1、12010 年数学专业知识卷（1）选择题1.已知 =（-2，1） ， =（1 ，0） ，且 + 与 垂直，求abab2.几何原本的 5 条公设，以下哪个不是？（ ）A.假设所有直角都相等B.假设平面上一点与另一点可以作直线C.平行。 。 。 。 。D.整体大于部分3.已知直线 ax+by=4 与圆 + =4 相离，则点 P(a,b)与圆 + =4 的关系是（ ）x2yx2yA.在圆内 B.在圆上 C.在圆外4.已知 cosx 和 sin(x+ )在（ 0， ）上单调性相同， 可能的值是什么? ( )A. B. C. D.34265.已知函数 y=f(x)的图像如右图所示，则函数 f(x)的表达
2、式可能为（ ）A.f(x)=-x-sinx B.f(x)=-x-cosx C.f(x)= |x|sinx D.f(x)=x|cosx|6将 1，2，3 三个数字放在三行三列的方格中，使得每行每列都恰好有一个数字的放法有多少种？ （ ）A.6 种 B.12 种 C.24 种 D.36 种 （2）填空1.已知 ABC，圆 I 是其内切圆，切点为 E、F、G ，其中 EFG=，求 A=_。5A E G II B F C 2.甲、乙比赛每比一场甲赢的概率为 ，乙赢的概率为 ，谁先胜出三次，谁获胜。问甲3231恰好第四次获胜的概率为_。3.如右图所示，图 C1 为等边三角形，边长为 1，在图 C1 上构
3、造图 C2:把 C1 的各边三等分，并把中间段为边向外作等边三角形，再擦去中间这一段。以此类推，问 Cn 图的周长为_。4.已知：a= ,b=5,求 =1+ + - 的非 1 和本身以外的任一约数_275ab423125.在直角坐标系中， 的焦距为 2c，以坐标原点 O 为圆心，a 为半径作圆，椭12byax圆的右准线上一点 P，过 P 点作圆 O 的两条切线互相垂直，求椭圆离心率的取值范围：_。6.化简 + + =_。 A)(cabx)(abx)(bcx（3）解答题1.一条长为 2a 的线段，两个端点 A、B 分别在两条垂直的直线上滑动：（1）求线段 AB 中点 M 的轨迹方程； B在 AB
4、 上有一点 N，使得 =2,求点 N 的轨迹方程；（2）是的拓展，依据这样的题型，再写出类似的一个拓展情形题目，不要求求解。2.由下面给出的三个三角函数公式（仅用这三个公式）：（1）sin( - )=cos 2(2)sin(- )=-sina (3)sin( + )=sin cos +cos sin 推导以下三个公式：（1）cos(- )=cos (2)cos( + )=cos cos +sin sin(3)sin +sin =2sin cos23.已知函数 f(x)=px+ -2lnx,问：xp（1）函数 f(x)在 x=2 处的切线斜率为 3，求 p 的值(2 )若函数 f(x)在（2,
5、+ ）上单调递增，求 p 的取值范围（小学）（3）当 f(x)的递减区间为（0，3） ，求 p 的取值范围（中学）（三）教案1.写教案（小学）：六年级 “ 圆柱体积的计算公式 ”一课，并附板书设计2.写教案（中学）：高中 “函数的奇偶性” 一课，并附板书设计2011 年1、选择题（每题3分，共24分）1、已知 ， ， ，问 有几种可能?( )4321，MR2,13，MA、1 B、2 C、3 D、42、 是正数，下列式子哪个是错误的？（ ）ba、ba、 23abB、C、3、有一等腰三角形，周长为底的5倍，求顶角的余弦值（ ）34、已知 ， ，问 之间的大小关系（ ）xf1)(320x321y、5
6、、如图,问灯泡亮的概率是（ ）7、已知 ，问满足上述等式 最多有几个为 1？（ ）iia10iaA、6 B、7 C、8 D、92、填空题（每题3分，共15分）1、 是奇函数， 时 ， 时 的取值范围是_.)(xf0xxflg)(0)(fx2、四棱柱是平行六面体的充要条件是_ ,_.3、已知 ，求 _.1244、图中有多少个矩形?_.5、若奇函数是 ，偶函数是 ，问第个人数为1，则求第一个数的集合_.13n2n3、解答题1、 是等比数列， ， ，求 的通项公式。na6.3a8.43Sna题目中给出学生的解法，要求你找出其中的错误，给出正确的解答过程，并写出如何引导学生发现这个错误。2、共线向量基
7、本定理：如 果 ，那 么 向 量 与 共 线 的 充 要 条 件 是 ： 存 在 唯 一 实 数0aba，使 得 .ab平面向量的基本定理：（1）如果 是平面内的两不共线向量，那么对于平面内的任意21e、向量 ，有且只有一对实数 ，使得 .、 21ea（1）根据共线向量的基本定理，提出几个问题串得到平面向量的基本定理？（2）证明平面向量基本定理.3.(小学) 已知 过点 ， ， ，)0()(2cbxaf )(，)4， )9871(，4（3）求 的解析式，)(xf（4）过图像上任意一点作切线，与 轴、 轴所围成三角形的面积的最小值？xy(中学)中学的和小学的只是三个点给的不一样，其他问题都是一样
8、的。四教学设计（共30分）（中学）给出一元二次不等式的教学设计片段，提出一下三个问题：（1）写出本节课的教学目标，（2）设计教学过程中体现学生活动的部分，（3）教学设计中渗透了哪些数学思想？（小学）写一则简单的教学设计，课题是五年级下册“认识分数”2012 年数学专业知识一、选择题（24 分）1 函数 与 轴的交点有（ ）个?41fxxA，1 B，2 C，3 D，42.函数 y=cosx+sinx 的最大值是（ ）A，2 B，5/4 C,1.5 D, 3. 已知弦切角为 25，求两切线夹角（ ） A50B . 55 C.60 D.654. 5 个篮球 4 个足球共 330 元，2 篮球 3 足
9、球共 195 元，问一足球加一篮球（ ）元？A75 B.70 C.65 D.605. 欧拉的七桥问题，其实就是一笔走完的问题，问下图哪个图形不能一笔画完？（图太复杂了）6.函数 y=asinx+bx+c， 是整数，下面哪两个值不可能是 和 的值（ ）c(1)fA，1 和 2 B，2 和 4 C，4 和 6 D，3 和 37. 已知函数 ex=2x+a,问有实数根时，a 的范围（ ）A 2ln2,+B， 2ln2-2,+C,-,-2ln2D,-，-2ln2-28.已知三角形的三条边 、 、 （整数） ， ，且 ，问这样的三角形有bcabc10（）个 A，45 B，50 C，90 D，55二填空题
10、（18 分）1 正方体 - 中 、 是 、 的中点，异面直线 与 夹角？CD1EF111ADEF52已知三角形中 ADBC，问增加下列条件的_，可知道三角形 ABC 为等腰三角形.BAD=CAD D 到 AB 和 AC 距离相等 BD=2AC AD+BD=AC+CD3已知方程 x-mx+n=0，且 m=0,1,2,3, n=0,1,2, 从中任选两个数字，满足方程有实根的概率_4.已知圆的方程满足 x2-t/2x+y2-2ty+t-4=0，求过哪个定点 _5.设an是公比为 q 的等差数列，|q|1，令 bn = an+2,若数列bn有连续四项在集合-52，-22,20,38,83中，则 q=
11、_6.根据一次函数图像，算出机器人走了多少路？（高一物理知识，求类似一个梯形的面积即可或者用大学积分来求也可以）三解答题（8 分+10 分+10 分）1.椭圆 ，如图，已知椭圆的右顶点为 A，上顶点为 B，一点 D 的横坐标就是椭21xyab圆的左焦点，且 DOAB。（1） 求 离心率（2） 教师问“椭圆中，离心率表示椭圆的圆扁程度，你准备怎么来定义椭圆的离心率”课上有同学说“以 来定义， 越接近 ，越扁”acac0如果你是老师，你准备怎么来回应学生的回答2.函数 ，求证 ，21fx()fbb（1） 从“数” 、 “形”两个角度来证明（2） 以这题为例，说说“一题多解”策略的意义和作用3. (
12、0,)x（1） 证明 （考小学的做） sintax证明 （考中学的做）（2） 、 、 、 按适当顺序排列，组成等比数列，如果可以，求出icot1tnx的值，如果不可以，说明理由 （考小学的做）x、 、 、 按适当顺序排列，组成等差数列，如果可以，求出sinxtat的值，如果不可以，说明理由 （考中学的做）四，教案设计（30 分） 必修二直线方程点斜式 （试卷给书上对应章节的图片；本节内容为高中八个 C 级考点之一）（1）写教学目标（2）写教学过程（3）分析本节在整个解析几何中的地位和作用小学教案：复式统计表 小学数学 苏教版 五年级上册 105-106 页 （要有板书设计）62013 专业知识
13、（数学）一、综合题1. 已知数列 21:,nnaqa (1)求 的前 项和 (2)用两种方法证明nSnS2. 在椭圆 上有一动点 ， 为椭圆的右焦点，另有一定点1592yxPFA(1,)（1）求 的最小值，及 点的坐标3PAF（2）如何引导学生对此题进行反思（怎样解题）0 xyPAF3. （中学）已知函数 有两条平行直线分别与该函数相切于 两点,3)(2pxxf ,AB（1） 若在 处取极值，求 的值 若直线 的斜率为 1，求 所在直线1AB方程（2） 该函数图象是中心对称图形吗？若是，求出对称中心，若不是，说明理由（小学）已知函数 处取极小值3(),1fxpx在求 的值 p若在 上 的值域为
14、 ，求 的范围 ,0()m(f2,0m有两条平行直线分别与该函数相切于 两点，若 斜率为 1，求 所ABAB在直线方程二、填空题1. , 为弧 中点，求 =_5CEBDC7DCEBA O2. 2013 减去它的 ，在减去剩下的 ，再减去剩下的 ，减去213141剩下的 后，还剩 _.033. 数学史三大变革_ , _ , _。4. 若 满足一定条件后，可表示成 若 ， )(xf 201naxax xfcos)(求 =_。(泰勒公式)2a5. 求 的根_。xx21三、选择题1. 四面体 ，四个面都是三角形，可能有几个面是直角三角形ABCD（ ）A 0,1 B 0,1,2 C 0,1,2,3 D
15、0,1,2,3,42若函数 恒成立的整数 的值有几个？2 2()8,(51)(5)fxfaf问 使 得 a3. 已知 ， ,求5CAD60,7BAEC75B60CDA4. 在 中取两个数，其中一个数是另一个数的 2 倍的概率（ ）1,2345甲在地铁站等乙，每隔几分钟有一辆地铁过去，甲第一次等乙 12 分钟，过去了 5 辆地铁，甲第二次等乙 20 分钟，过去了 6 辆，甲第三次等乙 30 分钟，可能过去了几辆（ ）6. A B C ,问 取何值时 周长最小？(,)(0,2)()aAC7. 下列说法错误的是（ ）A.如果诗人中没有数学家，则数学家中也没有诗人8B.如果数学家中有诗人，则诗人中也有
16、数学家C.诗人中年龄最大的数学家就是数学家中年龄最大的诗人D.数学家中的诗人的人数少于诗人中数学家的人数8. 下列选项中哪一组选项中的动词是体现三维目标中过程方法的？A 了解 理解 探索 B 经历 感受 探索 四、教案中学：必修四 任意角三角函数小学：五年级下册 分数的基本性质2014 小学数学专业部分一、选择题1 数学四基是什么.2 平行六面体 ， 分别为 的中点，那么1ABCDEFG、 、 1ADC、 、与平行六面体 的体积比为（ ）.-GDEF13 甲打靶，打中的概率为 ，连打两次，只打中一次的概率为（ ）.42.甲，乙打靶，甲命中的概率是 ，求甲两次中恰有一次命中的概率是多少？34 一
17、个三角形的两边的长分别为 ， 分别为三条边的中点， 的周长可,5DEF、 、 DEF能值为（ ） 5.5 5 4.5 4ABC5 ,求 的元素的个数（ ）A4B.5C.6 D.7=2,3,xmnA， B6 甲、乙、丙、丁四个人做某事，甲加丙的次数等于乙加丁的次数，乙的次数比甲、丙的次数都多，问甲、乙、丙、丁的次数的大小顺序？7 九个等边三角形，组成的六边形，最小的等边三角形边长为 1，则此六边形的周长为（ ）8 ,若12 10,(),(),(),()()nnxfxfxfxffxf，则称 为 的()nfxx()nf 周期点.现有n:，1202f 求 的 周期点个数（ ()f） A B C D n
18、 (21)n6.求 n 个等边三角形拼成的六边形的周长是多少？（图已模糊）8.已知对 ，有 ，)1,0(x )()().()(,)( 112 xfxffxfxf nn9,求 （ ）1,20)(xxf)(xfnA B.2n C. D. 22. 一个三角形两边长分别是 4 和 5 那么三边中点连成的三角形周长可能是多少 3.已知一个图，好多等边三角形，已知最小的那个边长是 1，问大的那个三角形的周长。二、填空题1.求函数 y= ex 上，距离直线 y=2x-5 距离最短的点的坐标。1.已知 ，求到 的距离最小的点 P 的坐标是多少？yxy22.甲乙两人比赛，涂色比赛，一人先涂，另一人不能涂与先涂的
19、那个相邻的部分，问：甲先 涂那个位置，就一定能胜出。2.甲乙做游戏，每人轮流给图标数字的区域着色，第二给人不能在第一个人相邻的区域着色，谁无法在着色了即输，若甲先着色且甲要赢，他应先着哪块区域 2 413 5 674 每次只能用颜色填一个序号，第二次填色的位置不能与已填色的位置相邻，依次填入，直到不能再填色（按上述规则） ，不能填入为输.则甲乙两人比赛，甲第一次填序号_就赢了.4.求面体的棱长 E，面数 V,顶点 F 之间的关系 5 凸多面体的顶点 ，棱数 ，面 的关系_.V3.给了一个与圆有关的图，其中一个角是 21 度，问另一个角。4. 甲投中的概率是 3/4 投两次 有一次投中的概率是多
20、少 6.已知，AB 为过圆心的直径，将圆沿 AD 折叠交 AB 与 E 点，已知 度，求21BAD的度数。ADE6 是圆 的直径，沿 折叠劣弧，如图所示，弧 交 于 ，若 ，ABOACACBD21AC则 _.=DC2 点 为 的终边，函数(4,3)PADBEoADOBC10相邻两条对称轴的距离为 ，求 =_.()sin)(0fx3()12f3 等腰直角三角形 ， ， ， ， .ABC9ACBAD_CB:三、解答题1. 一块等腰三角形的地，面积 30 平方米，其中一条边为 10m，求另外两条边。2. 案例题，环节一，环节 2.环节 5问：本案例中有哪些可取之处有哪些可取之处3. 天力 38 套原
21、题，.1已知围一个 30 的等腰三角形花圃，其中一边长 10m，求另一边长？2m2.一个关于椭圆简单计算的教学片段的分析。3.关于数列的计算2 某教师上课例题教学基本步骤如下：（1）提供求椭圆方程的题目，给出焦点坐标和椭圆上一点的坐标（试卷上是具体的题目） ，求椭圆方程.给学生思考 30 秒，教师站讲台上观察；（2）然后找学生甲起来讲述，教师板书，并及时纠正.学生甲采用设出椭圆方程，代入点计算的方法求得椭圆标准方程（试卷上是具体解题步骤） ；（3）再提问学生乙，找学生甲起来讲述，教师板书，并及时纠正.学生乙采用的是椭圆的定义，先由 得 ，再得椭圆标准方程（试卷上是具体解题步骤）12PFa（4）
22、教师自行总结求解椭圆方程的两种解法；（5）然后给初一到具体的题目，求椭圆的方程，发现学生基本上还有之前自己的方法求解，没有用两种解法，说明例题教学没有起到作用.问 1：上述教师的教学哪些地方符合教学规律？2： 哪些行为需要进一步改进.3 会徽 如图所示， ，12,naOAaOA,123781OA(1) 求出 的通项公式并证明.n(2) 若 ，且 成等比数列，2ba135,b，若 ，对一切 成立，求11234()nnTb 2nTt*n的取值范围.t四、教案用乘法分配律简便计算4教案（30 ）（中学） （1）线面垂直片段教学设计（2）写出你用了什么方法？培养了什么数学思想？和什么数学能力？（小学）四下，关于倍数的教学设计。四、教学设计A7A6A5A4A8 A32A1O
