1、Comment 1: 完成了Comment 2: 什么是亚波长， 要介绍一下， 我们组里的人知道， 但是别人不一定了解- 1 -亚波长分形结构光子带隙的研究徐杰谌导师：周磊摘要：我主要重复了周老师在平面分形结构的亚波长光子带隙的研究上的一些工作，从基础的分形以及介质理论入手，对比例定律和局部共振进行了模拟和实验，在此基础上，将理论、模拟和实验结合，形成一个比较完整的本科生近代物理实验。光子带隙材料（PBG）可以在特定的频率范围内内反射以任意角度入射的电磁波。传统的光子带隙材料利用布拉格散射原理来产生禁带（forbidden band gap） ，为了减小边界效应，材料的厚度和边界尺度必须是波长
2、的几倍。对于微波，几倍就意味着材料尺度需要达到 1m以上的数量级，这显然不实用。选频材料（ FSS）利用一些金属单元周期性排列来实现对于电磁波的反射，但相应反射波长仍然受到结构元尺度的限制。分形结构材料可以实现以亚波长的尺度来产生多重光子带隙。几何上，分形是指任意大小的子图形与原图形完全一样的图形。我们研究的结构是一种工字型的分形，构型在如图 1中：这里展示的是一个 11级分形， 。 分型结构级数的定义如下： 中间纵向最长的一根为分形第 1级，长度记为 a；横向最长为第 2级，长度为 a，有两根；纵向次长的四根为第 3级，长度 a/2；依次类推，分形的第 n级有 根，长度 。1-12/n-实验
3、上直接用平面电磁波（TEM）入射到分形板上来观察透射系数（ ）以及相位，21S为了减小边界效应，分形板应该做得尽可能大（微波实验中一般使用 500mm*500mm左右的板） 。模拟只能针对有限的尺度进行，涉及到 S参数输出一般采用波导，为了使波导支持 TEM模式，可以将其平行于 平面的边界面设为 ，平行于xz()0,PECnB=urr平面的边界面设为 。yz()0,PMCnB=urr整个模拟及实验过程中隐含了一条很重要的比例定律（Scaling Law） ，即某种结构如果尺度扩大一倍，那么相应频率需要缩小一倍。如图 2， （Lv 为级数，a 为分形第一级长度）Comment 3: 反射率一致的
4、说法有点问题， 应该是反射率峰值位置的对应关系。 - 2 -a=64mm分形相当于把 a=32mm分形的尺度扩大了一倍，我们可以看到，相应地， a=64mm分形在0,4GHz 内的反射率与 a=32mm分形在0,8GHz 内的反射率一致。图 1. 工字型分形图（11 级）实验上，我们采用 a=16mm的四级分形板与 a=8mm的四级分形板来验证这一重要定律，为了做到完全地按比例扩大，除了各级长度以外，前者的介质厚度、金属条宽度都是后者的两倍。如图 3，透射极小位置分别在 3.16GHz（a=16mm） 、1.596GHz（a=8mm） ，电场极化方向与分形第一级平行。我们首先通过模拟来研究 7
5、级分形的性质，再推广到实际情况（无穷级） 。分别在第1、2、3 个反射极大（从左往右依次 2.4528GHz、6.308GHz、20.909GHz）处观察表面电流（如图 4） ，我们发现，低频时，极化电流集中在分形的低级区域，随频率增大，极化电流会趋向于分布在更高级的区域中；并且在第 1、2、3 个反射极大时，电流正好集中在第1、3、5- 3 -级区域中（注意到电场沿 y 方向极化，而分形的 1、3、5 级正是其在 y 方向的第 1、2、3 0 1 2 3 40.0.20.40.60.81.0 Lv=4, a=64mReflctanceFrequncy (GHz)0 2 4 6 80.0.20
6、.40.60.81.0 Lv=4, a=32mReflctance Frequncy (GHz)图 2. 比例定律（ Lv=4, a=32mm 与 Lv=4, a=64mm）0 2 4 6 8 10-30-25-20-15-10-505Transmitance (dB) Frequncy (GHZ)Experimnt FDT siulationLv=4, a8m图 3.1 Scaling Law（Lv=4, a=8mm）- 4 -0 1 2 3 4 5-5-40-30-20-10010Transmitance (dB) Frequncy (GHZ)Experimnt FDT siulation
7、Lv=4, a16m图 3.2 Scaling Law（Lv=4, a=16mm）图 4. 不同频率下表面电流分布（从左往右依次 2.4528GHz、6.308GHz、20.909GHz ）级） ，这就暗示我们这种分形结构的介电常数应该有 的形式。而实()02lef lfb=+-际上，对于有局部共振的色散介质， ， 是 级的响应频率， 是频率，()2jjbfafe=+-jf f是常数。,jab- 5 -我们这里研究的是各向异性介质，矩阵元 可以通过将整体当做有效介质模型,xye处理后应用转移矩阵方法，利用 与透射相位反解得到。在两个响应频率之间，会有一个21S频率处相邻的两个响应结构产生同振幅
8、但相差为 的响应，这时候响应电流相互抵消，产p生全透射。事实上，分形结构不同级的局部共振正是其多重光子带隙产生的原因。为了验证分形的不同级的结构只对特定的频率产生共振，我模拟了 a=32mm 的四级板和 a=64mm 的六级板，前者正是后者的一个亚结构，如图 5：0 2 4 6 80.0.20.40.60.81.0 Lv=6, a=64mReflctanceFrequncy (GHz)0 2 4 6 80.0.20.40.60.81.0 Lv=4, a=32mReflctance Frequncy (GHz)图 5. 分形的不同级对于不同频率的响应（Lv=4, a=32mm 与 Lv=6, a
9、=64mm）正如前面所预见的，在低频区域，6 级比 4 级多了一个共振峰。这是因为 6 级比 4 级多出了长度为 16mm 的第 1、2 级，而 6 级分形的 1、2 级结构共振产生了第一个反射峰。实验上，我们用 a=8mm 的四级分形板与 a=16mm 的六级分形板来观察分形不同级的响应情况（前者正是后者的子结构） ，如图 6，在 3.16GHz 附近，透射极小位置几乎重合；在 1.169GHz 处，六级分形多出了一个透射谷（deep） 。另外有一些实验事实可以作为对以上理论的佐证。分别将四级分形板与六级分形板旋转 ，由于喇叭的极化方向确定，这样就相当于把电磁波极化方向改变了 。如图 7，9
10、0o 90o我们- 6 -可以看到，旋转后，频率上透射谷位置相对旋转前乘了一个常数，频率取过对数后，我们可以看到四个均匀分布的透射谷，从左到右正是由分形的第 1、2、3、4 级共振而产生。1、3 级前面已有解释，而对于 2、4 级，正是由于旋转后电场极化方向和分形的第 2 级平行，所以第一个透射谷会出现在分形的第二级结构产生共振的频率处，第二个透射谷会出现在分形0 2 4 6 8 10-5-45-40-35-30-25-20-15-10-505Transmitance (dB)Frequncy (GHZ)Experiment (Lv=4) FDT siulation (Lv=4) Experi
11、ent (Lv=6) FDT simulation (Lv=6)图 6. 分形的不同级的响应情况（Lv=4, a=8mm 与 Lv=6, a=16mm）- 7 -0.5 1 2 4 8 16-6-5-50-45-40-35-30-25-20-15-10-505Transmitance (dB)Frequncy (GHZ)Lv=6, a=16m Experient (original) FDT siulati (original) Experiment (roted) FDT siulatin (rotaed)图 7. 旋转 后透射率与旋转前的对比（Lv=6, a=16mm）9o的第四级结构产生
12、共振的频率处。Lv=4, a=8mm 的四级分形板可以看到完全类似的现象，如图 8，实验测量范围在1,10GHz，实际上更高频率处还会有一个透射谷。0 2 4 6 8 10-35-30-25-20-15-10-505Transmitance (dB)Frequncy (GHZ)Lv=4, a=8m Experient (original) FDT siulati (original) Experiment (roted) FDT siulatin (rotaed)图 8. 旋转 后透射率与旋转前的对比（Lv=4, a=8mm）9o- 8 -因此，模拟时，对于级数非常高的分形，可以采用拆分法。在
13、低频区域研究高级子结构，在高频区域研究低级子结构，中间区域的结果将与实际非常近似，这种方法仅在极低频和极高频区域会少一些峰值。 （由于频域上共振位置的值是指数增加的，所以如果我们关注的仅仅是一个特定的中间频率范围，极低频和极高频的这些误差可以忽略。 ）为了得到一个 15 级分形的模拟结果，对于沿 x 方向极化的入射波我分别在0,3.5GHz、0,8GHz 、0,40GHz 范围内模拟了 10、8、6 级分形，如图 9；对于沿 y 方向极化的入射波我分别在0,1.5GHz、0,5GHz、0,40GHz 范围内模拟了 11、9、7 级分形，如图10。可以看到，在反射率、透射率极小处，反射相位、透射
14、相位都有突变，实验上也看到了这种变化，见图 11，这不难理解，因为电磁波跳过了一个“隙” （gap） 。此外，x 极化电磁波与 y 极化电磁波的各个峰值位置相差一个固定的频率（取对数后） ，这正是之前的理论所预言的。分形结构材料还具有绝对禁带，也即禁带位置不随入射角度而变化。我们可以从支持模式的波导中的 TE 波场一般形式出发：mnTE0.0.20.40.60.81.0Reflctane0.0.20.40.60.81.Transmitance- 9 -图 9. X 极化入射波的反射率、透射率、透射相位、反射相位（0,3.5|10、0,8|8、0,40|6）0.0.20.40.60.81.0Re
15、flctane0.250.512481632-14-1260-108-90-720-540-360-1800Refl. Phase Frequncy (GHz)-14-1260-108-90-720-540-360-1800Trans. Phase0.0.20.40.60.81Transmitance- 10 -图 10. Y 极化入射波的反射率、透射率、透射相位、反射相位（0,1.5|11、0,5|9、0,40|7）12345678910-40-30-20-10010 Transmitance r. PhsFrequncy (GHZ)Transmitance (dB) -0-80-60-40-20020406080Trans. Phase0.250.512481632-18-620-14-260-18-90-72-540-36-180Refl. Phase Frequncy (GHz)-1620-4-1260-8-90-72-540-36-180Trans. Phase
