1、1椭圆的常见题型及解法（二）一 对称问题平面解析几何常遇到含参数的对称问题，常困扰学生思维.其实平面解析几何所有的对称只有以下四类,分别为“点关于点对称” ；“点关于直线对称” ；“曲线关于点对称” ；“曲线关于直线对称”.点 A 关于 B 的对称点为 C，点 B 为 A、C 的中点，由中点坐标公式有：；112ybxaybxa设点 A(x1,y1)关于直线 ： ax+by+c=0 的对称点为 C(x,y),由 AC 直线与 垂直，且 AB 的中点在 上，有：;202121121 bacxyyaxcybxay(当直线 中 a=0 或 b=0 时，上面结论也正确)曲线 F(x,y)=0 关于点 B
2、(a,b)对称的曲线，在曲线 F(x,y)=0 上任取一点 A(x1,y1)，它关于点 B(a,b)的对称点为 C(x,y).其实点 A 为主动点,点 C 为从动点,由中点坐标公式有: ,代入到主动点的方程中,得对称曲线方程:ybxaybxa2211.0),(xaF曲线 F(x,y)=0 关于点 ax+by+c=0 对称的曲线, 在曲线 F(x,y)=0 上任取一点 A(x1,y1)，它关于直线 ax+by+c=0 的对称点为 C(x,y),则有:,代入到主动点的方 2211102bacxyyxcybxay程中,得对称曲线方程: .0),( 22 bbacxF圆锥曲线上存在两点关于某直线对称，
3、求某参变量的取值范围.这一类问题求解时,必须同时确保: 垂直;平分存在,下面就实例说明三个确保的实施 .例 1.已知椭圆 C: ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 : 在椭1962yx mxy42圆 C 上存在不同的两点关于直线 对称.解:椭圆上存在两点 A,B 关于直线 对称,mxy4设直线 AB 为: (确保垂直).nxy41设直线 AB 与椭圆有两个不同的交点 .21,yxBA072845196422 nxyxn(确保存在)22n即： 10,105421xAB 两点的中点的横坐标为 纵坐标为,521nxn109524则点 在直线 上, . (确保平分)n109,52my4mn09.7
4、m把上式代入(1)中,得： .107变式训练（2010 年安徽理 19）：已知椭圆 E 经过点 A（2，3） ，对称轴为坐标轴，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，离心率 .2e（I）求椭圆 E 的方程；（II）求 的角平分线所在直线 的方程；21Al（III ）在椭圆 E 上是否存在关于直线 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由.本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.解：（I）设椭圆 E 的方程为21xyab32221,3,21.43c
5、eacbacexye由 即 得椭 圆 方 程 具 有 形 式将 A（2，3）代入上式，得 椭圆 E 的方程为2,2,cc解 得1.6xy（II）解法 1：由（I）知 ，所以12(,0)(,F直线 AF1 的方程为： 3460,4yxy即直线 AF2 的方程为： .由点 A 在椭圆 E 上的位置知，直线 l 的斜率为正数.设 上任一点，则 (,)Pxyl为 |2|.5x若 （因其斜率为负，舍去）.346510,280xy得所以直线 l 的方程为：解法 2： 121212(,3),0)(,(4,3)(0,3).43)01.55|,:(,AFAFklyxy即（III）解法 1：假设存在这样的两个不同
6、的点 12,)(,)BCx和211212000, .(,),BCylkxxyM设 的 中 点 为 则由于 M 在 l 上，故 2.xy又 B，C 在椭圆上，所以有221 1.66xy与两式相减，得22110,xy4即 12121()()0.6xxyy将该式写为 ，121286x并将直线 BC 的斜率 和线段 BC 的中点，表示代入该表达式中，BCk得 001,32.82xyxy即2得 ，即 BC 的中点为点 A，而这是不可能的.不存在满足题设条件的点 B 和 C.解法 2：假设存在 ，12(,)(,)BxyCl两 点 关 于 直 线 对 称则 .lk21, 1,26xyyxm设 直 线 的 方
7、 程 为 将 其 代 入 椭 圆 方 程得一元二次方程 2 2234()48, 0,xm即则 是该方程的两个根，12x与由韦达定理得 12,xm于是 12 3(),2yB，C 的中点坐标为 ,.4又线段 BC 的中点在直线 1,1,4.4yxm上 得即 B，C 的中点坐标为（2，3） ，与点 A 重合，矛盾.不存在满足题设条件的相异两点.二 中点弦问题例 1、过椭圆 内一点 引一条弦，使弦被 点平分，求这条弦所在直线1462yx)1,2(MM的方程。解：设直线与椭圆的交点为 、),(1yxA),(2B为 的中点 )1,2(MB421y5又 、 两点在椭圆上，则 ，AB16421yx1642yx
8、两式相减得 0)()(221x于是 1122yy24)(42121 xxy即 ，故所求直线的方程为 ，即 。ABk )(1xy042y例 2、已知椭圆 的一条弦的斜率为 3，它与直线 的交点恰为这条弦的中1257xy 1点 ，求点 的坐标。M解：设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则),(1yxP),(2yxQP),(0yxM20， 2010又 ，157xy1257xy两式相减得 0)()(2 212111 x即 0321210xy0213yy，即21xk30y0点 的坐标为 。M)1,(变式训练 1、已知椭圆 ,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程。257xy解：设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则)
9、,(1P),(QP),(yxM， x21y21又 ，571y57xy两式相减得 0)()(2 21212121 x6即 ，即0)(3)(2121xy yxxy321，即21xk3y0由 ，得5702y)25,(P)235,(Q点 在椭圆内M它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程为)235(0xyx变式训练 2、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得的弦的)5,(F:yl中点的横坐标为 ，求椭圆的方程。1解：设椭圆的方程为 ，则 2bxay502ba设弦端点 、 ，弦 的中点 ，则),(1P),(QP),(0yxM， ，20x230xy1201x120又 ，11baba两式相减得 0)()(
10、21212121 xxayy即 0)(2x21baxy32b联立解得 ，75所求椭圆的方程是 12xy变式训练 3.（13 年新课标 1（理）已知椭圆 的右焦点为2:1(0)xyEab,过点 的直线交椭圆于 两点.若 的中点坐标为 ,则 的方程(30)F,ABE7为 （ ） （ ）A B C D214536xy21367xy2178xy2189xy解析：设 两点的坐标分别为 ，则有, 12(,),两式相减得2221,bxaybxayb2121212()()0.又 的中点坐标为 ，所以 ，代入上式得AB, 12,xy，221211()()0bbxaya而直线 的斜率为 AB212()1,.3kx
11、由右焦点 F（3,0）知： 2,9cab由 得 曲线 E 的方程为 故选 D2218,9,ab21.8xy三 弦长问题例 1.（10 辽宁理）设椭圆 C：21(0)xyab的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o, 2AFB.(I) 求椭圆 C 的离心率；(II) 如果|AB|= 154，求椭圆 C 的方程.解：设 12(,)(,)xy，由题意知 1y0， 20.（）直线 l 的方程为 3()xc，其中 2ab.联立 23(),1yxcab得 2224()30aby解得22123()3(),ccayb8因为 2AFB，所以 12y.即 22
12、3()3()bcabca得离心率 e. （）因为 213ABy，所以24315ab.由 23ca得 5ba.所以 54，得 a=3， .椭圆 C 的方程为219xy. 例 2（10 天津文）已知椭圆2ab（ab0）的离心率 e= 32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.（）求椭圆的方程；（）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）.（i）若 42AB5|=，求直线 l 的倾斜角；（ii）若点 Q y0（ ， ） 在线段 AB 的垂直平分线上，且 QB=4A.求 y0的值.解： （）解：由 e= 32ca，得 24ac.再由 22ab，解得 a=2b.
13、由题意可知 1b，即 ab=2.解方程组 ,2a得 a=2，b=1. 所以椭圆的方程为 214xy.()(i)解：由（）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为 1(,)xy，直线l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k（x+2）.于是 A、B 两点的坐标满足方程组 2(),1.4ykx消去 y 并整理，得9222(14)6(14)0kxk.由 12，得218x.从而 124ky.所以2224| 4kkABk.由 42|5，得2145k.整理得 423930k，即 22(1)3)0k，解得 k= 1.所以直线 l 的倾斜角为 或 4.（ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由
14、（i）得到 M 的坐标为228,14k.以下分两种情况：（1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0） ，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是002,2,.QAyy由 4QA，得 y20。（2）当 k时，线段 AB 的垂直平分线方程为22184kkx。令 0x，解得 02614ky。由 2,QA， 10,Bxy， 21010 2228646411kkxy42654k，整理得 27k。故 17。所以 02145y。综上， 0y或 0245y变式训练：（10 山东理）如图，已知椭圆1021(0)xyab 的离心率为 2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 12,F为顶点的三角形的周长为 4(1.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF和 2与椭圆的交点分别为 BA、 和 CD、 .（）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线 1、 2的斜率分别为 1k、 2，证明 12k；（）是否存在常数 ，使得 ABCD恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.【解析】 （）由题意知，椭圆离心率为 ca2，得 c，又 2ac4(21)，所以可解得 2a， c，所以 224b，所以椭圆的标准方程为 8xy；所以椭圆的焦点坐标为（ ，0） ，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为 214xy。
