1、高考艺术生数学复习资料 1 一、集合与简易逻辑 ： 一、理解集合中的有关概念 （ 1）集合中元素的特征： 确定性，互异性，无序性 。 （ 2）集合与元素的关系用符号 , 表示。 （ 3）常用数集的符号表示：自然数集 N ；正整数集 N* 、 N ；整数集 Z ；有理数集 Q 、实数集 R 。 （ 4）集合的表示法 :列举法，描述法，符号法（数轴法，韦恩图法） 注意：区分集合中元素的形式 ：如： 12| 2 xxyxA ； 12| 2 xxyyB ；12|),( 2 xxyyxC 12| 2 xxxxD ；,12|),( 2 ZyZxxxyyxE ； 12|),( 2 xxyyxF ； ,12|
2、 2 xyzxxyzG （ 5）空集是指不含任何元素的集合。（ 0 、 和 的区别； 0 与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 注意：条件为 BA ，在讨论的时候不要遗忘了 A 的情况 。 如： 012| 2 xaxxA ，如果 RA ，求 a 的取值。 二、集合间的关系及其运算 （ 1）符号 “ , ” 是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ； 符号 “ , ” 是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线 (面 )的关系 。 （ 2） AB= x| xA 且 xB A B= x| xA 或 xB； CI A= x| x I
3、 且 xA （ 3）对于任意集合 BA, ，则： ABBA ； ABBA ； BABA ； ABA A B； ABA B A ； UBACU A B= ； BACU A B=U； 高考艺术生数学复习资料 2 BCAC UU )( BACU ; BCAC UU )( BACU ； （ 4）若 n 为偶数，则 n 2K,(k Z )；若 n 为奇数，则 n 2k+1, (k Z )； 若 n 被 3 除余 0，则 n 3k, (k Z )；若 n 被 3 除余 1，则 n 3k+1(k Z )；若 n 被3 除余 2，则 n 3k+2(k Z )； 三、集合中元素的个数的计算： （ 1）若集合 A
4、 中有 n 个元素，则集合 A 的所有不同的子集个数为 2n ，所有真子集的个数是 2n -1，所有非空真子集的个数是 2n -2。 （ 2） BA 中元素的个数的计算公式为 ： )( BACard CardBCardA )( BACard ； （ 3）韦恩图的运用： 四、 xxA | 满足条件 p ， xxB | 满足条件 q ， 若 p q,q p；则 p 是 q 的充分非必要条件 BA ； 若 p q,q p；则 p 是 q 的必要非充分条件 BA ； 若 p q；则 p 是 q 的充要条件 BA ； 若 p q,q p；则 p 是 q 的既非充分又非必要条件 ABBA , ； 五、原命
5、题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的 充要性 ； 注意： “ 若 qp ，则 qp ” 在解题中的运用， 如： “ sinsin ” 是 “ ” 的 充分不必要 条件。 六、 反证法：当证明 “ 若 p ，则 q ” 感到困难时，改证它的等价命题 “ 若 q 则 p ” 成立， 步骤： 1、假设结论反面成立； 2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾； 3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 否定 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 至少有两个 正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有 n 个 任意两个 否定 一个也没有 某些 存在
6、 至少 n+1 个 存在两个不 高考艺术生数学复习资料 3 课本题 1 设 , 4 6 , , 5 3 ,A x y y x B x y y x ，则 AB （ 1， 2） 2（ P13 练习 5）设 2 1 , , 2 1 , ,A x x k k Z B x x k k Z 2 , ,C x x k k Z 则 AB A， BC ， AC R， AB A。 3（ P14 习题 9）一个集合的所有子集共有 n 个，若 0,1, 2,3, 4,5n ，则 n 1,2.4 4. （ P14 习题 10 ） 我们知 道 , 如果集 合 AS ，那么 S 的子集 A 的补 集为 ,sC A x x
7、S x A 且类似地 ,对于集合 A,B，我们把集合叫 ,x x A x B且 做集合，的差集，记作若 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8AB，则 A B B A 1,2.3.6.7.8.若 AB ，则集合 A 与 B 之间的关系为 A B= 5（ P17 复习题 6）已知集合 1 , 4 , , ,A B a A B ，则 a ,4 ) 6（ P17 复习题 8）满足 1, 3 1, 3, 5A 的集合 A 最多有 4 个。 7（ P17 复习题 10）期中考试，某班数学优秀率为 70%，语文优秀率为 75%.则上述两门学科都优秀的百分率至少为 45%
8、 。 8（ P17 复习题 11）设全集为 U，则 ,U U UC A C A B C A B三者之间的关系为 U U UC A B C A C A B 9（ P17 复习题 12）设 A， B 均为有限集， A 中元素的个数为 m， B 中元素的个数为 n， AB中的元素的个数 s， AB中的元素的个数 t，则下列各式 能 成立的序号是 (1)(2) （ 1） m n s （ 2） m n s （ 3） m n s 10（ P17 复习题 13）对于集合 A， B，我们把集合 ,a b a A b B记作 AB .例如， 1, 2 , 3, 4AB，则有 1 , 3 , 1 , 4 , 2
9、, 3 , 2 , 4 , 3 , 1 , 3 , 2 , 4 , 1 , 4 , 2 ,A B B A 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 3 , 4 , 4 .A A B B 据此，试解答下列问题： （ 1） 已知 , 1, 2, 3C a D，求 CD 及 DC ； C D=(a,1),(a,2),(a,3) D C=(1,a),(2,a),(3,a) （ 2） 已知 1, 2 , 2 , 2AB ，求集合 A， B； A=1,2B=2 （ 3） 若 A 有 3 个元素， B 有 4 个元素，试确定 AB 有几个元素？
10、12 高考艺术生数学复习资料 4 高考题 1.若集合 |2A x x ， |B x x a 满足 2AB ，则实数 a=2 2.设集合 | 3 2 M m m Z ， | 1 3 N n n M N Z 则， 101， ， 3.已知全集 UR ，集合 | 2 3A x x ， | 1 4B x x x 或 ，那么集合)( BCA U 等于 | 1 3xx 4.设集合 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 1 , 2 , 3 , 2 , 3 , 4U A B ，则 )( BACU ,4,5 5.设集合 |0 8xx NU ， 1,2,4,5S ， 3,5,7T ，则 )( TCS U 1, 2
11、, 4 6.定义集合运算 : , , .A B z z x y x A y B 设 1,2A , 0,2B ,则集合AB 的所有元素之和为 6 7.（湖南卷 2）“ 12x 成立”是“ ( 3) 0xx成立”的 必要不充分 条件 8.已知全集 1 2 3 4 5U ， ， ， ， ，集合 2 | 3 2 0A x x x ， | 2 B x x a a A ， ，则集合 )( BACU 中元素的个数为 2 9.设 m,n 是整数，则“ m,n 均为偶数”是“ m+n 是偶数”的 充分而不必要 条件 10.（福建卷 2)设集合 A=x| 1xx 0 ,B=x|0 x 3 ,那么“ mA”是“ m
12、B”的 充分而不必要 条件 11.已知 U=R， A= 0| xx ,B= 1| xx , 则 ACBBCA uu 10| 或 12.已知集合 3| 0 | 31xM x x N x xx ， ，则集合 |1xx D A MN B MN C )( NMCU D )( NMCU 13.（江苏卷 4） A= 21 3 7x x x ，则 A Z 的元素的个数 0 14.（重庆卷 11）设集合 U=1,2,3,4,5,A=2,4,B=3,4,5,C=3,4,则)()( CCBA U = 5,2 . 高考艺术生数学复习资料 5 二 函数概念 一、 知识清单 1映射：设非空数集 A， B，若对集合 A
13、中任一元素 a，在集合 B 中有唯一元素 b 与之对应，则称从 A 到 B 的对应为映射，记为 f： A B， f 表示对应法则，b=f(a)。若 A 中不同元素的象也不同，且 B 中每一个元素都有原象与之对应 ,则称从 A 到 B 的映射为一一映射。 2函数定义：函数就是定义在非空数集 A， B 上的映射，此时称数集 A 为定义域，象集 C=f(x)|x A为值域。 3函数的三要素：定义域，值域，对应法则 . 从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。 4 函数定义域的求法： 分母不为 0； 偶次根式中被开方数不小于 0； 对数的真数大于 0，底数大于零且不等于 1； 零指
14、数幂的底数不等于零； 5 函数值域的求法： 配方法 (二次或四次 )； 判别式法； 反函数法（反解法）； 换元法（代数换元法）； 不等式法； 单调函数法 . 常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数 ),0( Rxkbkxy 的值域为 R; 二次函数 ),0(2 Rxacbxaxy 当 0a 时值域是 24 , )4ac ba ,当 0a 时值域是 ( , abac44 2 ； 反比例函数 )0,0( xkxky的值域为 0| yy ； 指数函数 ),1,0( Rxaaay x 且 的值域为 R ； 对数函数 xy alog )0,1,0( xaa 且 的值域为 R； 函数 s i
15、n , c o s ( )y x y x x R 的值域为 -1， 1； 函数 2kx,tan xy , cot x y ),( Zkkx 的值域为 R； 二、 课前练习 1.若 4,3,2,1A ， , cbaB ,则 A 到 B 的映射有 34 个， B 到 A 的映射有 43 个；若 3,2,1A ， , cbaB , 则 A 到 B 的一一映射有 6 个。 2. 设集合 A 和集合 B 都是自然数集合 N，映射 BAf : 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 nn2 ，则在映射 f 下，象 20 的原象是 4 3.已知扇形的周长为 20，半径为 r ，扇形面积为 S ，
16、则 )(rfS -r2 -20r；定义域为 0 23 变式 1： 函数 )13lg (13)(2 xxxxf的定义域是 )1,31( 变式 2： 设 xxxf 22lg ，则 xfxf 22的定义域为 4,11,4 函数值域 观察法 (用非负数的性质 ) 例 1 求下列函数的值域： y=-3x2+2;y|y 2 变式： y=5+2 1x (x -1).y|y 5 配方法 例 2 求 值域： y= 2 1xx 变式 y= 2 1xx x 3,1 高考艺术生数学复习资料 7 变式 求函数 y=342 52 xx的值域 . 换元法 例 3.求函数 xxy 142 的值域 . 4, 变式 求函数 y=
17、3x- x21 的值域 .y|y 23 分离常数法 对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域 例 4 求下列函数的值域： y= 12xx (y|y 1 ) 变式、 y= 1122xx . -1,1 利用判别式 特殊地，对于可以化为关于 x 的二次方程 a(y)x2+b(y)x+c(y)=0 的函数 y=f(x)，可利用0 ( ) 0 ,a y y x 且 求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值 例 5 求函数 y = 432x x的最值 - 43,43 变式： 22221xxy xx ； 1,5 函数解析式 一、 换元 法 ，拼凑法 ： 例 1：设 23)1( 2
18、xxxf ，求 )(xf . 变式 11)11(2 xxf，求 )(xf . 二、待定系数法： 高考艺术生数学复习资料 8 例 2： 已知 ()fx是一次函数，且满足 3 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 1 7f x f x x ，求 ()fx； 变式设二次函数 y=f（ x）的最小值等于 4，且 f（ 0） =f(2)=6,求 f（ x）的解析式 三、 利用对称性 ： 例 3： 已知函数 y=x2 +x 与 y=g（ x）关于点（ -2， 3）对称，求 g（ x）的解析式 四、 实战训练 1、（ 07 陕西文 2）函数 21lg)( xxf 的定义域为 （ -1， 1） 2、（ 07 山东文
19、 13）设函数 1()fx 1 122 23( ) ( ) ,x f x x f x x， ，则 1 2 3( ( (2007)f f f 1/2007 3、（ 07 北京文 14）已知函数 ()fx， ()gx 分别由下表给出 则 (1)fg 的值为 1 ；当 ( ) 2g f x 时， x 1 4、（ 07 上海理 1）函数 lg 4 3xfx x 的定义域为 x|x4 且 x 3 5、 (07浙江文 11)函数 22 1xy x Rx的值域是 _ 1,0 _ 6（ 08 北京模拟）若函数 4221 2 xxy 的定义域、值域都是闭区间 2， 2b，则 b 的 为 2 。 7 （ 08 北
20、京模拟 ） 对于任意实数 a ， b ，定义 , ,m in , , .a a bab b a b 设函数 2( ) 3 , ( ) lo gf x x g x x ， 则 函 数 ( ) m in ( ), ( )h x f x g x 的最大值是_1_ . x 1 2 3 ()fx 2 1 1 x 1 2 3 ()gx 3 2 1 高考艺术生数学复习资料 9 三、导 数 求导法则： (c)/=0 这里 c 是常数。即常数的导数值为。 (xn)/=nxn 1 特别地： (x)/=1 (x 1)/= (x1 )/= x-2 (f(x)g(x)/= f/(x)g/(x) (kf(x)/= kf/
21、(x) 导数的几何物理意义： k f/(x0)表示过曲线 y=f(x)上的点 P(x0,f(x0)的切线的斜率。 V s/(t) 表示即时速度。 a=v/(t) 表示加速度。 导数的应用： 求切线的斜率。 导数与函数的单调性的关系 0)( xf 与 )(xf 为增函数的关系。 0)( xf 能推出 )(xf 为增函数，但反之不一定。如函数 3)( xxf 在 ),( 上单调递增，但 0)( xf ， 0)( xf 是 )(xf 为增函数的充分不必要条件。 (二 ) 0)( xf 与 )(xf 为增函数的关系。 )(xf 为增函数，一定可以推出 0)( xf ，但反之不一定，因为 0)( xf
22、，即为0)( xf 或 0)( xf 。当函数在某个区间内恒有 0)( xf ，则 )(xf 为常数，函数不具有单调性。 0)( xf 是 )(xf 为增函数的必要不充分条件。 （三）单调区间的求解过程，已知 )(xfy （ 1）分析 )(xfy 的定义域 ;（ 2）求导数 )(xfy （ 3）解不等式 0)( xf ，解集在定义域内的部分为增区间（ 4）解不等式 0)( xf ，解集在定义域内的部分为减区间。 求极值、求最值。 注意：极值 最值。函数 f(x)在区间 a,b上的最大值为极大值和 f(a) 、 f(b)中最大的一个。最小值为极小值和 f(a) 、 f(b)中最小的一个。 课本题
23、 P70 练习 4（ 1）（ 2）（ 3） P71 习题 9， 10， 11， 12； P78 习题 8， 9 P83 练习 1， 2， 3； P84 习题 5； P88 复习题 7， 9 高考艺术生数学复习资料 10 高考题： 1.设曲线 11xy x 在点 (32)， 处的切线与直线 10ax y 垂直，则 a -2 2.若 21( ) l n ( 2 )2f x x b x 在 ( - 1 , + )上是减函数，则 b 的取值范围是 ( , 1 3.设曲线 axye 在点 (01)， 处的切线与直线 2 1 0xy 垂直，则 a 2 4.（江苏卷 8）直线 12y x b是曲线 ln 0
24、y x x的一条切线，则实数 b ln2 1 5 已知函数 32( ) 1f x x a x x ， aR （ ）讨论函数 ()fx的单调区间； （ ）设函数 ()fx在区间 2133，内是减函数，求 a 的取值范围 解：（ 1） 32( ) 1f x x a x x 求导： 2( ) 3 2 1f x x a x 当 2 3a 时， 0 ， ( ) 0fx ， ()fx在 R 上递增 当 2 3a ， ( ) 0fx 求得两根为 2 33aax 即 ()fx在 2 33aa ，递增， 223333a a a a ，递减， 2 33aa ，递增 （ 2）2232333133aaaa ，且 2 3a 解得： 74a
