1、 带电粒子在磁场中运动一、不计重力的带电粒子在匀强磁场中的运动1匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动2匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子以初速度 v 垂直进入匀强磁场 B 中做匀速圆周运动，其角速度为 ，轨道半径为 R，运动的周期为 T，推导半径和周期公式：推导过程：运动时间 t=3对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点(1)粒子圆轨迹的圆心的确定的常规方法若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置及通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的
2、垂线，同时作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图 42 所示若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图 43 所示若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向及圆轨迹的半径 R，可在该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置 R 处的点为圆轨迹的圆心(利用左手定则判断圆心在已知位置的哪一侧)，如图 4 4 所示图 42 图 43 图 44例 1 、一个质量为 m 电荷量为 q 的带电粒子从 x 轴上的 P（ ，0）点以速度 v，沿与ax 正方向成 60的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于 y 轴射
3、出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度 B 和射出点的坐标。（坐标为（0， ）3例 2、电子自静止开始经 M、N 板间（两板间的电压为 U）的电场加速后从 A 点垂直于磁场边界射入宽度为 d 的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置 P 偏离入射方向的距离为L，如图 2 所示，求：（1）正确画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图；（2）匀强磁场的磁感应强度.（已知电子的质量为 m，电量为 e） emUdL2(2)利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射出点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。例
4、 3、如图 19-19 所示,一带电质点,质量为 m,电量为 q,以平行于 Ox 轴的速度 v 从 y轴上的 a 点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从 x 轴上的 b 点以垂直于 Ox 轴的速度 v 射出,可在适当的地方加一个垂直于 xy 平面、磁感应强度为 B 的匀强磁场.若此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽略不计.解析：质点在磁场中作半径为 R 的圆周运动,根据题意,质点在磁场区域中的轨道是半径等于 R 的圆上的 1/4 圆周,这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切.过 a 点作平行于 x 轴的直线,过 b 点作平行于 y 轴的直线,则与这
5、两直线均相距 R 的 O点就是圆周的圆心.质点在磁场区域中的轨道就是以 O为圆心、R 为半径的圆(图中虚线圆)上的圆弧 MN,M 点和 N点应在所求圆形磁场区域的边界上.在通过 M、N 两点的不同的圆周中,最小的一个是以 MN 连线为直径的圆周.所以本题所求的圆形磁场区域的最小半径为所求磁场区域如图中实线圆所示. 变式：一质量为 m、带电量为 +q 的粒子以速度 v 从 O 点沿 y 轴正方向射入磁感应强度为 B 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从 B 处穿过x 轴，速度方向与 x 轴正方向的夹角为 30，同时进入场强为 E、方向沿与 x 轴负方向成60角斜向下的
6、匀强电场中，通过了 B 点正下方的 C 点。如图示 4 所示，不计重力，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）C 点到 B 点的距离 h。解析：（1）反向延长 vb 交 y 轴于 O2 点，作BO 2O 的角平分线交 x 轴于 O1，O 1 即为圆运动轨道的圆心，OO 1 即为圆运动轨道的半径，其半径为 qBmR1画出圆运动的轨迹（图 5 虚线圆）交 B O2 于 A 点，最小的圆形磁场区域是以 OA 为直径的圆，如图 5 阴影所示。设最小的磁场区域半径为 r,则 rOA32minS利用解得 2min4BqvS（ 2） B 到 C 受电场力作用，做类平抛运动沿初速方向： vth30si
7、n沿电场方向： 21comqE利用 消去 t 解得 .vh4(4)圆周运动中有关对称的规律从磁场的直边界射入的粒子，若再从此边界射出，则速度方向与边界的夹角相等例 4 如图 3 所示，直线 MN 上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场。正、负电子同时从同一点 O 以与 MN 成 30角的同样速度 v 射入磁场（电子质量为 m，电荷为 e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？s=2r=在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子必沿径向射出例 5带电粒子在有界匀强磁场中运动的分析如图所示，半径为 r 的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从 A 点以速度 v0垂直
8、于磁场方向射入磁场中，并从 B 点射出，若 AOB120，则该带电粒子在磁场中运动的时间为( ) A. B. C. D.2 r3v0 23 r3v0 r3v0 3 r3v0答案 D变式：.如图所示，一个质量为 m、电量为 q 的正离子，从 A 点正对着圆心 O 以速度 v 射入半径为 R 的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞 2 次后仍从 A 点射出，求正离子在磁场中运动的时间 t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。OA v0Bv二、特殊方法1、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相同的带电粒子时，
9、带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图 7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。例 1如图 8 所示， S 为电子源，它在纸面 360度范围内发射速度大小为 v0，质量为m，电量为 q 的电子（ q0）， MN 是一块足够大的竖直挡板，与 S 的水平距离为 L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 mv0/qL，求挡板被电子击中的范围为多大？解析：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹为绕 S 点旋转的动态圆，且动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图 9 所示，最高点为动态圆与 MN 的相切时的交点 P，最低点为动态
10、圆与 MN 相割，且 SQ 为直径时 Q 为最低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，由 得：SQ 为直径，则： SQ=2L， SO=L ，由几何关系得：P 为切点，所以 OP L ，所以粒子能击中的范围为 。例 2（2010 全国新课程卷）如图 10 所示，在 0 x A 0 y 范围内有垂直于xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B。坐标原点 O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xy 平面内，与 y 轴正方向的夹角分布在 090范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于 到 a 之间，从发射粒
11、子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：（1）速度大小；（2）速度方向与 y 轴正方向夹角正弦。解析：设粒子的发射速度为 v，粒子做圆周运动的半径为 R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得： ，解得： 。从 O 点以半径 R（ R a）作“动态圆”，如图 11 所示，由图不难看出，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为 C 的圆弧，圆弧与磁场的边界相切。设该粒子在磁场中的运动时间为 t，依题意 ，所以 OCA 。设最后离开磁场的粒子的发射方向与 y 轴正方向的夹角为 ，由几何关系得：， ，再加上 ，解得： ， ，变式、如图
12、，在 0 x a 区域内存在与 xy 平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B.在3t0 时刻，一位于坐标原点的粒子源在 xy 平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与 y 轴正方向的夹角分布在0 180范围内已知沿 y 轴正方向发射的粒子在 t t0时刻刚好从磁场边界上 P( a， a)点离开磁场求：3(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径 R 及粒子的比荷 q/m；(2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与 y 轴正方向夹角的取值范围；(3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间t m=2t02、缩放圆法带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作圆周运动的
13、半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图 12），利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。例 3如图 13 所示，匀强磁场中磁感应强度为 B，宽度为 d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为 ，已知电子的质量为 m，电量为 e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。解析：如图 14 所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为 v0，带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得： r+r
14、cos =d 电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力： ，所以： 联立解得： ，所以电子从另一侧射出的条件是速度大于。例 4如图，一足够长的矩形区域 abcd 内充满磁感应强度为 B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域 ad 边中点 O 射入与 Od 边夹角为 30，大小为 v0的带电粒子，已知粒子质量为 m,电量为 q， ad 边长为 L， ab 边足够长，粒子重力忽略不计。求：（1）试求粒子能从 ab 边上射出磁场的 v0的大小范围； （2）粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。解析：（1）画出从 O 点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆，能够从 ab
15、 边射出的粒子的临界轨迹如图 23 所示，轨迹与 dc 边相切时，射到 ab 边上的 A 点，此时轨迹圆心为O1，则轨道半径 r1=L，由 得最大速度。（注：两条半径与它们所夹的一条边构成等边三角形）轨迹与 ab 边相切时，射到 ab 边上的 B 点，此时轨迹圆心为 O2，则轨道半径r2=L/3，由 得最小速度 。所以粒子能够从 ab 边射出的速度范围为： v0 。（2）当粒子从 ad 边射出时，时间均相等，且为最长时间，因转过的圆心角为300，所以最长时间： ，射出的范围为： OC=r2=L/3。变式1 如图所示， M、 N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之
16、间的各种数值静止的带电粒子带电荷量为 q，质量为 m(不计重力)，从点 P 经电场加速后，从小孔 Q 进入 N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外， CD 为磁场边界上的一绝缘板，它与 N 板的夹角为 45，孔 Q 到板的下端 C 的距离为 L，当 M、 N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在 CD 板上，求：(1)两板间电压的最大值 Um；(2)CD 板上可能被粒子打中的区域的长度 s；(3)粒子在磁场中运动的最长时间 tm.解析 (1) M、 N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在 CD 板上，所以圆心在 C 点，如图所示， CH QC L故半径 r1 L又
17、因为 qv1B mv21r1且 qUm mv ，所以 Um .12 21 qB2L22m(2)设粒子在磁场中运动的轨迹与 CD 板相切于 K 点，此轨迹的半径为 r2，设圆心为 A，在 AKC 中：sin 45r2L r2解得 r2( 1) L，即 r2( 1) L2 KC 2所以 CD 板上可能被粒子打中的区域的长度 s ，即HKs r1 r2(2 )L.2(3)打在 QE 间的粒子在磁场中运动的时间最长，均为半个周期，所以 tm .T2 mBq答案 (1) (2)(2 )L (3)qB2L22m 2 mBq变式 2如图 15 所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为 d，电压为 U，两板间
18、有匀强磁场，磁感应强度为 B0，方面平行于板面并垂直纸面朝里。图中右边有一边长为 a 的正三角形区域 EFG（ EF 边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直纸面向里。假设一系列电荷量为 q 的正离子沿平行于金属板面、垂直于磁场的方向射入金属板之间，沿同一方向射出金属板间的区域，并经 EF 边中点 H 射入磁场区域。不计重力。（1）已知这些离子中的离子甲到达边界 EG 后，从边界 EF 穿出磁场，求离子甲的质量；（2）已知这些离子中的离子乙从 EG 边上的 I 点（图中未画出）穿出磁场，且 GI 长为 3a/4，求离子乙的质量；（3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？
