1、第 1 页 共 13 页上海高二数学解析几何经典例题 轨迹方程1、已知反比例函数 的图像 是以 轴与 轴为渐近线的等轴双曲线xy1Cxy（1）求双曲线 的顶点坐标与焦点坐标；（2）设 、 为双曲线 的两个顶点，点 、 是双曲线 上不同的两个动点求1A2 ),(0M),(0xyNC直线 与 交点的轨迹 的方程；MNE（3）设直线 过点 ，且与双曲线 交于 、 两点，与 轴交于点 当l)4,0(PABQ，且 时，求点 的坐标QB21821Q第 2 页 共 13 页面积2、在平面直角坐标系 内，动点 到定点 的距离与 到定直线 的距离之比为 xOyP)0,1(FP4x21（1）求动点 的轨迹 的方程
2、；PC（2）若轨迹 上的动点 到定点 （ ）的距离的最小值为 ，求 的值N),(mM21m（3）设点 、 是轨迹 上两个动点，直线 、 与轨迹 的另一交点分别为 、 ，且直线ABOABCA1B、 的斜率之积等于 ，问四边形 的面积 是否为定值？请说明理由O431S第 3 页 共 13 页定点3、动点 与点 的距离和它到直线 的距离相等，记点 的轨迹为曲线 P(0,1)F:l1yPC(1) 求曲线 的方程；C(2) 设点 2 ,动点 在曲线 上运动时， 的最短距离为 ，求 的值以及取到最小,(Aa)TCAT1a值时点 的坐标；T(3) 设 为曲线 的任意两点，满足 ( 为原点) ，试问直线 是否
3、恒过一个定点？如21,P21OP21P果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由第 4 页 共 13 页定值4、已知椭圆 的右焦点为 ，且点 在椭圆 上2:1(0)xyCab1,0F3(1,)2PC（1）求椭圆 的标准方程；（2）过椭圆 上异于其顶点的任意一点 作圆 的两条切线，切点分别为21:53xyabQ24:3Oxy不在坐标轴上） ，若直线 在 轴， 轴上的截距分别为 证明： 为定值；,(MNMNxy,mn21n（3）若 是椭圆 上不同的两点， 轴，圆 过 且椭圆 上任意一点都不12,P2:1xyCab12PxE12,P2C在圆 内，则称圆 为该椭圆的一个内切圆. 试问：椭圆 是否存在过左焦
4、点 的内切圆？若存在，求出E 2C1F圆心 的坐标；若不存在，请说明理由第 5 页 共 13 页新定义5、曲线 是平面内到直线 和直线 的距离之积等于常数 的点的轨迹，设曲线C1:lx2:1ly2(0)k的轨迹方程 (,)0fxy（1）求曲线 的方程 ；,f（2）定义：若存在圆 使得曲线 上的每一点都落在圆 外或圆 上，则称圆 为 曲线M(,)0fxyMM的收敛圆判断曲线 是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说(,)0fxy明理由第 6 页 共 13 页轨迹方程1、已知反比例函数 的图像 是以 轴与 轴为渐近线的等轴双曲线xy1Cxy（1）求双曲线 的顶点坐标与焦点坐标；（2）
5、设 、 为双曲线 的两个顶点，点 、 是双曲线 上不同的两个动点求1A2 ),(0M),(0xyNC直线 与 交点的轨迹 的方程；MNE（3）设直线 过点 ，且与双曲线 交于 、 两点，与 轴交于点 当l)4,0(PABQ，且 时，求点 的坐标QB21821Q解：（1）顶点： 、 ， 焦点： 、 为焦点,A)2,(1F)2,(F（2）解一： ： ， ： -2 分A1 )(0xyN2 10xy两式相乘，得 将 代入上式，得 ，即12 xy )1(22xy 2x即直线 与 交点的轨迹 的方程为 （ ） -1 分MA1N2E22yx1x解二：联立直线方程，解得 .,0yx，即 ，化简，得 01xy1
6、2y22yx所以，直线 与 交点的轨迹 的方程为 （ ） MA1N2E1（3）直线 斜率不存在或为 0 时显然不满足条件； l设直线 ： ， ， ，则4kxy),(1y),(2yxB)0,4(kQ将 代入 ，得 ， ， 042kx21kx21， ， QAP21 1 , yyk，即 ， 解得 ， 842121kx )4(8)( 212xx 2)0,(Q解二：将 代入 ，得 ， ， y042ky 41yky21QBAP21 2211 , ykxxk， ， 4y1y2y又 ， ，即 821211， )(k)0,(Q第 7 页 共 13 页面积2、在平面直角坐标系 内，动点 到定点 的距离与 到定直线
7、 的距离之比为 xOyP)0,1(FP4x21（1）求动点 的轨迹 的方程；PC（2）若轨迹 上的动点 到定点 （ ）的距离的最小值为 ，求 的值N),(mM21m（3）设点 、 是轨迹 上两个动点，直线 、 与轨迹 的另一交点分别为 、 ，且直线ABOABCA1B、 的斜率之积等于 ，问四边形 的面积 是否为定值？请说明理由O431S（1）设 ，由题意， ，化简得 ， ),(yxP2|)1(2xy12432yx所以，动点 的轨迹 的方程为 C342（2）设 ，则),(yxN 32413)()(| 22222 mxxmxyxM， 134122m当 ，即 时，当 时， 取最小值 ，00x42|M
8、N1)(32解得 ， ，此时 ，故舍去 326236当 ，即 时，当 时， 取最小值 ，解得 ，或 （舍）4m21x2| 142m3m 综上， （3）解法一：设 ， ，则由 ，得 ， （1 分）),(1yxA),(2yxB43OBAk4321xy，因为点 、 在椭圆 上，所以 ， ，2121)()(|B C211 42xy所以， ，化简得 212169yx)4(921x421x当 时，则四边形 为矩形， ，则 ，211BA12y32由 ，得 ，解得 ， ， 43121xy43121x2121 |4| 11yxBAS 3当 时，直线 的方向向量为 ，直线 的方程为21AB),(1212yxd第
9、8 页 共 13 页，原点 到直线 的距离为0)()( 2121212 yxyxy OAB2121)()(|yxd所以， 的面积 ， 根据椭圆的对称性，四边形 的面积AOB| 121yxdABSAO BA， 所以，S4|2121yx )2(4)(4 21112 yxS，所以 8133 2211 xxx 3S所以，四边形 的面积为定值 1BA4解法二：设 ， ，则 ， ，由 ，得 ，),(yx),(2yx),(11yxA),(2yxB43OBAk4321xy因为点 、 在椭圆 上，所以 ， ，ABC432121y432y所以， ，化简得 212169yx)(4921x21x直线 的方程为 ，点
10、到直线 的距离 ，O0xBOA21|yd 的面积 ， 根据椭圆的对称性，四边形 的面积1AB|21121yxdASAB 1BA， 所以， 12S|1yx )2(4)(4 211121 yxyxS ，所以 8123243 221 xxx 3S解法三：设 ， ，则 ， 由 ，得 ， ),(1yA),(2yB),(11yA),(2yB4OBAk4321xy因为点 、 在椭圆 上，所以 ， ，所以，C432121x432x212169x，化简得 的面积 ，根)4(921x21x1AB1211yxSAB |12yx据椭圆的对称性，四边形 的面积 ， 所以，所以，1BA1ABS|212yx)2(4)(42
11、21212 yxyxyxS 第 9 页 共 13 页，所以 48)(12432413 2212 xxxx 34S第 10 页 共 13 页定点3、动点 与点 的距离和它到直线 的距离相等，记点 的轨迹为曲线 P(0,1)F:l1yPC(1) 求曲线 的方程；C(2) 设点 2 ,动点 在曲线 上运动时， 的最短距离为 ，求 的值以及取到最小,(Aa)TCAT1a值时点 的坐标；T(3) 设 为曲线 的任意两点，满足 ( 为原点) ，试问直线 是否恒过一个定点？如21,P21OP21P果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由22 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分
12、，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6分(1) 根据抛物线的定义可知, 动点 的轨迹是抛物线 所以曲线 C 的方程为 x2=4y；P(2) 设点 T(x0, y0), x02=4y0 (y0 0)，|AT |= = ，2020)()(ayx4)(0aya20，则当 y0=a2 时，| AT|取得最小值为 2 ， 2 =a1, a26a+5=0，a=5 或 a=1 (舍去)， 1所以 y0=a2=3，x 0=2 ， 所以 T 坐标为( 2 , 3)； 33(3) 显然直线 OP1、OP 2 的斜率都必须存在，记为 k， ，解之得 P1( , )，同理 P2(4k, 4k2)，yxk42k42直线 P1P2 的斜率为 ，直线 P1P2 方程为： )4(122kxy整理得：k(y4)+(k 21)x=0，所以 直线 P1P2 恒过点(0, 4)16 分
