1、 1反证法的概念：不直接从题设推出结论，而是从命 题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。2反证法的基本思路：首先假设所要证明的结论不成立，然后再在 这个假定条件下 进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个 矛盾的结论来，并据此否定原先的假 设，从而确 认所要证明的结论 成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。3反证法的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发， 经过推理论证得出矛盾；(3
2、)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确简而言之就是“反设归谬结论”三步曲。2014 年中考真题反证法综合训练22014 年中考真题 反证法综合训练一选择题（共 10 小题）1 （2014金华模拟）要证明命题“若 ab，则 a2b 2”是假命题，下列 a，b 的值不能作为反例的是（ ）A a=1，b= 2B a=0，b= 1 C a=1，b=2 D a=2，b= 12 （2013温州模拟）选择用反证法证明“已知：在 ABC 中， C=90求证：A， B 中至少有一个角不大于45 ”时，应先假设（ ）AA45， B45 B A45， B45 C A45， B45 DA45， B453 （2
3、013北仑区二模）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 45”时，应先假设（ ）A有一个锐角小于 45 B 每一个锐角都小于 45C 有一个锐角大于 45 D每一个锐角都大于 454 （2012温州）下列选项中，可以用来证明命题“若 a2 1，则 a1”是假命题的反例是（ ）A a=2B a=1 C a=1 Da=25 （2012金东区一模）以下可以用来证明命题“任何偶数都是 4 的倍数”是假命题的反例为（ ）A3 B 4 C 8 D66反证法证明“三角形中至少有一个角不小于 60”先应假设这个三角形中（ ）A有一个内角小于 60 B 每个内角都小于 60C 有一个内角大于
4、60 D每个内角都大于 607用反证法证明“在同一平面内，若 ac，bc，则 ab”时，应假设（ ）Aa 不垂直于 c B a，b 都不垂直于 c C ab Da 与 b 相交8用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（ ）A假设三个外角都是锐角 B 假设至少有一个钝角C 假设三个外角都是钝角 D假设三个外角中只有一个钝角9用反证法证明“若 ac，bc，则 ab”，第一步应假设（ ）Aab B a 与 b 垂直 C a 与 b 不一定平行 Da 与 b 相交10用反证法证明：a，b 至少有一个为 0，应该假设（ ）3Aa，b 没有一个为 0 B a，b 只有一个为 0
5、C a，b 至多一个为 0 Da，b 两个都为 0二填空题（共 5 小题）11 （2014南安市二模）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角的第一步是假设这个三角形中 _ 12 （2010北仑区模拟）用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行”的第一步应假设 _ 13用反证法证明“若|a| |b|，则 ab ”时，应假设 _ 14写出命题“若 a2=b2，则 a=b”是假命题的反例是 _ 15为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是 _ 三解答题（共 10 小题）16 （2010鞍山）用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角17 （2006新疆）试用举反例的方
6、法说明下列命题是假命题举例：如果 ab0，那么 a+b0反例：设 a=4，b= 3，ab=4 （ 3）=120，而 a+b=4+（3）=10所以，这个命题是假命题（1）如果 a+b0，那么 ab0；反例：（2）如果 a 是无理数，b 是无理数，那么 a+b 是无理数反例：（3）两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等反例：（画出图形，并加以说明）18已知：在ABC 中，AB=AC 求证：B，C 不可能等于 9019如图，在ABC 中，ABAC，AD 是内角平分线，AM 是 BC 边上的中线，求证：点 M 不与点 D 重合420判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出
7、证明，若是假命题举出反例）：（1）若 ，则 a=3；（2）如图，已知 BEAD，CFAD，垂足分别为点 E，F，且 BE=CF则 AD 是ABC 的中线21用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于 60”已知：A，B，C 是ABC 的内角求证： A，B，C 中至少有一个内角小于或等于 60证明：假设求证的结论不成立，那么 _ A+B+C _ 这与三角形 _ 相矛盾假设不成立 _ 22如图，在ABC 中，AB=AC ，P 是ABC 内的一点，且APBAPC，求证：PBPC （反证法）23证明题：如图所示，在ABC 中，AB=AC ，APB APC，求证：PB PC524如图所示，
8、在ABC 中，ABAC，AD 是内角平分线，AM 是 BC 边上的中线，求证：点 M 不在线段 CD上25用反证法证明下列问题：如图，在ABC 中，点 D、E 分别在 AC、AB 上，BD、CE 相交于点 O求证：BD 和 CE 不可能互相平分62014 年中考真题 反证法综合训练参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1 （2014金华模拟）要证明命题“若 ab，则 a2b 2”是假命题，下列 a，b 的值不能作为反例的是（ ）A a=1，b= 2B a=0，b= 1 C a=1，b=2 D a=2，b= 1分析： 根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，分
9、别代入数据算出即可解答： 解： a=1，b=2 时，a=0，b=1 时，a= 1，b= 2 时，ab，则 a2b 2，说明 A，B， C 都能证明“若 ab，则 a2b 2”是假命题，故 A，B，C 不符合题意，只有 a=2，b= 1 时， “若 ab，则 a2b 2”是真命题，故此时 a，b 的值不能作为反例故选：D2 （2013温州模拟）选择用反证法证明“已知：在 ABC 中， C=90求证：A， B 中至少有一个角不大于45 ”时，应先假设（ ）AA45， B45 B A45， B45 C A45， B45 DA45， B45分析： 用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设
10、成立，再判断得出的结论是否成立即可解答： 解：用反证法证明命题“A，B 中至少有一个角不大于 45”时，应先假设A 45，B45故选：A3 （2013北仑区二模）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 45”时，应先假设（ ）A有一个锐角小于 45 B 每一个锐角都小于 45C 有一个锐角大于 45 D每一个锐角都大于 45分析： 用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设题设成立，再判断得出的结论是否成立即可解答： 解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 45”时，应先假设每一个锐角都大于45故选 D4 （2012温州）下列选项中，可以用来证明命题
11、“若 a2 1，则 a1”是假命题的反例是（ ）A a=2B a=1 C a=1 Da=2分析： 根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题解答： 解：用来证明命题“若 a21，则 a1”是假命题的反例可以是：a=2，（2） 21，但是 a=21， A 正确；故选：A5 （2012金东区一模）以下可以用来证明命题“任何偶数都是 4 的倍数”是假命题的反例为（ ）7A3 B 4 C 8 D6分析： 反例就是符合已知条件但不满足结论的例子可据此判断出正确的选项解答： 解：A、3 不是偶数，不符合条件，故错误； B、4 是偶数，且能被 4 整除，故错误；C、8 是偶数，且是
12、 4 的 2 倍，故错误； D、6 是偶数，但是不能被 4 整除，故正确故选 D6反证法证明“三角形中至少有一个角不小于 60”先应假设这个三角形中（ ）A有一个内角小于 60 B 每个内角都小于 60C 有一个内角大于 60 D每个内角都大于 60分析： 此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于 60成立然后推出不成立得出选项解答： 解：设三角形的三个角分别为：a，b，c假设，a60，b60，c 60，则 a+b+c60+60+60，即，a+b+c180与三角形内角和定理 a+b+c=180矛盾所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于 60故选 B7用反证法证明“在同一平面内，
13、若 ac，bc，则 ab”时，应假设（ ）Aa 不垂直于 c B a，b 都不垂直于 c C ab Da 与 b 相交分析： 用反证法解题时，要假设结论不成立，即假设 a 与 b 不平行，即 a 与 b 相交解答： 解： 原命题 “在同一平面内，若 ac，b c，则 ab”，用反证法时应假设结论不成立，即假设“a 与 b 相交”故选 D8用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（ ）A假设三个外角都是锐角 B 假设至少有一个钝角C 假设三个外角都是钝角 D假设三个外角中只有一个钝角分析： “至少有两个” 的反面为 “至多有一个”，据此直接写出逆命题即可解答： 解： 至少
14、有两个” 的反面为“至多有一个”，而反证法的假设即原命题的逆命题正确；应假设：三角形三个外角中至多有一个钝角，也可以假设：假设三个外角中只有一个钝角故选：D9用反证法证明“若 ac，bc，则 ab”，第一步应假设（ ）Aab B a 与 b 垂直 C a 与 b 不一定平行 Da 与 b 相交8分析： 根据反证法的步骤，直接得出即可解答： 解： 用反证法证明“ 若 ac，b c，则 ab”，第一步应假设：若 ac ，bc ，则 a、b 相交故选：D 10用反证法证明：a，b 至少有一个为 0，应该假设（ ）Aa，b 没有一个为 0 B a，b 只有一个为 0 C a，b 至多一个为 0 Da，
15、b 两个都为 0分析： 根据命题：“a、b 至少有一个为 0”的反面是：“a、b 没有一个为 0”，可得假设内容解答： 解：由于命题：“a、b 至少有一个为 0”的反面是：“a、b 没有一个为 0”，故用反证法证明：“a、b 至少有一个为 0”，应假设“a、b 没有一个为 0”，故选 A二填空题（共 5 小题）11 （2014南安市二模）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角的第一步是假设这个三角形中 有两个角是直角 分析： 熟记反证法的步骤，直接填空即可解答： 解：用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角时，应先假设这个三角形中有两个角是直角12 （2010北仑区模拟）用反证法证明“如
16、果同位角不相等，那么这两条直线不平行”的第一步应假设 两直线平行 分析： 本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案解答： 证明：已知平面中有两条直线，被第三条直线所截； 假设同位角不相等，则两条直线平行，同位角不相等，则有两条直线与第三直线互相相交，即为三角形因假设与结论不相同故假设不成立，即如果同位角不相等那么这两条直线不平行故答案为：两直线平行13用反证法证明“若|a| |b|，则 ab ”时，应假设 a=b 分析： 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断解答： 解：a，b 的等价关系有 a=b，a b 两种情况，因而 ab 的反面是 a=b因此用
17、反证法证明“a b”时，应先假设 a=b故答案为 a=b14写出命题“若 a2=b2，则 a=b”是假命题的反例是 2 2=（ 2） 2，但是 22 等 分析： 根据命题是“若 a2=b2，则 a=b”，举出 a，b 互为相反数反例即可解答： 解： 命题是 “若 a2=b2，则 a=b”假命题的反例是：2 2=（2） 2，但是 22故此命题是假命题故答案为：2 2=（2） 2，但是 22 等15为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是 等腰直角三角形 分析： 等腰三角形腰上的高大于腰是不可能的，只能从等腰三角形腰上的高等于腰进行思考解答： 解：因为等腰直角三角形的腰上的
18、高等于腰，则可以找出该命题的反例，即为等腰直角三角形9三解答题（共 10 小题）16 （2010鞍山）用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角分析： 根据反证法的步骤进行证明解答： 证明：用反证法假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于 90根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于 180则该三角形的三个内角的和一定大于 180，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立所以等腰三角形的底角是锐角17 （2006新疆）试用举反例的方法说明下列命题是假命题举例：如果 ab0，那么 a+b0反例：设 a=4，b= 3，ab=4 （ 3）=120，而 a+b=4+（3）=10所以，这个命
19、题是假命题（1）如果 a+b0，那么 ab0；反例：（2）如果 a 是无理数，b 是无理数，那么 a+b 是无理数反例：（3）两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等反例：（画出图形，并加以说明）分析： （1）此题是一道开放题，可举的例子多，但只举一例就可如果 a+b0，那么 ab0；所举的反例就是，a、b 一个为正数，一个为负数，且正数的绝对值大于负数（2）可利用平方差公式找这样的无理数，比如 1 ，两数相加就是有理数（3）此题主要是利用全等三角形的判定来证明，在这里注意，没有边边角定理解答： 解：（1）取 a=2，b= 1，则 a+b=10，但 ab=20所以此命题是
20、假命题（2）取 a=1+ ，b=1 ，a、b 均为无理数但 a+b=2 是有理数，所以此命题是假命题（3）如图所示，在ABC 与 ABD 中，AB=AB ，AD=AC，ABD=ABC，但ABC 与ABD 显然不全等所以此命题是假命题18已知：在ABC 中，AB=AC 求证：B，C 不可能等于 90分析： 首先假设B ， C 都等于 90，进而利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出即可解答： 证明：假设B， C 都等于 90，AB=AC，B= C，又B=C=90 ，B+ C=180， A+B+C180，与三角形内角和定理相矛盾，假设不成立，即B，C 不可能等于 9019如图，在ABC 中，A
21、BAC，AD 是内角平分线，AM 是 BC 边上的中线，求证：点 M 不与点 D 重合10分析： 直接证明比较困难，可采用反证法进行求解先假设 M 在线段 CD 上，延长 AM 到 N，使 AM=MN，通过构建的全等三角形AMC 和 NMB，可得出 MAC=N，AC=BN；然后通过 M 点的位置，求出N 和BAM 的大小关系，进而求出 ABAC 的结论，则假设与已知不符，故得出原结论正确解答： 解：假设点 M 与点 D 重合延长 AM 到 N，使 AM=MN，连接 BN；在AMC 和NMB 中， ，AMCNMB（SAS） ； MAC=MNB，BN=AC；根据 M 在线段 CD 上，则BAMMA
22、C，MNBBAM， BNAB，即 ACAB；与 ABAC 相矛盾因而 M 与点 D 重合是错误的所以点 M 与点 D 不重合20判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：（1）若 ，则 a=3；（2）如图，已知 BEAD，CFAD，垂足分别为点 E，F，且 BE=CF则 AD 是ABC 的中线分析： （1）利用 a=3 时， ，但 a3，得出命题错误；（2）利用已知得出BEDCFD ，进而求出 BD=CD，得出 AD 是ABC 的中线解答： （1）解：是假命题，当 a=3 时， ，但 a3，所以命题（1）是假命题；（2）是真命题，证明：BE AD，CF AD，DFC= DEB=90，在BED 和CFD 中， ，BEDCFD（AAS）BD=CD，
