1、 Page 1 of 19高数试题 2008.7一、选择题（本大题 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）1.设直线 ， 则 l1 与 l2 的夹角为 .172:1xyzl26,:3xylz（A） ；（B） ；（C） ；（D） .2342.函数 z = xe 2y 在点 P(1, 0)出沿从 P(1, 0)到 Q(2, 1)方向的方向导数为 .3();();();().23.函数 在(0, 0) 点 .221sin,0,(,)0xyxyf(A) 偏导数连续；( B) 偏导数不存在； ( C)偏导数存在但不可微； ( D)可微但偏导数不连续。4.积分 .120xdyd。1()()()()342
2、4CD5.设 是由 x2 + y2 + z2 = 1 所围成的区域，则三重积分 .|zedv3()()()().AB； ； ；二、填空题（本大题 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）1.过点(0，2，4)且与两平面 x + 2z = 1 和 y 3z = 2 都平行的直线方程是2.设 则2,:3,xyzdsA3. 满足微分方程初值问题 的解为 20(1) xxyey4.设 z = ln(1 + x2 + y2), 则 (1,2)dz三、 （9 分）求微分方程 的通解4cosx四、 （9 分）求函数 f (x, y) = xy 在闭区域 x2 + y2 1 上的最大值和最小值。.五、 （9
3、分）某物体的边界由曲面 z = x2 + y2 和平面 z = 0, |x| = a，|y| = a 围成, 其密度函数为 = x2 + y2, 求该物体的质量.六、 （9 分）设直线 在平面 上，而平面 与曲面 z = x2 + y2 相切于(1, 2, 5)，求 a, b 的0,:3bLxaz值。.Page 2 of 19七、 （9 分）计算曲面积分 333()()()xyzdxyzdxyzdx其中为由圆锥面 x2 + y2 = z2 与上半球面 x2 + y2 + z2 = R2 (R 0)围成曲面的外侧.八、 （8 分）设函数 Q(x, y)在 xOy 平面上具有一阶连续偏导数，第二类
4、曲线积分 与路径无2(,)LyQxdy关，且对任意 t，有 ，求 Q(x, y).,1 (1,)(0) 0(,)(,)t tddxy九、 （6 分）设当 时，可微函数 满足xf， .01()()xfft()1f1. 求 ；()fx2. 证明：当 时， 0()xfe答案 一、1.B；2.A ；3.D；4.C；5.D.二、1. ；2. ；3. 2431xyz23dzxy；4. ；tan(1)4xye10()23nnx三、 .四、 .五、 , 六、a = 5, b = 2.12cosicosi9Cxmaxin1,2ff6245七、 .八、Q(x, y ) = x2 + 2y 1.59(2)R高数试题
5、 2009.7一、选择题（本大题 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1. 函数 在 处可微的充分条件是 (,)zfxy0,)(A) 在点 处连续； ,f(B) 在点 处存在偏导数；()xy0(,)(C) ， ； 00lim(,)xyzffx22()xy(D) .00(,)li2. 圆心在原点半径分别为 和 的 的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为 )关于原点的转动惯Rr) Page 3 of 19量为 . (A) ； (B) ；4()Rr41()2Rr(C) ； (D) .163. 微分方程 的特解形式为（ ）xey325(A) ； （B ） ；xxcebay32)(* xxecba
6、ey32)(*（C） ； (D) x32)( xx32)(4. 设 是由球面 所围成的闭区域，则 = 2(0)yza22yzdv(A) ； (B) ； (C) ； (D) .43a44412a二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共计 24 分）1. 已知 ， ， ，则 2b72abab2函数 在点 处的梯度为 ),(yxfyx)1,(3. 已知曲线 为连接 和 两点的直线段，则曲线积分 = (1,) (23)xyzds4. 由曲面 与曲面 所围立体的体积为 243zxy2zxy5. 设 为平面 在第一卦限中的部分，则 = 1z 4(2)3zxydS6. 以 y1 = cos2x, y
7、2 = sin2x 为特解的常系数齐次线性微分方程为三、计算下列各题 （本题共 5 小题，每小题 6 分，共计 30 分）1求点 到直线 的距离.0(,)P7231yz2已知一平面通过球面 x2 + y2 +z2 = 4(x 2y 2z)的中心, 且垂直于直线 L: , 求（1）该平面的方程；0xyz（2）该平面与球面的交线在 xOy 平面上的投影。3设函数 具有二阶连续的偏导数， 求 .f ),(yxfuu24计算二重积分 ，其中 是由两条抛物线 ， 所围成的闭区域.Dxyd x2y5 求解微分方程的初值问题： 2(1)0,( xy四、 (8 分)计算积分 , 是抛物线 z = x2 + y
8、2 被 z = 4 割下的有限部分的222(cossco)I zdSPage 4 of 19下侧, cos , cos , cos是上各点法线方向余弦.五、(8 分) 设 f (x) 为连续可微函数，且 ，对任一闭曲线 有 。求曲线积分(1)2fL34()0xydfyA的值.其中 是圆周 上由 经 到 的一段弧.34LxydyAL)yx(2,0),D2,4B六、(8 分) 经过点 作一平面,使该平面在第一卦限内与 3 个坐标面所围成的四面体的体积最小,求该平面1(2)3P方程.七、(6 分) 设函数 f (x)在1, +)上连续，由曲线 y = f (x),直线 x = 1, x = t (t
9、 1)与 x 轴所围成平面图形绕 x 轴旋转一周形成旋转体的体积为，2(13Vtft又已知 ，求 f (x).(2)9f答案 一、1.D；2.B；3.A；4.C.二、1.30；2.(1, 1)；3.9 ；4.2；5. ；6. y + 4y = 0. .361三、1. ; 2.y + z = 0, ; 3.f1 + xf11 + (x + y)f12 + f22 ; 4. ; 5. y = x3 + 3x + 1.四、324600.xyx 5.五、68, 六、 .七 .641633x高数试题 2010.7一、选择题（本大题 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）1. 函数 在闭区域(x 1)
10、2 + y2 1 上的最小值为 22)(),(yxf(A)0； (B)1； (C) 2； (D) 3。2. 设函数 f (x, y)连续，则二次积分 . ydxf01),(A) ； (B) ； (C) ； (D) .10yd0 10),(xdyfxdyf01),(3. 设 为平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所围成的闭区域，则 = vz(A) ； (B) ； (C) ； (D) .618214. 设 y1 , y2 是二阶线性方程 y + P(x)y + Q(x)y = 0 的两个解， 那么 y = C1y1 + C2y2 (C1, C2 是任意常数)是该方程通解的充分必要条件是
11、Page 5 of 19(A) ； (B) ； (C) ； (D) 1210y1210y1210y1210y二、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共计 20 分）1. 已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 |a|bab|ba2设是由曲面 与 z = 0 围成的立体，则的形心坐标为 21yxz3. 设曲线 为连接 和(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分 = (,) dszyx)(4. 设为锥面 被平面 z = 1 截下的有限部分，则曲面积分 2yxz S5. 若方程 y + y tanx = 2cos2x 有一个特解 y = f (x), 且 f (0) = 0, 则 0()limxf三、
12、计算下列各题 （本题共 5 小题，每小题 7 分，共计 30 分）1求过点 且与两平面 x 4z = 3 和 2x y 5z = 1 的交线垂直的平面方程.),23(M2求函数 u = x2 + 3yz 在点(1, 1, 1)处沿椭球面 x2 + 2y2 + 3z2 = 6 在该点的外法线方向的方向导数。3计算二重积分 ，其中 是由 y = x 4 与 y2 = 2x 所围成的闭区域.Dyd4如果 y = f (x)满足 ，且 f (1) = 1, 求 f (x)21()xo5若 (x)连续，且满足方程 ，(1) 写出与该方程等价的二阶微分方程初值00)exxtdt问题；(2)求 (x).四、
13、 (8 分)一质点在力 的作用下，由点 O(0, 0)沿上半圆 移到点jyxiyF)sin()(22 2xyA(1, 1)，求力 所作的功.五、(8 分) 计算曲面积分 ，其中 是由抛物面 3z =x2 + y2 和球面dzxd所围成立体的表面外侧.24yxz六、(8 分) 设函数 f (x, y)有二阶连续偏导数，满足 ，且存在一元函数 h(u)，使 ，02yxf )(),2yxhyf求 f (x, y).七、(5 分) 设 F(x, y) = (f 1(x, y), f 2(x, y)是(x 0, y0)某邻域内定义的向量函数，定义 ),(|)| 221yxff为(f 1(x, y), f
14、 2(x, y)的模， 如果 ，)(|),(),(| 2000 yxoyDxCBAFF 其中 A, B, C, D 是与 x, y 无关而仅与 x0, y0 有关， 是 的高阶无穷小，则称 F(x, y)在)(2yxo2(x0, y0)点可微，记为 ),(|),(),(0 DCBAdyx Page 6 of 19设 ，求 。),(arctn), 2yxyxF)1,(|yxdF答案 一、1.A；2.C；3.B；4.D .二、1. ；2. ；3. ；4. ；5. 2.583463三、1. 4x + 3y + z +1= 0; 2. ; 3.18 ; 4. ; 5.1472x四、 . 五、 . 六、
15、 . 2sin1679221)(Cy七、 .),(yx高数试题 2011.07.14一、选择题1设 ，则函数在原点偏导数存在的情况是 .),(yxf42（A） ， 都存在 （B） 不存在， 存在0),(f )0,(xf )0,(yf（C） 存在， 不存在 （D） ， 都不存在),(xf0y2设平面 的法向量为 ，直线 L 的方向向量为 ，则 是平面 与直线),(CAn ),(pnmspCnBAL 的垂直的 .(A)充要条件； (B)充分条件； (C)必要条件； (D)无关条件.3设 是球面 x2 + y2 + z2 = R2，则下列结果正确的是 .(A) ； (B) ； 0)(dS34RdS(
16、C) ； (D) .22zyx 422)(dSzyx4 5设曲线 （ 具有一阶连续偏导数） ，过第象限内的点 和第象限内的点 ， 为1),(:fL),(yxf MNT上从点 到点 的一段弧，则下列小于零的是 .MN（A） （B）Tdxyf),( Tdyxf),(（C） （D）s yxfyx),(二、填空题1设 ， ， ，则 在 上的投影为 3|a1|b6),(aba2.交换积分次序 为 221,xdyfd 210),(ydxfdPage 7 of 193. 设正向闭曲线 L 的方程为 ，则 = 1|yxLdsyx2|14. 5设函数 由方程 所确定，其中 有连续导数，则 ),(yxz)(bzy
17、azx)(uyzbxa三、计算题1. 设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求 。yxeufz),(f yxz22. 求曲面 的与直线 垂直的切平面。2x21zy3.计算二重积分 ,其中 D 是由直线 , ， 所围成的平面区域.Ddxyxy104.求 ，是抛物面 被平面 z = 1 截下的有限部分，法向量 dxzzx)()()( 2yxz与 z 轴正向成锐角。5. 求解初值问题32,(1)y四、设球体占有闭区域 ，它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方，zyx2:2求球体对于 z 轴的转动惯量。五、(8 分)求抛物面 与平面 的交线（椭圆）到原点的最长距离和最短距离21zyx六、5设
18、 是非负连续函数，且 ，计算曲线积分(xf )(0df，式中 L 为沿 从点 到 的曲线段.Ldey)xy)0,(O),2(A七、求 的通解.32sinx答案一、1.B, 2.A, 3.D, 4.C, 5.B.二、1.2， 2. 2. , 3. , 4. 2 + 2, 5. 1。210)(ydxfd34三、1. ， 21fefxzy 23113212 fxeffefyz yyyy 2. 。 3. ， 4. 5. 2z544四、 。35Page 8 of 19五、曲线到原点的最长距离和最短距离分别为 和 21052105六、 23e七、 2131cosin0xxyCx高数试题 2012.07.1
19、2一、选择题1设 (x)为任意一个 x 的可微函数， (y) 为任意一个 y 的可微函数，若已知 ，则 F (x, y)是 .2fxy(A) f (x, y) + (x)； (B) f (x, y) + (y)； (C) f (x, y) + (x) + (y)； (D) f (x, y) + (x) (y). 2在曲线 x = t , y = t2, z = t3 的所有切线中，与平面 x + 2y + z = 4 平行的切线 .(A)只有 1 条； (B)只有 2 条； (C)至少 3 条； (D)不存在。 3设 f (x, y)是连续函数，D 是由 y = x2, y = 0, x =
20、1 所围的区域，且 f (x, y)满足恒等式(,)()Dffd则 f (x, y) = .(A)xy + 1； (B) ； (C) ； (D) 。 12x4xy8xy4二、填空题1过点(3, 1, 4)且与 y 轴相交，又与平面 y + 2z = 0 平行的直线方程为 _.2交换积分次序 为_. xx dyfdfd1201 ),(),(3设 L 为圆周 x = acost, y = asint (0 t 2), 则 = _. 23Ls4 三、计算下列各题1已知 ，其中 具有二阶连续偏导数，求 。yxefu,2f yxu2，2计算 ，是半球面 和旋转抛物面 围成的立体。(3)zdv 2zxy2
21、z3求平行于平面 6x + y + 6z + 5 = 0，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面方程。4求解初值问题 。0|,tkd5求 ，式中是平面 y + z = 5 被柱面 所截得的有限部分。()xyzS 25xyPage 9 of 19四、(8 分) 计算积分 ， 是柱面 x2 + y2 = a2 在 0 z h 部分外侧。32Ixdyzxzdy五、(8 分) 在抛物线 上求一点 使 在 处1:2 ),(00zM)1,(200yx0M的切平面与柱面 及三个坐标面在第一卦限的立体体积最大。21xy六、(8 分) 已知 L 是第一象限中从点(0, 0)沿圆周 x2 + y2 = 2
22、x 到点(2, 0), 再沿圆周 x2 + y2 = 4 到点(0, 2)的曲线段。计算曲线积分 。23()Ixydd七、(8 分) 八、(6 分) 设有一半径为 R 的球体，P 0 是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到 P0 距离成正比(比例常数 k 0)，求球体对于 P0 的转动惯量。答案：一、1D； 2B；3D；A二、1 ；2 ；32a 7；4148xyzydxfd210),(32三、1解 ，1exyuff。12xyffy21122212()ee()exyxyxyufffffx112224xyxyxyyffff2解 = 2(3)xzdvz= 210rzd= 42()= 。
23、713解 = ()xyzdS(5)xdS= 2 25(1)xy xy= 14解 设所求平面方程为 6x + y + 6z = D, 则|Page 10 of 19|D| = 6故所求平面方程为 6x + y + 6z = 6 或 6x + y + 6z = 6。5四、解 设 1： z = 0 (x2 + y2 a2)下侧；1：z = h (x2 + y2 a2)上侧12 123 32Idzdxydzyxzdy 22()0xyaxyah2203hxyadzdz222()xyahxyah340dr五、解 过 点的切平面方程为M2x0(x x0) + 2y0(y y0) (z z0) = 0即 12x立体的体积为200(2)DVxydy 1,0:2yxxD。)(134， ，002x0023yV故所求的点为 。(,)六、解 补充 L1：x = 0, y 从 2 到 0，由 L 和 L1 围成的平面区域记为 D，由格林公式1 12323()(2)Iddyxxyd02)Dxy42七、解 由题设 an an + 1，若 ，则交错级数 收敛，与题设矛盾，故lim0n1()na(l 0).lin
