1、 1 第 1章 拉普拉斯变换的数学方法 复习思考题 1. 拉氏变换的线性性质、微分定理、积分定理、时域的位移定理、复域位移定理、初值定理、终值定理、卷积定理是什么？如何应用？ 解答： （ 1）线性性质： 若有常数 K1， K2，函数 f1(t)， f2(t)， 且 Lf1(t)=F1(s)， Lf2(t)=F2(s)，则 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )K f t K f t K L f t K L f t K F s K F s (0-1) （ 2）微分定理：若 f(t)的拉氏变换为 F(s)，则 ( ) ( ) (0)L f t
2、sF s f (0-2) f(0)为 t=0 时的 f(t)值。 此定理需考虑在 t 0 处是否有断点。如果在 t 0 处有断点， f(0 )f(0 )，则该定理需修改成 ( ) ( ) (0 )L f t s F s f ( ) ( ) (0 )L f t s F s f f(0 )为由正向使 t0 时的 f(t)值 ； f(0 )为由 负 向使 t0 时的 f(t)值 ； 进而可推出 f(t)的各阶导数的拉氏变换： 2( ) 1 2 ( 2 ) ( 1 )( ) ( ) (0 ) (0 )( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 )n n n n n nL f t s F s s
3、 f fL f t s F s s f s f f f (0-3) 式中 f (i)(0)（ 0 i n）表示 f(t)的 i 阶导数在 t=0 时的取值。 如果在 t 0 处有断点， f(0 )f(0 )，则该定理需修改成 2( ) 1 2 ( 2 ) ( 1 )( ) ( ) (0 ) (0 )( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 )n n n n n nL f t s F s s f fL f t s F s s f s f f f 2 2( ) 1 2 ( 2 ) ( 1 )( ) ( ) (0 ) (0 )( ) ( ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 )n n n
4、 n n nL f t s F s s f fL f t s F s s f s f f f 式中 f (i)(0 )（ 0 i n）表示 f(t)的 i 阶导数在 t 从正向趋近于零时的取值。 f (i)(0 )（ 0 i n）表示 f(t)的 i 阶导数在 t 从 负 向趋近于零时的取值 当初始条件均为零时，即 ( 1 )( 0 ) ( 0 ) “ ( 0 ) ( 0 ) 0nf f f f 则有 2()( ) ( )“( ) ( )( ) ( )nnL f t sF sL f t s F sL f t s F s（ 3） 积分定理 若 f(t)的拉氏变换为 F(s)，则 ( 1 )( )
5、 1( )d (0 )FsL f t t fss (0-4) 是对不定积分的拉普拉斯变换。式中 ( 1) (0) ( )df f t t ，是在 t = 0 时的值。 如果 f(t)在 t 0 处包含一个脉冲函数，则 ( 1) ( 1)(0 ) (0 )ff ，此时，必须将上述定理 修正如下： ( 1 )( ) 1( )d (0 )FsL f t t fss ( 1 )( ) 1( )d (0 )FsL f t t fss 式中 ( 1) (0 ) ( )df f t t ，是在 t = 0 时的值 ； ( 1) (0 ) ( )df f t t ，是在 t = 0 时的值 。 对于定积分的拉
6、普拉斯变换，如果 f(t)是指数级的，则上述定理修改如下： 0 ()( )dt FsL f t t s如果 f(t)在 t 0 处包含一个脉冲函数，则00( )d ( )dttf t t f t t，此时 0()( )dt L f tL f t t s 0()( )dt L f tL f t t s 依此类推 3 2 ( 1 ) ( 2 )221 1 1( ) (d ) ( ) (0 ) (0 )L f t t F s f fs s s ( 1 ) ( 2 ) ( )11 1 1 1( ) (d ) ( ) (0 ) (0 ) (0 )nnn n nL f t t F s f f fs s s
7、 s 如果00( )d ( )dttf t t f t t，该定理也要修正成 ( 1 ) ( 2 ) ( )11 011 1 1 1( ) ( d ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )1 1 1( ) ( ) ( d )n n nn kn n n k tkL f t t F s f f fs s s sF s f t ts s s （ 4） 时域的位移定理 若 f(t)的拉氏变换为 F(s)，对任一正实数 a，有 ( ) ( )asL f t a e F s (0-5) f(t a)为 延迟时间 a 的函数 f(t)，当 t a 时， f(t) 0。 （ 5）复域 位移定理 f(t)
8、的拉氏变换为 F(s)。对任一常数 a（实数或复数），有 ( ) ( )atL e f t F s a (0-6) （ 6）初值定理 若函数 f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，则函数 f(t)的初值为 0(0 ) lim ( ) lim ( )tsf f t s F s (0-7) 即原函数 f(t)在自变量 t 趋于零（从正向趋于零）时的极限值，取决于其象函数 F(s)的自变量 s 趋于无穷大时 sF(s)的极限值。 （ 7） 终值定理 若函数 f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且除在原点处唯一的极点外， sF(s)在包含 j轴的 右半 s 平面内是解析的（这意味着当 t 时 f(
9、t)趋于一个确定的值），则函数 f(t)的的终值为 0lim ( ) lim ( )tsf t sF s (0-8) （ 8） 卷积定理 若 ( ) ( )F s L f t ， ( ) ( )G s L g t 则有 0 ( ) ( ) d ( ) ( )tL f t g F s G s (0-9) 式中，积分0 ( ) ( )d ( ) ( )t f t g f t g t ，称作 f(t)和 g(t)的卷积。 4 2. 用部分分式法求拉氏反变换的方法。 解答： （ 1） F(s)无重极点的情况 F(s)总是能展开为下面简单的部分分式之和： 1212()() () nnKKKBsFs A
10、s s p s p s p (0-10) 式中 K1、 K2、 、 Kn 为待定系数（系数 Ki 为常数，称作极点 s pi 上的留数）。 111()()() spBsK s pAs 222() ()() spBsK s pAs ()() ( ) ( 1 , 2 , , )( ) ( )i iii isp BpBsK s p i nA s A p (0-11) 式中 pi 为 A(s) 0 的根， d ( )( )d ii spAsAp s 。 求得各系数后，则 F(s)可用部分分式表示 1() 1() ( )n ii iiBpFs A p s p (0-12) 因 1 1iptiLesp 从
11、而可求得 F(s)的原函数为 11()( ) ( ) ( ) in ptii iBpf t L F s eAp (0-13) 当 F(s)的某极点等于零，或为共轭复数时，同样可用上述方法。注意，由于 f(t)是个实函数。若 p1 和 p2 是一对共轭复数极点，那么相应的系数 K1 和 K2 也是共轭复数，只要求出 K1 或 K2 中的一个值，另一值即可得。 （ 2） F(s)有重极点的情况 假设 F(s)有 r 个重极点 p1，其余极点均不相同，则 111 1 1 2 1 1 211 1 1 1 2( ) ( )()( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )rn r nnr r rrrr r
12、 nB s B sFsA s a s p s p s pKK K K K Ks p s p s p s p s p s p 式中 K11、 K12、 、 K1r 的求法如下： 5 111111 112 1213 121111( ) ( )d( ) ( )d1d( ) ( )2 ! d1d( ) ( )( 1 ) ! drsprsprsprrr rspK F s s pK F s s psK F s s psK F s s prs(0-14) 其余系数 Kr 1、 K r 2、 、 Kn 的求法与第一种情况所述的方法相同，即 ()( ) ( ) ( 1 , 2 , , )( )jjj spjjp
13、BK F s s p j r rA p n 求得所有的待定系数后， F(s)的反变换为 1 1 21 1 21 1 1 2 1 1 2( ) ( ) ( 1 ) ! ( 2 ) ! nrr ptp t p t p trr r r r nKKf t L F s t t K e K e K e K err 3. 用拉氏变换求解微分方程的步骤。 解答： 用拉氏变换解 线性 常微分方程，首先通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程，进而解出象函数，最后由拉氏反变换求得常微分方程的解。 习 题 （ 1） ( ) 5(1 cos 3 )f t t 解： 利用拉氏变化的线性叠加特性 2 2 25 5 4
14、 5( ) ( ) 5 1 ( ) 5 c o s 3 3 ( 9 )sF s L f t L t L t s s s s （ 2） 0.5( ) cos10tf t e t 解 法 1： 利用 cos10t 的拉氏变换结果和 复数域位移定理 0 . 5 2 2 20 . 5 0 . 5( ) ( ) c o s 1 0 ( 0 . 5 ) 1 0 1 0 0 . 2 5t ssF s L f t L e t s s s 解法 2： 直接按定义并与 cost 的拉氏变换进行比较 0 . 5 ( 0 . 5 )002 2 2( ) ( ) c o s 1 0 d c o s 1 0 d0 . 5
15、 0 . 5( 0 . 5 ) 1 0 1 0 0 . 2 5t s t s tF s L f t e t e t t e tsss s s 解法 3： 直接按定义求解 6 0 . 5 1 0 1 0 ( 0 . 5 )00( 0 . 5 1 0 ) ( 0 . 5 1 0 )( 0 . 5 1 0 ) ( 0 . 5 1 0 )00001( ) ( ) c o s 1 0 d ( ) d211dd2 2 ( 0 .5 1 0 ) ( 0 .5 1 0 )1 1 12 0 .5 1 0 0t s t j t j t s ts j t s j ts j t s j tF s L f t e t
16、e t e e e teee t e ts j s js j s 2 2 20 .5 0 .5.5 1 0 ( 0 .5 ) 1 0 1 0 0 .2 5ssj s s s 解法 4： 直接套用教材表 2-1 中第 14 项结果 0 . 5 2 2 20 . 5 0 . 5( ) ( ) c o s 1 0 ( 0 . 5 ) 1 0 1 0 0 . 2 5t ssF s L f t L e t s s s （ 3） ( ) sin(5 )3f t t （用和角公式展开） 解 法 1： 利用 和角公式展开 ，然后利用拉氏变换的线性叠加性 13( ) s i n ( 5 ) s i n 5 c
17、o s c o s 5 s i n s i n 5 c o s 53 3 3 2 2f t t t t t t 所以2 2 2 2 21 3 1 5 3 3 5( ) ( ) s i n 5 c o s 5 2 2 2 5 2 5 2 ( 2 5 )ssF s L f t L t L t s s s 解 法 2：直接利用定义求解 ( ) s i n ( 5 ) s i n 5 ( ) 3 1 5f t t t ，令 15t ，则有 () 150 151 5 1 5 150015( ) ( ) s in 5 ( ) s in ( 5 )15s in ( 5 ) s in ( 5 ) s in (
18、 5 )sstss s s sF s L f t t e d t e de e d e e d e d （ 1） 而 20 5s in (5 ) 25sed s （ 2） 5 5 ( 5 ) ( 5 )1 5 1 5 1 5 1 50 0 0 05 5 5 5 15( 5 ) ( 5 )1 5 1 520001 1 1si n ( 5 ) d d d2 2 2( ) 5 ( )112 5 5 2 2 52 si n 512s j j s s j s js j j j js j s jse d e e e e ej j je s e e j e eeej s j s j j se s jj 15
19、 1522001525 2 c o s 5 si n 5 5 c o s 52 5 2 53552225ssj esssess （ 3） 7 将（ 3）式和（ 2）式代入（ 1）得 235( ) ( ) 2 ( 2 5 )sF s L f t s 【注】本题不可直接利用延时定理，因为函数 不是 延时函数，如果使用了延时定理，则将改变定义域 。 （ 4） () n atf t t e 解 法 1：1! 1, 2 , 3,n nnL t ns ， 利用复域平移特性得 1!( ) 1 , 2 , 3 ,()n a t nnF s L t e nsa 解 法 2： ()()00 01 d d s a
20、ta t a t s t s a t eL e e e t e t s a s a 利用复域微分特性 d ( )( ) ( 1 ) 1 , 2 , 3 ,dnnn nFsL t f t ns 得 11d !( ) ( 1 ) 1 , 2 , 3 ,d ( )nn a t n nn nsaF s L t e ns s a 解法 3： 直接按定义并与 tn 的拉氏变换进行比较 () 100 !( ) ( ) d d 1 , 2 , 3 ,()n a t s t n s a t nnF s L f t t e e t t e t nsa 解法 4： 直接按定义求解 ( ) ( )0 0 0( ) (
21、 ) ( ) 10001 ( ) 101d d d1 1 1dddn a t n a t s t n s a t n s a tn s a t s a t n s a t nn s a t n a tL t e t e e t t e t t esat e e t e n t ts a s a s annt e t L t es a s a 得到递推关系如下： 11210211 1 1 1 1()n a t n a tn a t n a ta t a t a tnL t e L t esanL t e L t esaL t e L t e L es a s a s a s a s a 所以 8
22、 1!()n a t nnL t e sa 解法 5： 直接套用教材表 2-1 中第 9 项结果 1!()n a t nnL t e sa （ 1） 33( ) 2 3 2 tf t t t e 解 ： 设 t 0 时， f(t) 0 利用拉氏变换的线性特性 33244 3 241 3 ! 1( ) ( ) 2 3 2 2 3 232 2 6 1 8 5 4( 3 )tF s L f t L t L t L es s ss s s sss （ 2） 3 3 3( ) c o s 2 s i n 4 ( 0 )t t tf t t e e t e t t 解 ： 利用拉氏变换的性质：线性性质，复
23、域平移特性 3 3 34 2 27 6 5 4 3 28 7 6 5 4 3 2( ) ( ) c o s 2 s i n 4 3 ! 1 4( 3 ) ( 1 ) 4 ( 3 ) 1 62 3 2 2 5 1 2 2 1 3 9 6 3 8 7 8 5 8 4 9 9 4 3 9 52 0 1 9 2 1 1 2 4 4 2 9 8 1 1 0 0 4 1 8 7 9 2 1 9 9 8 0 1 0 1 2 5t t tF s L f t L t e L e t L e tss s ss s s s s s ss s s s s s s s （ 3） 22( ) 5 1( 2 ) ( 1)
24、tf t t t e 解 ： 设 t 0 时， f(t) 0。 利用拉氏变换线性特性、延时特性和复域平移特性 22222 2 2 2232( ) ( ) 5 1 ( 2 ) ( 1 ) 5 1 ( 2 ) ( 2 1 ) 5 1 ( 2 ) 2 1 2 2 15( 2 ) ( 2 ) 2ttt t tsF s L f t L t L t eL t L t t eL t L t e L te L ee s s s s 【注】本题不可对第二项 (t1)2e2t 采用如下方法： 因为 232Lt s，利用时域位移定理得 232( 1) sL t e s，再利用复域平移定理得2 2 ( 2 ) 32
25、( 1 ) ( 2 )tsL t e e s 。这样计算的结果是错误的，原因在于：在利用时域位移定理时，将 (t1)2 的定义域变成了 2( 1) 1()01ttft t ，而原题中 (t1)2 的定义域为9 2( 1) 0()00ttft t 。 换句话说，这里 (t1)2 并不是 t2 的延时函数。 （ 4） sin 0()0 0 ,ttft tt 解法 1： ( ) si n si n( ) 1 ( )f t t t t ，如图 2-2 所示。 所以 2 2 2( ) ( ) si n si n( ) 1 ( ) 1 1 11 1 1 ssF s L f t L t L t tees s
26、 s 解法 2：直接按定义求解。 0 0 0( ) ( ) ( ) ( )0000( ) ( )1( ) ( ) ( ) d si n d ( ) d21 1 1 1dd2 2 2 ( ) 2 ( )1 1 1 12 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )()s t s t jt jt s tj s t j s t j s t j s tj s j sjsF s L f t f t e t te t e e e tje t e t e ej j j j s j j seej j s j j s j j s j j ss j ee 2 2 2 222222 2 2( ) ( )2 ( ) 2
27、 ( )( ) ( ) 12 ( 1 ) 12 si n 2 c o s 12 ( 1 ) 1111 1 1jj j j jsssss j e s j s jj s j j s js e e j e eej s sjs jej s sees s s 解： （ 1）0 0 01 0 1 0l i m ( ) l i m ( ) l i m l i m 1 0( 1 ) 1t s s sf t s F s s s s s 2 3 4 5 6 -1 -0.5 0 0.5 1 t f(t) 图题 2-2 sin(t) sin(t )1(t ) 10 （ 2） 1210()( 1) 1KKFs s s
28、s s 根据部分分式法得 1 010 10( 1) sKsss 2 110 ( 1) 1 0( 1) sKsss 所以 10 10() 1Fs ss 所以 1 1 1 11 0 1 0 1 1( ) ( ) 1 0 1 0 1 0 1 ( ) 1 0 011 tf t L F s L L L t e ts s s s 所以 li m ( ) li m 1 0 1 ( ) 1 0 1 0tttf t t e ，与（ 1）中计算结果相同。 【注】本题求拉氏反变换时，可以利用教材表 2-1 中的第 10 项。 、 解： （ 1）20 1(0 ) l i m ( ) l i m ( ) l i m 0
29、( 2 )t s sf f t s F s s s 根据拉氏变换的微分特性得知 f (t)的拉氏变换为 22 ( ) ( ) ( 0 ) 0( 2 ) ( 2 )ssL f t s F s f ss 则再次利用 初值定理 得 20(0 ) l i m ( ) l i m 1( 2 )ts sf f t s s （ 2） 1 1 221( ) ( ) 0( 2 ) tf t L F s L e t ts 22( ) 2ttf t e e t 则 200( 0 ) lim ( ) lim 0tttf f t e t 2200( 0 ) l i m ( ) l i m ( ) 1ttttf f t e e t 结果与（ 1）中计算的一致。 解：（ a） 解法 1： 设110 50() 200t t tftt ，则 11( ) ( ) ( 2 ) 1 0 1 ( 2 )f t f t f t t （见图 2-5-1(a)） 由此得
