1、11.排列的定义: 从 n 个不同元素中,任取 m 个元素,按照一定的顺序排成一列 ,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。2.组合的定义: 从 n 个不同元素中,任取 m 个元素,并成一组 ,叫做从 n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.分类记数原理（加法原理）：完成一件事，有 n 类办法，在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法，在第 2 类办法中有 m2 种不同的方法在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= m1+ m2 +.+ mn 种不同的方法.分步记数原理（乘法原理）：完成一件事需要 n 个步骤，做第 1 步有 m1 种不同的方法，做第
2、2 步有 m2 种不同的方法， 做第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N= m1 m2 . mn 种不同的方法.两个原理的区别：前者各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；后者每个步骤相互依存，只有每个步骤都完成了，这件事才算完成对前者的应用，如何分类是关键，如排数时有 0 没有 0，排位时的特殊位置等；后者一般体现在先选后排从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数例 1：7 种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆中，问有多少不同的种法？解一：分两步完成 第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置第二步排其余的位置：解二：
3、第一步由葵花去占位第二步由其余元素占位：小结：当排列或组合问题中,若某些元素或某些位置有特殊要求的时候，那么，一般先按排这些特殊元素或位置，然后再按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。例 2：要排一个有 5 个独唱节目和 3 个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排头，并且任何 2 个舞蹈节目不连排，则不同的排法有几种？解：5 个独唱节目的排法是 P55 舞蹈不排在头一个节目，又需任何两个舞蹈不连排,只要把舞蹈节目,插入独唱节目的 5 个空隙中即可,即舞蹈节目的排法是 P53,所以排法的种数为小结：当某几个元素要求不相邻时，可以先排没有条件限制的元素，再将要求不相邻的元素按要求插入
4、已排好元素的空隙之中，这种方法叫插入法。例 3 学生要从六门课中选学两门 :（1）有两门课时间冲突，不能同时学，有几种选法？ （2）有两门特别的课，至少选学其中的一门，有几种选法？(1) 解法一：解法二：(2)解法一：解法二：例 4 9 人排成一行，下列情形分别有多少种排法？甲不站排头，乙不站排尾；解法一：(分类法)解法二：(排除法)种 排 法有 24P种 排 法有 35P种 排 法有 4种 不 同 的 排 法共 有 435种 排 法有 5种 不 同 的 排 法共 有 244124C69214262870178A9mnCA2甲乙必须排在一起，丙丁不能排在一起；点评：小团体排列问题中，先整体后局
5、部，再结合不相邻问题的插空处理.甲、乙、丙从左到右排列；分成甲、乙、丙三组，甲组 4 人，乙组 3 人，丙组 2 人； 例 5 从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于 10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有_,只含有 1 个偶数的取法有_,和为偶数的取法共有_+_有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.例 6 设有编号 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5
6、的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？ 解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有_25C_种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应操作法，如果剩下 3,4,5 号球, 3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时，则 4,5 号球有只有 1 种装法,例 7（徐州二模）从 6 人中选 4 人组成 4100m 接力赛，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少种选法？分析：（一）直接法（二）间接法 =48（一）排列解排列问题，必须认真审题，明确问题是否是排列问题，那是否有序，抓住问题本质特征。1、特殊元素的“优先按排法” 。例
7、1、用 0、1、2、3、4 这五个数字，组成没有重复的三位数，其中偶数共有多少？（分析）由于三位数是偶数，故末尾数字必须是偶数，以“0”不能排在首位，所以“0”就是其中特殊元素，优先按排。按“0”在末尾和不在末尾分为两类。共A +A A A =3024132、相邻问题有“捆绑法” 。对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将先相邻的元素“捆绑”起来，作为一个“大”的元素，与其他元素排列，然后再对相邻元素的内部进行排列。例 2、7 人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人相邻有多少种不同的排法？（分析）先把甲乙丙三人“捆绑“看作一个元素，与其余 4 个元素进行排列再对甲、乙、丙三人进行排列。共 A A 种
8、。533、不相邻问题有“插空法” 。对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙间插入即可。例 3、7 人站成一排照相，要求甲、乙、丙三人不相邻有多少种不同的排法？（分析）先让其余 4 人站好，有 A 种排法，这时有 5 个“空隙”可供甲、乙、丙选取，即 A 种。共 A4 35A356048276A9N4329560NC35 125C35C125213A4534、间接法或淘汰法。理解题中的要求，把不符合要求的除去，应注意不能多减也不能少减。例 4、5 名男生，5 名女生排成一行，其中 5 名男生不排在一起，有几种排法？（分析）先计算出
9、10 人的全排列数，再减去 5 名男生排在一起的排列数即可。共 A A10A565、合理分类与准确分步。解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，事情发生的连续性分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。例 5、五人从左到右站成一排，其中甲不站排头，乙不站第二个位置，共有多少种不同站法（分析）若甲在第二位置上其余 4 人可自由按排，有 A 种；4若甲在第 3、4、5 位置上，则乙可站在其他 3 个位置上，有 A A A 种；共 A + A A A134133或用间接法：甲在第一位置，乙在第二位置有 A 种； 甲在第一位置，乙不在第二位3置有 A A 种；甲不在第一位置，乙在第
10、二位置有 A A 种；即共有 A + A A + A A13 133131种不符合要求，则符合要求的有 A (A + A A + A A )种。536“住店法”解决“允许重复排列问题” 。要注意区分两类元素，一类元素是可以重复，另一类元素是不可以重复，把不能重复的元素看作“客”把可以重复的元素看作“店”再利用乘法原理求解的方法称“住店法”例 6、七名学生争夺五项冠军，获得冠军的可能性有多少种？（分析）因同一学生可同时夺得几项冠军，故学生可重复排列，把七名学生看作七家“店” ，五项冠军看作五名“客” 。每个“客”有 7 种住法，共 7 种。57、顺序固定问题有“除法” 。对于某几个元素顺序一定的
11、排列问题，可先将这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。例 7、五人排列，甲在乙前面的排法有多少种？（分析）先将 5 人全排列有 A 种排法，而甲、乙之间排法有 A 种排法，而甲在乙前的排5 2法只有一种符合，故符合条件的排法有 种。258、特征分析法。研究有约束这种的排列问题要紧扣问题所提供的数字特征、结构特征，进行推理分析求解。例 8、由 1、2、3、4、5、6 六个数字可组成多少个无重复且是 6 的倍数的五位数？（分析）6 的倍数的数既是 2 的倍数不是 3 的倍数，其中 3 的倍数又满足“各个数位上的数字和是 3 的倍数”的特征。把 6 个数字分成
12、4 组：（1，5） （2，4） （3） （6） ，每组数字4之和为 3 的倍数，因而可分成两类，一类由 1、5、2、4、6 作为数码，另一类由1、5、2、4、3 作为数码，且末尾数字为偶数即可。第一类有 A A 种，第二类有共有 A134A 种，共有 A A + A A 种。1341241、 有 3 名男生、4 名女生、排成一排（1） 选其中 5 人排成一行（2）甲只能在中间或两头（3）甲、乙二人必须在两头（4）甲不在排头，乙不在排尾（5）男生、女生各站一边（6）男生必须排在一起（7）男生、女生各不相邻（8）男生不能相邻（9）甲、乙、丙三人中甲必须在前，丙必须在后，但三人不一定相邻（10）甲、
13、乙中间必须有 3 人，各有多少种不同的排法（答案） （1）A （2）A A （3）A A （4）3720（5）A A A （6）A A （7）A A57162 42353（8）A A （9） （10）A A A 443532531、 由数字 0、1、2、2、4、5 组成（各位上数字不允许重复） （1）多少六位数？（2）多少个六位偶数（3）多少个被 5 整除的五位数？（4）多少个被 3 整除的五位数（5）比 240135 大的六位数有多少个？（答案）(1)A A (2)312(3)216(4)216(5)40715（二）组合组合与排列有许多联系，在解决组合问题中常借用解决排列问题的方法。以下是解
14、决组合问题的几种方法1、 直接法或间接法例 1、 在 100 件产品中有 98 件合格品，2 件次品。从这 100 件产品中任意取出 3 件（1）一共有多少种不同的取法（2）恰好取出 1 件次品，有多少种取法（3）至少有 1件次品，有多少种取法？（答案）(1)C (2)C C (3) C C +C C (或 C C )39129812982981098练习：要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动，按下列要求有多少种不同选法？（1）A、B、C 三人必须入选（2）A 、B、C 三人不能入选（3）A 、B 、C 三人只有一人入选（4）A、B、C 三人至少一人入选（5）A 、B、C 三人至多二人入
15、选（答案）(1)C (2)C (3)C C (4)C C +C C +C C ( 5)C C + 991349134923290359C C + C C (或 C C )1349235122、分组分配例 2、六本不同的书按下列条件各有多少种不同的分法？（1） 分给甲、乙、丙三人，每人两本子（2）分成三份，每份两本（3）分成三份，一份一本，一份二本，一份三本（4）分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人二本，一人三本（分析） （1）先分给甲有 C 种,再分给乙有 C 种,最后为丙有 C 种,共 C C C =90262422642种5（2）问题（1）也可以分成两步完成：第一步先把六本书均分成三份，设有
16、 x 种分法，第二步把已分好的书分给甲、乙、丙三人有 A 种,即有 xA = C C C 3326242x= =15 种3246AC说明：（1） （2）两题的区别在于（2）只分组不分配， （1）既分组又分配。那么为什么在（2）中也就是只分组的问题中要除去 A 呢？比如 A、 B 、C、D 四个元素要均分为两组，m先取 AB 再取 CD 为一种即 或先取 CD 再取 AB 为另一种即 ，由于只分组即BCD CABAB 与 CD 间是无序的因而只能算一种分法。因而“分组分配”有如下一般结论：a) 将 2n 个元素均分为两组方法数： 种。!2nb) 将 3n 个元素均分为三组方法数： 种。!3nCc
17、) 将 kn 个元素均分为 k 组方法数： 种。!.)1(knnd) 将 n 个元素均分为 m 组每组 r 个（m r=n）方法数：!.2mCrrnre) 若再将 m 组分配给 m 个对象，则分配方法有 m!.2Crrnr(3)先分一本，再分二本，最后分三本，即得分三组的方法数共有 C C C =60 种16253(4)先要把收分成三组有 C C C =60 种，再分配给三人有 A 种 16253 3共有 A C C C =360 种。 练习：六本不同的书，分成 3 组，1 组 4 本，其余各3162531 本有多少种分法？2146A3、隔板法例 3、某中学从高中 7 个班中选出 12 名学生
18、组成校代表队，参加市课外知识竞赛，使代表中每个班至少有 1 人参加的选法有多少种？（分析）由于 12 个名额是不可区分的，所以将问题转化为：把排成一行的 12 个“0”分成7 份的不同方法数。12 个“0”形成 11 个空隙，用 6 个隔板可将其分成 7 组，有 C 种不61同的插法,即 C =462 种。616练习：10 个相同的球放入 6 个盒中，每个盒中至少一个的放法有多少种。C =126594、插空法例 4、某城市新修建的一条道路上有 12 盏路灯，为了节约用电又不影响照明，可以熄灭其中的 3 盏，但两端的灯不能熄，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灭的方法共有多少种？（分析）把要熄灭的三盏
19、灯去掉，有九盏灯亮着，则有 8 个空隙，在这 8 个空隙中安排 3盏灯故有 C 种。8练习：一排无区别的座位 10 个，3 个人来坐，都不能坐两头，且两人之间至少有一个座位，问有多少种不同的坐位？C 6巩固练习1、 从五双不同鞋子中任取 4 只，4 只鞋子中至少有 2 只配在一双的可能性有多少种？2、 有 20 个不加区别的小球放入编号为 1、2、3 的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于盒子的编号数，问有多少种不同的放法？3、 某校高二年级共有 6 个班，现从外地转入 4 名学生要按排到该年级的两个班，每班二名有多少不同的方案？4、 四个不同的小球放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子则恰
20、好一个空盒的放法有多种？（答案）1、130 2、C 3、C C 4、C A =144 662234典型例题一例 1 用 0 到 9 这 10 个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？分析：这一问题的限制条件是：没有重复数字；数字“0”不能排在千位数上；个位数字只能是 0、2、4、6、8、 ，从限制条件入手，可划分如下：如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是2、4、6、8 的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上） 由此解法一与二如果从千位数入手四位偶数可分为：千位数是 1、3、5、7、9 和千位数是2、4、6、8 两类，由此得解法三如果四位数划分为四位奇数和四位偶
21、数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四解法 1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选 3个来排列，故有 个；39A当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有 （个）2814A 没有重复数字的四位偶数有个29617504281439 A解法 2：当个位数上排“0”时，同解一有 个；当个位数上排 2、4、6、8 中之一时，3A千位，百位，十位上可从余下 9 个数字中任选 3 个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：个)(83914A7 没有重复数字的四位偶数有
22、个29617504)(28391439 A解法 3：千位数上从 1、3、5、7、9 中任选一个，个位数上从 0、2、4、6、8 中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有个2815干位上从 2、4、6、8 中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0 在内） ，百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 个2814A 没有重复数字的四位偶数有 个9628142815AA解法 4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数没有重复数字的四位数有 个39410其中四位奇数有 个)(283915A 没有重复数字的四位偶数有2839392839153941
23、0 50)( AAA个28394A2866说明：这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用典型例题二例 2 三个女生和五个男生排成一排（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？解：（1） （捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有 种不同排法对于其中的每一种排法，6A三个女生之间又都有 对种
24、不同的排法，因此共有 种不同的排法3A43206（2） （插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档这样共有 4 个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻由于五个男生排成一排有 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述5A六个位置中选出三个来让三个女生插入都有 种方法，因此共有 种36 140365A（3）解法 1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个，有 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 种排法，
25、所以共有25A 68种不同的排法140625A解法 2：（间接法）3 个女生和 5 个男生排成一排共有 种不同的排法，从中扣除女8A生排在首位的 种排法和女生排在末位的 种排法，但这样两端都是女生的排71 713法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有 种不同的排法，所以共有623种不同的排法14026237138AA解法 3：（元素分析法）从中间 6 个位置中挑选出 3 个来让 3 个女生排入，有 种不同的36A排法，对于其中的任意一种排活，其余 5 个位置又都有 种不同的排法，所以共有5A种不同的排法，14053
26、6A（4）解法 1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有 种不同的排法；如果首位排女生，有 种排法，这时末位715A 13就只能排男生，有 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余 6 位都有 种不同的6A排法，这样可有 种不同排法因此共有 种6153 0153715A解法 2：3 个女生和 5 个男生排成一排有 种排法，从中扣去两端都是女生排法8种，就能得到两端不都是女生的排法种数63A因此共有 种不同的排法360238A说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素
27、分析法若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用典型例题三例 3 排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单。（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：（1）先排歌唱节目有 种，歌唱节目之间以及两端共有 6 个位子，从中选 4 个5A放入舞蹈节目，共有 中方法，所以任两个
28、舞蹈节目不相邻排法有： 43200.46 5A469（2）先排舞蹈节目有 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位，恰好供 54A个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有： 2880 种方法。4A说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列。否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况。如本题（2）中，若先排歌唱节目有 ，再排舞蹈节目有 ，这样排完之后，其中5A46含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求。典型例题五例 5 现有 辆公交车、 位司机和 位售票员，每辆车上需配 位司机和 位售票331员问车辆
29、、司机、售票员搭配方案一共有多少种？分析：可以把 辆车看成排了顺序的三个空： ，然后把 名司机和 名售票员分3别填入因此可认为事件分两步完成，每一步都是一个排列问题解：分两步完成第一步，把 名司机安排到 辆车中，有 种安排方法；第二3363A步把 名售票员安排到 辆车中，有 种安排方法故搭配方案共有36A36说明：许多复杂的排列问题，不可能一步就能完成而应分解开来考虑：即经适当地分类成分或分步之后，应用分类计数原理、分步计数原理原理去解决在分类或分步时，要尽量把整个事件的安排过程考虑清楚，防止分类或分步的混乱典型例题六例 6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表如果有 所重点院校，每所院校有4个
30、专业是你较为满意的选择若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有3重复的话，你将有多少种不同的填表方法？ 学 校 专 业 1 1 2 2 1 2 3 1 2 分析：填写学校时是有顺序的，因为这涉及到第一志愿、第二志愿、第三志愿的问题；同一学校的两个专业也有顺序，要区分出第一专业和第二专业因此这是一个排列问题解：填表过程可分两步第一步，确定填报学校及其顺序，则在 所学校中选出 所43并加排列，共有 种不同的排法；第二步，从每所院校的 个专业中选出 个专业并确定34A32其顺序，其中又包含三小步，因此总的排列数有 种综合以上两步，由分步计223A数原理得不同的填表方法有： 种5184234
31、A说明：要完成的事件与元素的排列顺序是否有关，有时题中并未直接点明，需要根据实际情景自己判断，特别是学习了后面的“组合”之后这一点尤其重要 “选而且排” （元素之间有顺序要求）的是排列， “选而不排” （元素之间无顺序要求）的是组合另外，较复杂的事件应分解开考虑10典型例题七例 5 名同学排队照相(1)若分成两排照，前排 人，后排 人，有多少种不同的排法(2) 若7 34排成两排照，前排 人，后排 人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同34的排法？(3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？(4) 若排成一排照， 人中有 名男生， 名女生，女生不能相邻，有多少种
32、不面的排法？分析：(1)可分两步完成：第一步，从 人中选出 人排在前排，有 种排法；第二步，7337A剩下的 人排在后排，有 种排法，故一共有 种排法事实上排两排与排成44A74A一排一样，只不过把第 个位子看成第二排而已，排法总数都是 ，相当于 个人的77全排列(2)优先安排甲、乙(3)用“捆绑法” (4) 用“插空法” 解：(1) 种5047437A(2)第一步安排甲，有 种排法；第二步安排乙，有 种排法；第三步余下的 人排13A14A5在剩下的 个位置上，有 种排法，由分步计数原理得，符合要求的排法共有55种140413A(3)第一步，将甲、乙、丙视为一个元素，有其余 个元素排成一排，即
33、看成 个元素45的全排列问题，有 种排法；第二步，甲、乙、丙三人内部全排列，有 种排法由分5 3A步计数原理得，共有 种排法72035(4)第一步， 名男生全排列，有 种排法；第二步，女生插空，即将 名女生插入44A3名男生之间的 个空位，这样可保证女生不相邻，易知有 种插入方法由分步计数原435A理得，符合条件的排法共有： 种140354说明：(1)相邻问题用“捆绑法” ，即把若干个相邻的特殊元素 “捆绑”为一个“大元素” ，与其他普通元素全排列；最后再“松绑” ，将这些特殊元素进行全排列(2)不相邻问题用“插空法” ，即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间典型例题八例 8 从 五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数，求所有三位数65432、的和分析：可以从每个数字出现的次数来分析，例如“ ”，当它位于个位时，即形如2的数共有 个（从 四个数中选两个填入前面的两个空） ，当这些数相加时，24A、
