1、05 级 2 学分 A一、回答下列问题（每题 5 分，共 30 分）1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？ 2 什么是束缚态？什么是定态？3 试述电子具有自旋的实验证据。4 写出量子力学五个基本假设中的任意三个。5 表示力学量的厄米算符有哪些特性？6 一维空间两粒子体系的归一化波函数为 ，写出下列概率：),(21x发现粒子 1 的位置介于 和 之间（不对粒子 2 进行观测）xd二、本题满分 10 分设单粒子定态波函数为 ，试利用薛定谔方程确定其势场。)()ikrirkbe三、本题满分 12 分利用厄米多项式的递推关系和求导公式：，0211xnHxHn xnHn12
2、证明：一维谐振子波函数满足下列关系： )()()(11nnn /,2mxxdx已知一维谐振子的波函数为： 212 !nNHennn 四、本题满分 12 分一粒子在一维无限深势阱 中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。axU,0,)（五、本题满分 12 分已知氢原子的电子波函数为 。)(,()41),( 2/113zznlm sYrRsrs )(),(432/120zsYrR求在 态中测量氢原子能量 、 、 、 、 的可能值和这些力学量的平均值。E2Lz六、本题满分 14 分一维运动的粒子处于状态 之中, 其中 , A 为待求的归一化常数, 求：0,0)(,xAex0(1) 归一化常数 ;(
3、2) 粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值;(3) 粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。七、本题满分 10 分附：氢原子能量本征值： 20413neEn定积分： ，n 为正整数!0xde球坐标系中： 22222 sin1)(siin1)(1rrr05 级 2 学分 B一、回答下列问题（每题 5 分，共 30 分）1 考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？ 2 （ 1）德布罗意关系式是仅适用于基本粒子如电子、中子，还是同样适用于具有内部结构的复合体系？（2 ）粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度更大？二者之间是否有必然联系？3 量子力学中角动量是如何定义的？地球自转是否与量子力学中的自
4、旋概念相对应？4 具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符有什么特征？球谐函数 是哪两个算符的共同本征函数？),(lmY5 具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？6 什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？二、本题满分 14 分设氢原子处于状态 ,求氢原子能量、角动量平方及角动量 Z 分量的可能值，这些12103),(rnlm可能值出现的概率和这些力学量的平均值。三、本题满分 15 分证明： 是一维线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。已知)x32(e3)x(x1。四、本题满分 8 分证明在 的本征态下， 。zl0xl五、本题满分 15 分设粒子限制在
5、矩形匣子中运动，即， ，求粒子的能量本征值和本征波函数。0(,)Vxyzxa ,0yb ,zc其 余 区 域六、本题满分 10 分求下列算符对易关系式： 1) 2) ?xLP?yxyLP七、本题满分 8 分定义 Pauli 算符 与自旋角动量算符 的关系为 ，证明： S2izyx附：氢原子能量本征值： 20413neEn06 级 2 学分 A一、填空（每空 3 分，共 45 分）1 一维线性谐振子的能量本征值为 。2 动量的三个分量 的共同本征函数为 。)p,(zyx3 自旋角动量算符 在空间任意方向上的投影只能取值为 ； = 。S 2S4 。 d)sin,()Y,(ml*l05 德布罗意关系
6、为 。6 波函数的标准条件为 。7 写出量子力学五个基本假设中任意两个_。8 费米子和玻色子所组成的全同粒子体系的波函数分别具有_性和_ 性。9 不考虑电子的自旋时，氢原子能级 的简并度为 。nE10 电子具有自旋的实验证据包括 。11 坐标和动量的对易关系为 _ _。xp,12 测不准关系 _。2)(x13 一维空间两粒子体系的归一化波函数为 ，x 1 和 x2 分别表示两粒子的空间位置，那么，发现粒子 1 的位置),(2介于 和 之间（不对粒子 2 进行观测）的概率 。d二 本题满分 7 分已知角动量的对易关系为 。证明：若一个算符 与角动量算符 的两个分量zxyxyJiJ, FJ和 对易
7、，即满足 和 ，则算符 必与 的第三个分量 对易，满足 。xJy0J,Fx0FzJ0,z三 本题满分 8 分厄密算符 的本征方程为 ，试根据厄密算符的定义式 ，证明厄密算符 的本 d)(* F征值 是实数。四 本题满分 9 分设体系处于 状态（已归一化） ，求：201YC（1 ） 的测量可能值及平均值；（ 2） 的测量可能值及相应的概率。zLL五 本题满分 9 分氢原子处在基态 ，求在此态中：(1) r 的平均值；(2) 势能 的平均值；0a3e1),r焦 re2(3) 动量的概率分布函数。 已知定积分 。1n0xn!d六 本题满分 6 分一个转动惯量为 I 的刚性转子绕空间某一固定点转动，叫
8、空间转子，其能量的经典表示式为 ，L 为角动量。I2H求与此对应的量子体系的定态能量及波函数。已知角动量平方算符 。sin1)(siin1L2七 本题满分 8 分在自旋态 中，求 和 的不确定关系： 已知算符 的不确定度为01)sz2焦xSy ?)S(2yx F，平均值 。2F)(F八 本题满分 8 分算符方程 称为算符 的本征方程，其中常数 称为算符 的本征值，函数 称为算符 的本征函数。aAaAA试确定下列函数哪些是算符 的本征函数，若是本征函数，其对应的本征值是什么？2dx ， ， ， ， 2xesinxcos3xcosin06 级 2 学分 B一、回答下列问题（每小题 4 分，共 24
9、 分）1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象？ 2 试述电子具有自旋的实验证据。3 考虑自旋时，描述氢原子需要哪几个量子数？4 写出量子力学五个基本假设中的任意三个。5 表示力学量的厄米算符有哪些特性？6 什么是费米子？对费米子体系的波函数有什么要求？二、计算题（本题满分 12 分）氦原子的动能是 ，k 是玻耳兹曼常数，求 时，氦原子的德布罗意波长。已知普朗克常数TE23KT1，玻耳兹曼常数 ，质子质量 ，氦原子的质焦341062.h 12308.k焦 kg.mp27106量近似取为质子质量的四倍。三、计算题（本题满分 12 分）一粒子在一维无限深势阱 中运动，求粒
10、子的能级和相应的归一化波函数。axU,0,)（四、计算题（本题满分 12 分）设氢原子处于状态 求氢原子能量、角动量平方及角动量 Z 分量),(23),(21),( 110YrRYrRrnlm的可能值，这些可能值出现的概率和这些力学量的平均值。已知氢原子的能量本征值为 .3,132204eEn五、证明题（本题满分 14 分）利用厄米多项式的递推关系和求导公式：，011 xnHxHn xnHn12证明：一维谐振子波函数满足下列关系： )(2)()(11nnn /,mxxdx已知一维谐振子的波函数为： 212 !nNHennn 六、证明题（本题满分 12 分）定义 Pauli 算符 与自旋角动量算
11、符 的关系为 ，证明： S2izyx七、证明题（本题满分 14 分）证明： 是一维线性谐振子的能量本征波函数，并求此波函数对应的本征能)x32(e3)x(x1量。已知一维线性谐振子的哈密顿算符为 ，参数 。221xdH07 级 2 学分 A一、问答题（每空 5 分，共 30 分）1 十九世纪末期人们发现了哪些不能被经典物理学所解释的新的物理现象。2 写出量子力学五个基本假设中任意三个。3 表示力学量的厄米算符有哪些特性？ 4 考虑自旋时，描述氢原子需要几个量子数？5 什么是玻色子？对玻色子的波函数有什么要求？6 具有共同本征函数的两个力学量算符有什么特征？球谐函数 ),(lmY是哪两个算符的共
12、同本征函数？ 二 本题满分 10 分一粒子在一维无限深势阱 中运动，求粒子的能级和相应的归一化波函数。axU,)0焦三 本题满分 7 分设单粒子定态波函数为 ，试利用薛定谔方程确定其势场。)()ikrirkbe1四 本题满分 10 分算符方程 称为算符 的本征方程，其中常数 称为算符 的本征值，函数 称为算符 的本征函数。aAaAA试确定下列函数哪些是算符 的本征函数，若是本征函数，其对应的本征值是什么？2dx ， ， ， ， 2xxesinxcos3xcosin五 本题满分 10 分氢原子处在基态 ，求在此态中：0ar3e1),r焦(1) r 的平均值；(2) 势能 的平均值；(3) 动量的
13、概率分布函数。 已知定积分 。e2 1n0axn!de六 本题满分 8 分已知在 和 的共同表象中，算符 的矩阵为2LZxL，求它的本征值和归一化本征函数。x01七 本题满分 15 分已知氢原子的电子波函数为 。)(,)(,(/zznlm sYrRsrs 21134)(,)(/zsYrR212034求在 态中测量氢原子能量 、 、 、 、 的可能值和这些力学量的平均值。E2Lz2z八 本题满分 10 分在自旋态 中，求 和 的不确定关系： 已知算符 的不确定度为01)sz2焦xSy ?)S(2yx F，平均值 。2F)(F07 级 2 学分 B一、问答题（每空 5 分，共 30 分）1 那些实
14、验现象揭示了光的波粒二象性？2 写出角动量算符 、哈密顿算符 、自旋算符 的本征值。zL,2HzS,23 什么是束缚态？什么是定态？ 4 具有分立本征值谱的力学量在其自身表象中如何表示？其本征矢量如何表示？5 试述电子具有自旋的实验证据。6 什么是费米子？费米子所组成的全同粒子体系的波函数有什么要求？二 本题满分 10 分一维运动的粒子处于状态 之中 , 其中 , A 为待求的归一化常数, 求：0xAex,)(,0(1) 归一化常数;(2) 粒子坐标的平均值和粒子坐标平方的平均值;(3) 粒子动量的平均值和粒子动量平方的平均值。三 本题满分 7 分厄密算符 的本征方程为 ，试根据厄密算符的定义
15、式 ，证明厄密算符 的本F d)F(* F征值 是实数。四 本题满分 10 分氢原子处在基态 ，求在此态中：(1) r 的平均值；(2) 势能 的平均值；0a3e1),r焦 re2(3) 动量的概率分布函数。 已知定积分 。1n0xn!d五 本题满分 15 分设氢原子处于 求：),(),(),( 121023YrRrnlm（1 ） 的测量可能值、相应的概率及平均值；（2 ） 的测量可能值、相应的概率及平均值；（3） 的测量zL L H可能值、相应的概率及平均值。附：氢原子能量本征值： 20243neEn六 本题满分 8 分定义 Pauli 算符 与自旋角动量算符 的关系为 ，证明： Sizyx
16、七 本题满分 10 分求 及 的本征值和所属的本征函数。012xS02iy八 本题满分 10 分在自旋态 中，求 和 的不确定关系： 已知算符 的不确定度为0)sz21焦xSy ?)S(2yx F，平均值 。2F)(F05 级 2 学分 A 答案一、回答下列问题（每题 5 分，共 30 分）1 黑体辐射，光电效应，迈克尔逊-莫雷实验，原子的光谱线系，固体的低温比热等2 当粒子被势场约束于特定的空间区域内，即在无穷远处波函数等于零的态叫束缚态。定态是概率密度和概率流密度不随时间变化的状态。若势场恒定， ，则体系处于定态。0tV3 电子具有自旋的实验证据：1） 斯特恩- 盖拉赫实验 2） 光谱精细
17、结构 3） 反常塞曼效应4 五个基本假定：1）微观体系的状态被一个波函数完全描述。 2）力学量用算符表示。3）将体系的状态波函数用力学量算符的本征函数展开，则在该态上测量该力学量的结果是力学量算符的一个本征值，测量概率是相应本征函数前展开系数的模方。4）体系的状态波函数满足薛定谔方程。5）在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态。5 厄米算符具有如下特性：1）厄米算符的本征值为实数 2）厄米算符在任何态中的平均值均为实数3）厄米算符属于不同本征值的本征函数彼此正交 4）描写力学量的厄米算符的本征函数是完全系6 概率 dxdxp),(2二、本题满分 10 分将已知波函数代入球坐
18、标系的波动方程 kkkErVdrm)(122可得 kkkErVm)(2所以 const)(2故不妨令其为零，则所给波函数乃是自由粒子波函数三、本题满分 12 分已知 0211 xnHxHn 212 !, nNennn 211211211 )!(, xxnnnxnn211211211 )!(, nNxHeNxnnxnn 所以 (),!)( 2/4/1xnn eM)211xnn()!(11Hnn )(21)!(1xHnn)211xxnn利用 )()!()2/122xeHdxnxnnn 1121 nnn )()(11xxnn四、本题满分 15 分解： 无关，是定态问题。其定态 SE 方程txU与)(
19、 )()()(2xExUdxm在各区域的具体形式为： )()()(2 0 111EUxdmx： )()( 22a： )()()( 3332 xExUdxmx 由于(1)、(3)方程中，由于 ，要等式成立，必须)(U0)(1x0)(2x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(2)可变为 )()(22mEdx令 ，得2mEk0)()(22xkdx其解为 BAcossin)(2根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得 )0(12 3a B0sinkA ),32 1( 0sinkaA xanAxsi)(2由归一化条件1)(d得 sin02axA由 mnab adxm2iixanxAsi2
20、)(2mEk可见 E 是量子化的。),321( 2nan对应于 的归一化的定态波函数为nEaxxeantxtEin n , ,0 ,si),(五、本题满分 10 分解： 的可能值 E2048e2048eE的可能值 , 2L26256431L的可能值 zL0,41zL的可能值 2S24323S的可能值 z,41)(41z六、本题满分 15 分解：1）由归一化条件 ，有 1)(2dx143220AdxeA2/32）坐标的平均值为： x43坐标平方的平均值为： 23024dxe3）动量平均值为： ixp)()(* dxeixe)(430dxei20342d0动量平方的平均值为： p)()(*2 dx
21、exxe)(423dxexe(4302七、本题满分 8 分解：不是 是，1。 是，1 。 是， 1。 是，1。05 级 2 学分答案 B一、回答下列问题（每题 5 分，共 30 分）1 主量子数 n，角动量量子数 l，磁量子数 m，自旋磁量子数 ms2 德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映而与物质具体结构无关，因此，不仅适用于基本粒子也适用于具有内部结构的复合体系。由基本假设 ，波长仅取决于粒子的动量大小而与粒子本身线度无必然联系。ph/3 量子力学中角动量按下式定义： Ji任何满足此式的算符所代表的力学量，都可以认为是角动量，此定义较之角动量的仿经典定义 更prL具普遍性，后者只适用于轨道角动量而不能适用于自旋。自旋是量子力学中的特有概念，无经典对应，是微观粒子的内禀属性。地球自转实际上仍然是地球各质点的轨道运动，应与轨道角动量相对应，而不是与自旋相对应。4 具有完备的共同本征函数系的两个力学量算符对易。球谐函数 是 L2 和 Lz 的共同本征函数),(lmY5 在其自身表象中表示为对角矩阵：
