 22 ( )x y y c另外 y=0 也是解 、线性方程
4、 0xx的特征方程 2 10 故特征根 i 1( ) sinf t t i 是特征单根，原方程有特解 ( c os sin )x t A t B t代入原方程A=-12B=0 2( ) cos2f t t 2i 不是特征根，原方程有特解c o s 2 s i n 2x A t B t代入原方程 13A B=0 所以原方程的解为 1211c o s sin c o s c o s 223x c t c t t t t 、解：221( ) 6 9 014p 解得 1,2 3 此时 k=1 1 2n 12 v 1 1 1 1 2332 2 1 20()( ) ( 3 )!it i tittt e A
5、 E eti 由公式 expAt= 10()!intiite A Ei 得 3 3 31 0 1 1 1e xp ( 3 ) 0 1 1 1 1t t t ttA t e E t A E e t e tt 、解： 方程可化为3284dy ydxxdyydx令dy pdx则有3284pyx yp （ *） （ *）两边对 y 求导：3 2 2 3 22 ( 4 ) ( 8 ) 4dpy p y p y p y pdy 即32( 4 ) ( 2 ) 0dpp y y pdy 由 20dpypdy 得12p cy即 2()py c将 y 代入（ *）2224cpx c即方程的 含参数形式的通解为：2
6、2224()cpxcpyc p 为参数 又由 3240py得12 3(4 )py代入（ *）得：3427yx也是方程的解 、解： 00210 02 2 520 04 1 0 7 2 5 1 1 830 002()4 2 2 0()4 4 0 0 2 0 2 2 0 4 4 0 0 1 6 0xxxyxy x d xx x xy x d xx x x x x x xy x d x 三、 证明题 由解的存在唯一性定理知： n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的 n 解： 1 0 2 0 01 0 2 0 01 1 11 0 2 0 0( ) 1 , ( ) 0 , , ( ) 0( ) 0 , (
7、 ) 1 , , ( ) 0( ) 0 , ( ) 0 , , ( ) 1nnn n nnx t x t x tx t x t x tx t x t x t 考虑1 0 2 0 01 0 00 1 0 ( ) , ( ) , , ( ) 1 00 0 1nw x t x t x t 从而 ( )( 1,2, )ix t i n 是线性无关的。 常微分方程期终试卷 (2) 一、填空题 30% 1、 形如 _的方程，称为变量分离方程，这里 . )().( yxf 分别为 x.y 的连续函数。 2、 形如 _的方程，称为伯努利方程，这里 xxQxP 为)().( 的连续函数 .n ，可化为线性方程。
8、是常数。引入变量变换 1.0 3、 如果存在常数 使得不等式,0L _ 对于所有称为利普希兹常数。都成立，（ LRyxyx ),(), 21 函数 ),( yxf 称为在 R上关于y 满足利普希兹条件。 4、 形如 _-的方程，称为欧拉方程，这里 是常数。, 21 aa 5、 设 是的基解矩阵，是 )()( tAxxt )()( tfxtAx 的某一解，则它的任一解 可表为)(t _-。 二、 计算题 40% 1、 求方程 的通解。26 xyxydxdy 2、 求方程 xyexydxdy 的通解。 3、 求方程 texxx 256 的隐式解。 4、 求方程 ）的第三次近似解。、通过点（ 002
9、yxdxdy 三、 证明题 30% 1.试验证 t = 122t tt是方程组 x = tt 22 102 x,x= 21xx，在任何不包含原点的区间a bt 上的基解矩阵。 2.设 t 为方程 x =Ax（ A 为 nn 常数矩阵）的标准基解矩阵（即 （ 0） =E），证明 : t 1 (t0 )= (t- t0 )其中 t0 为某一值 . 常微分方程期终试卷答卷 一、 填空题（每空 5 分） 1 )()( yxfdxdy 2、 nyxQyxPdxdy )()( z= ny1 3 ),(),( 21 yxfyxf 21 yyL 4、 011111 yadxdyxadx ydxadx ydxn
10、nnnnnnn 5、 )()()( ttt 二、 计算题（每题 10 分） 1、这是 n=2 时的伯努利不等式，令 z= 1y ,算得 dxdyydxdz 2 代入原方程得到 xzxdxdz 6 ，这是线性方程，求得它的通解为 z= 826 xxc 带回原来的变量 y，得到 y1 = 826 xxc 或者 cxyx 886，这就是原方程的解。 此外方程还有解 y=0. 2、 解： x yxexyedxdyxyxy dxyxexdy xy )( dxxeydxxdy xy dxxedxy xy xdxedxyxy 积分： cxe xy 221 故通解为： 021 2 cex xy 3、 解：齐线
11、性方程 056 xxx 的特征方程为 0562 ， 5,1 21 ，故通解为 tt ecectx 521)( 2 不是特征根，所以方程有形如 tAetx 2)( 把 )(tx 代回原方程 tttt eAeAeAe 2222 5124 211A 于是原方程通解为 ttt eecectx 2521 211)( 4、 解 0)(0 x x xdxxxx02201 2)()( 202)()(502212 xxdxxxxx 4400160202)()(118502223 xxxxdxxxxx 三、证明题（每题 15 分） 1、证明：令 t 的第一列为 1 (t)= tt22,这时 1 (t)= 22t=
12、 tt 22102 1 (t)故 1 (t)是一个解。同样如果以 2 (t)表示 t 第二列，我们有 2 (t)= 01= tt 22102 2 (t)这样 2 (t)也是一个解。因此 t 是解矩阵。又因为 det t =-t2 故 t 是基解矩阵。 2、证明：（ 1） t , (t- t0 )是基解矩阵。 （ 2）由于 t 为方程 x =Ax 的解矩阵，所以 t 1 (t0 )也是 x =Ax 的解矩阵，而当 t= t0 时， (t0 ) 1 (t0 )=E, (t- t0 )= （ 0） =E. 故由解的存在唯一性定理，得 t 1 (t0 )= (t- t0 ) 3、设 )(t 为方程 A
13、xx （为 nn 常数矩阵）的标准基解矩阵（即 )0( E ，证明)(t )()( 001 ttt 其中 0t 为某一值。 3、证明： )(t 为方程 Axx 的基解矩阵 )(01t 为一非奇异常数矩阵，所以 )(t )(01t 也是方程 Axx 的基解矩阵，且 )( 0tt 也是方程 Axx 的基解矩阵，且都满足初始条件 )(t )(01t E ， Ett )0()( 00 所以 )(t )()( 001 ttt 常微分方程期终 考试试卷 （ 5） 一 填空题 （ 30 分） 1 )()( xQyxPdxdy 称为一阶线性方程，它有积分因子 dxxPe )( ，其通解 为 _ 。 2函数 )
14、,( yxf 称为在矩形域 R 上关于 y 满足利普希兹条件，如果 _ 。 3 若 )(x 为毕卡逼近序列 )(xn 的极限，则有 )()( xx n _ 。 4方程 22 yxdxdy 定义在矩形域 22,22: yxR 上，则经过点（ 0， 0）的解的存在区间是 _ 。 5函数组 ttt eee 2, 的伏朗斯基行列式为 _ 。 6若 ),2,1)( nitxi 为齐线性方程的一个基本解组， )(tx 为非齐线性方程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 _ 。 7若 )(t 是 xtAx )( 的基解矩阵，则向量函数 )(t = _是 )()( tfxtAx 的满足初始条件 0)( 0
15、 t 的解；向量函 数 )(t = _ 是 )()( tfxtAx 的满足初始条件 )( 0t 的解。 8若矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量 nvvv , 21 ，它们对应的特征值分别为n , 21 ，那么矩阵 )(t = _ 是常系数线性方程组 Axx 的一个基解矩阵。 9满足 _ 的点 ),( * yx ，称为驻定方程组。 二 计算题 （ 60 分） 10求方程 0)1(24 322 dyyxdxyx 的通解。 11求方程 0 xedxdy dxdy的通解。 12求初值问题 0)1(22yyxdxdy1,11: yxR 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计
16、。 13求方程 ttxx 3sin9 的通解。 14试求方程组 )( tfAxx 的解 ).(t 1)(,34 21,1 1)0( tetfA三证明题 （ 10 分） 16如果 )(t 是 Axx 满足初始条件 )( 0t 的解，那么 )(exp)( 0ttAt 常微分方程期终考试试卷答案 一填空题 （ 30 分） 1 )( )()( cdxexQey dxxPdxxP 2 ),( yxf 在 R 上连续，存在 0L ，使 2121 ),(),( yyLyxfyxf ，对于任意Ryxyx ),(),( 21 3 1)!1( nn hnML4 4141 x 5ttttttttteeeeeeeee
17、222426 )()()( 1 txtxctx ini i 7 dssfsttt )()()( 10 dssfsttt tt )()()()()( 0 101 8 nttt veveve n , 21 21 9 0),(,0),( yxYyxX 二计算题 （ 60 分） 10解： yxxNyxyM 22 6,8 yMxNyM21积分因子 2121)( yey dyy 两边同乘以 )(y 后方程变为恰当方程： 0)1(24 321322 dyyxydxyx 3224 yxMxu 两边积分得： )(34 233 yyxu 21213213 22)(2 yyxNyyxyu 得： 214)( yy 因
18、此方程的通解为： cyxy )3( 321 11解：令 pydxdy 则 0 xep p 得： pepx 那么 dpepp d xy p )1( cepep pp 22因此方程的通解为： ceppyepxpp)1(22 12解： 4),(m ax),( yxfM Ryx byyaxx 1,1 00 ， 41),min( Mbah 解的存在区间为 4110 hxxx 即 4345 x 令 0)( 00 yx 3130)(31 21 xdxxx x 4211918633)313(0)( 47312322 xxxxdxxxx x又 Lyyf 22误差估计为： 241)!1()()( 12 nn hn
19、MLxx 13解： ii 3,309 212 i3 是方程的特征值， 设 iteBAtttx 3)()( 得： iteAtBiA itBtAx 32“ )961292( 则 tBiAitA 6122 得： 361,121 BiA 因此方程的通解为： tttttctctx 3s in3613c o s1213s in3c o s)( 221 14解： 0)5)(1(3421)d e t ( AE5,1 21 0)( 11 vAE 得 1v取 111v0)( 22 vAE 得 22v取 212v则基解矩阵 ttttee eet 552)( tttttteeeeeet 1 12121012)0()(
20、 551 5121103 5241203)()()(5510 tttttt eeeedssfst因此方程的通解为： tt dssfsttt 0 )()()()0()()( 11 5121103 524120355tttttteeeeee三证明题 （ 10 分） 16证明：由定理 8 可知 dssfstttt tt )()()()()()( 0 101 又因为 )e x p ()( e x p)(,e x p)( 01001 AtAttAtt 0)( sf 所以 )e x p (e x p)( 0AtAtt 又因为矩阵 )()()()( 00 AtAtAtAt 所以 )(exp)( 0ttAt
21、常微分方程期终 考试试卷 (6) 三 填空题 （共 30 分， 9 小题， 10 个空格，每格 3 分）。 1、 当 _时，方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 称为恰当方程，或称全 微分方程。 2、 _称为齐次方程。 3、求dxdy=f(x,y)满足 00)( yx 的解等价于求积分方程 _的连续解。 4、若函数 f(x,y)在区域 G 内连续，且关于 y 满足利普希兹条件 ，则方程 ),( yxfdxdy 的解 y= ),( 00 yxx 作为 00, yxx 的函数在它的存在范围内是 _。 5、若 )(),.(),( 321 txtxtx 为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们
22、线性无关的充要条件是_。 6、方程组 xtAx )(/ 的 _称之为 xtAx )(/ 的一个基本解组。 7、若 )(t 是常系数线性方程组 Axx / 的基解矩阵，则 expAt =_。 8、满足 _的点（ *,yx ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部 _时，零解是稳定 的，对应的奇点称为 _。 二、计算题（共 6 小题，每题 10 分）。 1、求解方程： dxdy = 312 yx yx2、 2、 解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0 3、讨论方程 23dxdy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（ 0，0）的一切解 4、求解常系数线性方程： texxx t c o s32 / 5、试求方程组 Axx / 的一个基解矩阵，并计算 34 21, 为其中 Ae At三、证明题（共一题，满分 10 分）。 试证：如果 Axxt /）是（ 满足初始条件 )( 0t 的解，那么 )(t )( 0ttAe 常微分方程期末考试答案卷 一、 一、 填空题。（ 30 分）
