1、1鸡兔同笼问题解法及例题透析【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（实际脚数2鸡兔总数）（42）假设全都是兔，则有鸡数（4鸡兔总数实际脚数）（42）第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数（2鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）假设全都是兔，则有鸡数（4鸡兔总数鸡与兔脚之差）（42）【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果
2、先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。例 1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？解假设 35 只全为兔，则鸡数（43594）（42）23（只）兔数352312（只）也可以先假设 35 只全为鸡，则兔数（94235）（42）12（只）鸡数351223（只） 答：有鸡 23 只，有兔 12 只。例 22 亩菠菜要施肥 1 千克，5 亩白菜要施肥 3 千克，两种菜共 16 亩，施肥 9 千克，求白菜有多少亩？解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（12）千克”与“每只鸡有两
3、个脚”相对应，“每亩白菜施肥（35）千克”与“每只兔有 4 只脚”相对应，“16 亩”与“鸡兔总数”相对应，“9 千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设 16 亩全都是菠菜，则有2白菜亩数（91216）（3512）10（亩） 答：白菜地有 10 亩。例 3 李老师用 69 元给学校买作业本和日记本共 45 本，作业本每本 3.20 元，日记本每本 0.70 元。问作业本和日记本各买了多少本？解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设 45 本全都是日记本，则有作业本数（690.7045）（3.200.70）15（本）日记本数451530（本）例 4（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有 100 只，鸡的脚比兔的
4、脚多 80 只，问鸡与兔各多少只？解假设 100 只全都是鸡，则有兔数（210080）（42）20（只）鸡数1002080（只）答：有鸡 80 只，有兔 20 只。例 5 有 100 个馍 100 个和尚吃，大和尚一人吃 3 个馍，小和尚 3 人吃 1 个馍，问大小和尚各多少人？解假设全为大和尚，则共吃馍（3100）个，比实际多吃（3100100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数 100 不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（31/3）个。因此，共有小和尚（3100100）（31/3）75（人）共有大和尚 1007525（人）答：共有大和尚
5、 25 人，有小和尚 75 人。鸡兔同笼问题例题透析 11、有若干只鸡和兔子，它们共有 88 个头，244 只脚，鸡和兔各有多少只？解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，也就是 2442=122（只）.3在 122 这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从 122 减去总头数 88，剩下的就是兔子头数 122-88=34，有 34 只兔子.当然鸡就有 54 只. 答：有兔子 34 只，鸡 54 只.上面的计算，可以归结为下面算式： 总脚数2-总头数=兔子数.上面的解法是孙子算经中记载的
6、.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是 4 和 2，4 又是 2 的 2 倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是 4 和 2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.还说此题. 如果设想 88 只都是兔子，那么就有 488 只脚，比 244 只脚多了 884-244=108（只）.每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡 （884-244）（4-2）= 54（只）.说明我们设想的 88 只“兔子”中，有 54 只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式鸡数=（兔脚数总头数-总脚数）（兔脚数-鸡脚数）.当然，我
7、们也可以设想 88 只都是“鸡”，那么共有脚 288=176（只），比 244 只脚少了 244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚， 682=34（只）.说明设想中的“鸡”，有 34 只是兔子，也可以列出公式兔数=（总脚数-鸡脚数总头数）（兔脚数-鸡脚数）.上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.鸡兔同笼问题例题透析 2红铅笔每支 0.19 元，蓝铅笔每支 0.11 元，两种铅笔共买了 16 支，花了 2.80 元.问红、蓝铅笔各买几支？解：以“分”作为钱的单位.我们设
8、想，一种“鸡”有 11 只脚，一种“兔子”有 19 只脚，它们共有16 个头，280 只脚.4现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有蓝笔数=（1916-280）（19-11）=248=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答：买了 13 支红铅笔和 3 支蓝铅笔.对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例 2 中的“脚数”19 与 11 之和是 30.我们也可以设想 16 只中，8 只是“兔子”，8 只是“鸡”，根据这一设想，脚数是8（11+19）=240.比 280 少 40.40（19-11）=5.就知道设想中的 8 只“鸡”应少 5 只，也就
9、是“鸡”（蓝铅笔）数是 3.308 比 1916 或 1116 要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想 16 只中，“兔数”为 10，“鸡数”为6，就有脚数1910+116=256.比 280 少 24.24（19-11）=3，就知道设想 6 只“鸡”，要少 3 只.要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.鸡兔同笼问题例题透析 3一份稿件，甲单独打字需 6 小时完成.乙单独打字需 10 小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了 7 小时.甲打字用了多少小 时？5解：我们把这份稿件平均分成 30
10、 份（30 是 6 和 10 的最小公倍数），甲每小时打 306=5（份），乙每小时打 3010=3（份）.现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是 7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是 3，总脚数是 30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.根据前面的公式 “兔”数=（30-37）（5-3） =4.5，“鸡”数=7-4.5 =2.5，也就是甲打字用了 4.5 小时，乙打字用了 2.5 小时. 答：甲打字用了 4 小时 30 分.小毛参加数学竞赛，共做 20 道题，得 64 分，已知做对一道得 5 分，不做得 0 分，错一题扣 2 分，又知道他做错的题和没做的一样多问小毛做对几道题？分析：解答鸡兔同笼问题，一般采用假设法，这道题用两次假设假设做错的和没做的一样多，就假定这两种情况都倒扣（1 分） ；假设 20 道题全做对，与题中给出得 64 分相比较，看差多少，对错每道差（5+1）分，将所差的分数除以（5+1） ，就可求没做或做错的数解答：解：因为做错的和没做的一样多，就假定这两种情况都倒扣（1 分） 所以没做或做错的有：（520-64）（5+1）=（100-64）6=366=6（道）做对的有：20-6=14（道） 故答案为：14点评：正确处理好总差和一道的差
