1、1函数与方程【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数 ，我们把方程 的实数根叫做函数 的零点。)(xfy0)(xf )(xfy（2）方程 有实根 函数 的图像与 x 轴有交点 函数 有零点。因此判断一0fy()f个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：)(f解方程 ，所得实数根就是 的零点)(xf ()fx（3）变号零点与不变号零点若函数 在零点 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 的变号零点。()f0 ()fx若函数 在零点 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 的不变号零点。x若函数 在区间 上的图像是一条连续的曲线，则 是 在区间
2、 内有零点的充分()f,ab 0)(bfa()fx,ab不必要条件。2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数 在区间 上的图象是连续不断的曲线，并且有 ，)(xfy,ba()0f那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程)(xfy,ab)(00)(xf0x的根。0)(xf（2）函数 零点个数（或方程 实数根的个数）确定方法)(f )(xf 代数法：函数 的零点 的根；xy0（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质)(xfy找出零点。（3）零点个数确定有 2 个零点 有两个不等实根； 0)(xfy0)(xf有 1 个零点
3、有两个相等实根；无零点 无实根；对于二次函数在区间 上的零点个数，要结合图像进行ff ,ab确定.1、 二分法（1）二分法的定义:对于在区间 上连续不断且 的函数 ,通过不断地把函数,ab()0fab()yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二()yfx分法;2（2）用二分法求方程的近似解的步骤: 确定区间 ,验证 ,给定精确度 ;ab()0fb求区间 的中点 ;()c计算 ;fc()若 ,则 就是函数的零点 ;)0() 若 ,则令 (此时零点 );(facbc0(,)xac() 若 ,则令 (此时零点 );)ab判断是否达到精确度 ,即
4、,则得到零点近似值为 (或 );否则重复至步.b【经典例题】1函数 3()=2+xf在区间 (0,1)内的零点个数是 （ ）A、0 B、1 C、2 D、32函数 f(x)2 x3x 的零点所在的一个区间是 ( )A、(2，1) B、(1,0) C、(0,1) D、(1,2)3若函数 ( 且 )有两个零点，则实数 的取值范围是 .a01aa4设函数 f(x) 满足 f( )=f(x)，f(x)=f(2 x)，且当 时，f( x)=x3.又函数 g(x)= |xcos |，R0,1()则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 上的零点个数为 （ ）13,2A、5 B、6 C、7 D、85函数 在区间
5、0,4上的零点个数为 （ ）()cosfA、4 B、5 C、6 D、76函数 在 内 （ ）()fxx0,)A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点7对实数 a 和 b，定义运算“ ”：abError!设函数 f(x)(x 22)(xx 2)，xR，若函数 yf(x )c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是 ( )A、( ，2 B、( ，2( 1，32) ( 1， 34)C、 D、 ( 1，14) (14， ) ( 1， 34) 14， )8已知函数 fx（ ） = log(0a.axb ， 且 当 2a3b4 时，函数 fx（ ） 的
6、零点*0(,),nxnN则.39求下列函数的零点：（1） ； （2） .32()fxx 4()fx10判断函数 yx 3x 1 在区间 1,1.5内有无零点，如果有，求出一个近似零点 (精确度 0.1)【课堂练习】1、在下列区间中，函数 的零点所在的区间为 （ ）()43xfeA、 B、 C、 D、(,0)410,1(,)4213(,)242、若 是方程 的解，则 属于区间 （ ）xlg2A、 B、 C、 D、,1(,.5)(.25,7).75,3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )4、函数 f =2 +3x 的零点所在的一个区间是 （ ）xA（-2,-1） B、（-1 ，0） C、（0，
7、1） D、（1，2）5、设函数 f =4sin（2x+1 ）-x ，则在下列区间中函数 f 不存在零点的是 （ ）xA、-4,-2 B、 -2,0 C、0,2 D、2,46、函数 = - 在0， 内 （ ）xfcosxA、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点7、若函数 的零点与 的零点之差的绝对值不超过 0.25，则 可以是（ ）()f()42xg()fx4A、 B、 C、 D、()41fx2()1fx()1xfe1()ln)2fx8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )A、 B、 C、 D、38f ln3f2f4fx9、函数 f(x)=log2x+2x-1
8、 的零点必落在区间 （ ）A、 41,B、 21,4C、 1,2D、(1,2)10、 0lgx有解的区域是 （ ）A、 (,1 B、 (1,0 C、 (0, D、 (10,)11、在下列区间中，函数 的零点所在的区间为 （ ）)e43xfA、 B、 C、 D、(,0)4(, 1(,)423(,)2412、函数 2logfx的零点所在区间为（ ）A、 1,8 B、 1,84 C、 , D、 1,13、设 3xf,用二分法求方程 2,083xx在 内近似解的过程中得,025.1.,01f则方程的根落在区间（ ）A、 (25) B、 (.) C、 (1.5,) D、不能确定14、设函数 ，则在下列区
9、间中函数 不存在零点的是（ ）4sinfxxfxA、 B、 C、 D、,2,00,22,415、函数 ， 零点个数为（ ）A、3 B、2 C、1 D、023()ln,xf16、若函数 32f的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1) = 2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = 0.984f (1.375) = 0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = 0.054那么方程 320x的一个近似根（精确到 0.1）为 （ ） A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.517、方程 的实数解的个数为 .18、已知函数 2(
10、)(1)2fxax的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数 a的取值范围。19、判断函数 34在区间 ,上零点的个数，并说明理由。20 、求函数 的一个正数零点(精确度 0.1)32()6f5【课后作业】1、下列函数图象与 x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )2、设 ，则在下列区间中，使函数 有零点的区间是 ( )2()3xf)(xfA、0,1 B、1,2 C、 2， 1 D、 1,03、已知 唯一的零点在区间 、 、 内，那么下面命题错误的 （ ）f (1,3),41,5A、函数 在 或 内有零点 B、函数 在 内无零点)(x,2)(xf3,5C、函数 在 内有零点
11、 D、函数 在 内不一定有零点f5 244、若函数 3()xa有 3 个不同的零点,则实数 a的取值范围是 （ ）A、 2, B、 2 C、 ,1 D、 1,5、函数 xfln)(的零点所在的区间为 （ ）A、 （1，0） B、 （0，1） C、 （1，2） D、 （1，e）6、求函数 零点的个数为 （ ）32)(fA、 B、 C、 D、347、如果二次函数 有两个不同的零点，则 的取值范围是 （ 2yxmm）A、 B、 C、 D、1(,)41(,)21(,)41(,)28、方程 根的个数为 （ ） A、无穷多 B、 C、 D、0lgx f(3) 09、用二分法求方程 在(1,2)内近似解的过
12、程中得 f(1)0， f(1) f(0)0. f(x)2 x3x 的零点所在的一个区间为( 1,0)【例 3】若函数 ( 且 )有两个零点，则实数 的取值范围是 .)xa01aa【答案】 ），（ 1【解析】 函数 = ( 且 )有两个零点， 方程 有两个不相等的实)(xf 0x9数根，即两个函数 与 的图像有两个不同的交点，当 时，两个函数的图像有且xay10a仅有一个交点，不合题意；当 时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.1【例 4】设函数 f(x) 满足 f( )=f(x)，f(x)=f(2 x)，且当 时，f( x)=x3.又函数 g(x)= |xcosR,|，则函数 h(x)=g(
13、x)-f(x)在 上的零点个数为 （ ）()x3,2A、5 B、6 C、7 D、8【答案】B【解析】因为当 时，f(x)=x 3. 所以当 时， ， ，0,11,2x()0,1x3()2)()fxx当 时， ；当 时， ，注意到函数 f(x)、 g(x)都是,2x)cos)gcosg偶函数，且 f(0)= g(0)， f(1)= g(1)， ，作出函数 f(x)、 g(x)的大致图象，函数 h(x)除了()020、1 这两个零点之外，分别在区间 上各有一个零点，共有 6 个零点，故选 B13,12、 、 ,、【例 5】函数 在区间0,4上的零点个数为 （ ）2()cosfxA、4 B、5 C、
14、6 D、7【答案】C【解析】：f(x)=0 ，则 x=0 或 cosx2=0，x 2=k+ ,kZ，又 x0,4，k=0,1,2,3,4，所以共有 6 个解选 2 C【例 6】函数 在 内 （ ）()cosfx0,)A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点【答案】B【解析】解法一：数形结合法，令 ，则 ，设函数 和 ，()cosfxx0cosxyxcosx它们在 的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数 在0,) ()f内有且仅有一个零点；10解法二：在 上， ， ，所以 ；,)2x1xcos()cosfxx0在 ， ，所以函数 是增函数
15、，又因为 ，(0,(in0ff (0)1f，所以 在 上有且只有一个零点()2f()cosfxx,2【例 7】对实数 a 和 b，定义运算“ ”：abError!设函数 f(x)(x 22)(xx 2)，xR，若函数 yf(x )c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是 ( )A、( ，2 B、( ，2( 1，32) ( 1， 34)C、 D、 ( 1，14) (14， ) ( 1， 34) 14， )【答案】B【解析】f(x) Error! Error!则 f 的图象如图(x) yf(x) c 的图象与 x 轴恰有两个公共点， yf(x) 与 yc 的图象恰有两个公共点，
16、由图象知 c 2，或1 c .34【例 8】已知函数 f（ ） = log(0a1).axb ， 且 当 2a3b4 时，函数 fx（ ） 的零点*0(,1),nxnN则.【答案】5【解析】方程 log(0a1)axb ， 且 =0 的根为 0x,即函数 log(23)ayx的图象与函数(34)yxb的交点横坐标为 0x,且 *(,)nN,结合图象,因为当 ()a时,1,此时对应直线上 1y的点的横坐标 45b;当 y时, 对数函数 log23yx的图象上点的横坐标 (,9)x,直线 (3)x的图象上点的横坐标 (5,6)x,故所求的 5n.【例 9】求下列函数的零点：（1） ；32()f（2） .4x【答案】 （1）2,1，-1.（2）2 ，-2.【解析】 （1）由 320,x
