1、3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 第二章 基本初等函数（） 一、课标要求： 教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题 . 1. 了解指数函数模型的实际背景 . 2. 理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 . 3. 理解指数函数的概念和意义，掌握 f(x)=ax的符号、意义，能借
2、助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（ 单调性、值域、特别点） . 4. 通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型 . 5. 理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用 . 6. 通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握 f(x)=logax 符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点） . 7. 知道指数 函
3、数 y=ax与对数函数 y=logax 互为反函数（ a 0, a 1），初步了解反函数的概念和 f- -1(x)的意义 . 8. 通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 131 2, , ,y x y x y x y x 的图象，了解它们的变化情况 . 二、编写意图与教学建议： 1. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望 . 教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设 . 2. 在学习对数函 数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函
4、数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想 . 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用 . 3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展 . 4. 教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担 . 5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象 ,使学生进一步体会到信息技术在
5、数学学习中的作用 ,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 . 6. 教材安排了“阅读与思考”的内容 ,有利于加强数学文化的教育 ,应指导学生认真研读 . 三、教学内容与课时安排的建议 本章教学时间约为 14 课时 . 2.1 指数函数： 6 课时 2.2 对数函数： 6 课时 2.3 幂函数： 1 课时 小结： 1 课时 3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 2.1.1 指数（ 第 1 2 课时） 一教学目标： 1知识与技能： （ 1）理解分数指数幂和根式的概念； （ 2）掌握分数
6、指数幂和根式之间的互化； （ 3）掌握分数指数幂的运算性质； （ 4）培养学生观察分析、抽象等的能力 . 2过程与方法： 通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质 . 3情态与价值 （ 1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想； （ 2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯； （ 3）让学生体验数学的简洁美和统一美 . 二 重点、难点 1教学重点：（ 1）分数指数幂和根式概念的理解； （ 2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2教学难点：分数指数幂及根式概念的理解 三学法与教具 1学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法 2教具：多媒体
7、 四、教学设想： 第一课时 一、 复习提问： 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？ 归纳：在初中的时候我们已经知道：若 2xa ，则 x 叫做 a 的平 方根 .同理，若 3xa ，则 x 叫做 a 的立方根 . 根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如 4 的平方根为 2 ，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如 8 的立方根为 2；零的平方根、立方根均为零 . 二、新课讲解 类比平方根、立方根的概念，归纳出 n 次方根的概念 . n 次方根：一般地，若 nxa ，则 x 叫做 a 的 n 次方根（ throot），其中 n 1，且 n
8、,当 n 为偶数时， a 的 n 次方根中，正数用 na 表示，如果是负数，用 na 表示， na叫做根式 .n 为奇数时， a 的 n 次方根用符号 na 表示，其中 n 称为根指数， a 为被开方数 . 类比平方根、立方根，猜想：当 n 为偶数时，一个数的 n 次方根有多少个？当 n 为奇3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 数时呢？ nnn a n aan a n a为 奇 数 , 的 次 方 根 有 一 个 , 为为 正 数 :为 偶 数 , 的 次 方 根 有 两 个
9、 , 为nn a n aan a n 为 奇 数 , 的 次 方 根 只 有 一 个 , 为为 负 数 : 为 偶 数 , 的 次 方 根 不 存 在 .零的 n 次方根为零，记为 00n 举例： 16 的次方根为 2 ， 52 7 5 2 7的 次方根为 等等，而 27 的 4 次方根不存在 . 小结：一个数到底有没有 n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清 n 为奇数和偶数两种情况 . 根据 n 次方 根的意义，可得： ()nn aa ()nn aa 肯定成立， n na 表示 an 的 n 次方根，等式 n naa 一定成立吗？如果不一定成立，那么 n na 等于
10、什么？ 让学生注意讨论， n 为奇偶数和 a 的符号，充分让学生分组讨论 . 通过探究得到： n 为奇数， n naa n 为 偶数 , ,0|,0n n aaaa aa 如 3433 4( 3 ) 27 3 , ( 8 ) | 8 | 8 小结：当 n 为偶数时， n na 化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误： 例题：求下列各式的值 （ 1） 33(1) ( 8) 2(2) ( 10) 44(3) (3 ) 2(4) ( )ab 分析：当 n 为偶数时，应先写 |n naa ，然后再去绝对值 . 思考： ()n nnnaa 是否成立，举例说明 . 3eud 教育
11、网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 课堂练习： 1. 求出下列各式的值 47 3 473( 1 ) ( 2) ( 2) ( 3 3 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 3 3 )a a a 2若 2 2 1 1 ,a a a a 求 的取值范围. 3计算 3 4 333 4( 8 ) ( 3 2 ) ( 2 3 ) 三归纳小结： 1根式的概念：若 n 1 且 *nN ，则 n,x a x an是 的 次 方 根 ,n 为 奇 数 时 ,= n 为偶数时， nxa ； 2掌握两个公式： ( 0
12、), | |( 0 )nnn aan a n a a aa n为 奇 数 时 , ( ) 为 偶 数 时 ,3作业： P69习题 2.1 A 组 第 1 题 第二课时 提问： 1习初中时的整数指数幂，运算性质？ 00, 1 ( 0 ) , 0na a a a a a a 无 意 义 1 ( 0)n naaa ; ( )m n m n m n m na a a a a ( ) , ( )n m m n n n na a a b a b 什么叫实数？ 有理数，无理数统称实数 . 2观察以下式子，并总结出规律： a 0 105 1 0 2 5 25 5()a a a a 88 4 2 4 2()a
13、a a a 121 2 3 4 34 4 4()a a a a 5 105 1 0 2 5 2 5()a a a 小结：当根式的被开方数的 指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式） . 根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式 .如： 3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 23 2 3 ( 0)a a a 12 ( 0)b b b 554 4 ( 0)c c c 即： *( 0 , , 1 )mn m na a a n
14、 N n 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为： *( 0 , , )m n mna a a m n N 正数的定负分数指数幂的意义与负整数 幂的意义相同 . 即： *1 ( 0 , , )mn mna a m n Na 规定： 0 的正分数指数幂等于 0， 0 的负分数指数幂无意义 . 说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是 1 1 1 ( 0 )nm m m ma a a a a 由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： （ 1） ( 0 , , )r s
15、 r sa a a a r s Q （ 2） ( ) ( 0 , , )r S r sa a a r s Q （ 3） ( ) ( 0 , 0 , )r r ra b a b Q b r Q 若 a 0， P 是一个无理数，则 P 该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本 P62 P62. 即： 2 的不足近似值，从由小于 2 的方向逼近 2 ， 2 的过剩近似值从大于 2的方向逼近 2 . 所以，当 2 不足近似值从小于 2 的方向逼近时， 25 的近似值从小于 25 的方向逼近 25 . 当 2 的过剩似值从 大于 2 的方向逼近 2 时， 25 的近似值从大于 25 的方向逼近3
16、eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 25 ， (如课本图所示 ) 所以， 25 是一个确定的实数 . 一般来说，无理数指数幂 ( 0 , )pa a p 是 一 个 无 理 数是一个确定的实数，有理 数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂 .无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小 . 思考： 32 的含义是什么？ 由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即： ( 0 ,
17、, )r s r sa a a a r R s R ( ) ( 0 , , )r s r sa a a r R s R ( ) ( 0 , )r r ra b a b a r R 3例题 （ 1）（ P60，例 2）求值 解： 2 2 23323 3 38 ( 2 ) 2 2 4 1 1 12 ( )212 2 2 12 5 ( 5 ) 5 5 5 5 1 5 1 ( 5 )1( ) ( 2 ) 2 3 22 334 ( ) 3441 6 2 2 2 7( ) ( ) ( )8 1 3 3 8 （ 2）（ P60，例 3）用分数指数幂的形式表或下列各式（ a 0） 解： 1 1 7333 2
18、2 2.a a a a a a 2 2 8232 2 2 3 3 3a a a a a a 3 1 4 4 213 3 3 32()a a a a a a a 分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算 . 课堂练习： P63练习 第 1， 2， 3， 4 题 3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 补充练习： 1. 计算： 1 2 2 121(2 ) ( )248nnn 的结果 2. 若 1 310 73 10 3 33 , 384 , ( ) naa a a a 求 的
19、 值小结： 1分数指数是根式的另一种写法 . 2无理数指数幂表示一个确定的实数 . 3掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的 . 作业： P69 习题 2.1 第 2 题 第 三课时 一教学目标 1知识与技能： （ 1）掌握根式与分数指数幂互化； （ 2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值 . 2过程与方法： 通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质 . 3情感、态度、价值观 （ 1）培养学生观察、分析问题的能力； （ 2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力 . 二重点、难点 ： 1重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值 . 2难点：有理指数幂性质的灵活应
20、用 . 三学法与教具： 1学法：讲授法、讨论法 . 2教具：投影仪 四教学设想 ： 1复习分数指数幂 的概念与其性质 2例题讲解 例 1（ P60，例 4）计算下列各式（式中字母都是正数） （ 1） 2 1 1 5113 3 6 622( 2 ) ( 6 ) ( 3 )a b a b a b （ 2） 31 884()mn （先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答） 3eud 教育网 http:/ 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号
21、的先算括号的 . 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序 . 我们看到（ 1）小题是单项式的乘除运算；（ 2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计 算呢？ 其实，第（ 1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行 . 第（ 2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算 . 解：（ 1）原式 = 2 1 1 1 1 53 2 6 2 3 6 2 ( 6 ) ( 3 ) ab = 04ab =4a （ 2）原式 = 31 8884( ) ( )mn = 23mn 例 2（ P61 例 5）计算下列各式 （ 1） 3 4( 25
22、125 ) 25 （ 2） 23 2 (.a aaa 0） 分析：在第（ 1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（ 2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算 . 解：（ 1）原式 = 1 113 24(25 125 ) 25 = 2 313 22(5 5 ) 5 = 21 3132 2255 = 1655 = 655 （ 2）原式 = 1 2 52 2 6 52 3 621 32a a a aaa 小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，3eud 教育网 http:/ 百万教学
23、资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 3eud 教育网 http:/ 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ 也不能既有分母，又含有负指数 . 课堂练习： 化简： （ 1） 52 93 223 2( 9 ) ( 1 0 ) 1 0 0 （ 2） 3 2 2 3 2 2 （ 3） a a aa 归纳小结： 1 熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础 . 2含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算 . 作业： P65 习题 2.1 A 组 第 4 题 B 组 第 2 题 2.1.2 指数函数及其性质（ 2 个课时） 一 . 教学目标： 1知识与技能 通过实际问题了解指数函数的实际背景； 理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的 性质 . 体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2情感、态度、价值观 让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理 . 培养学生观察问题，分析问题的能力 . 3过程与方法 展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质 . 二重、难点 重点：指数函数的概念和性质及其应用 . 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用 . 三、学法与教具： 学法：观察法、讲授法及讨论法 . 教具：多媒体 .
