1、 1 / 11双曲线：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；了解双曲线的简单几何性质。重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质. 难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线.知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （ 大于 0且）的动点 的轨迹叫作双曲线.这两个定点 、 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数 应当满足的约束条件： ，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数 满足约束条件： （ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支；若 （ ）
2、，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支；3. 若常数 满足约束条件： ，则动点轨迹是以 F1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；4若常数 满足约束条件： ，则动点轨迹不存在；5若常数 ，则动点轨迹为线段 F1F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程1当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： ，其中 ；2当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程： ，其中 .注意： 1只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2在双曲线的两种标准方程中，都有 ；3双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当 的系数为正时，焦点在 轴上，双曲线的焦点坐标为
3、， ；当 的系数为正时，焦点在 轴上，双曲线的焦点坐标为 ，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线 （a0，b0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程 （a0，b0），把 x换成x，或把 y换成y，或把2 / 11x、y 同时换成x、y，方程都不变，所以双曲线 （a0，b0）是以 x轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线 x=a 和 x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足 x-a 或 xa。（3）顶点：双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲线 （a0，b0）
4、与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（a，0），A 2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段 A1A2叫作双曲线的实轴；设 B1（0，b），B 2（0，b）为 y轴上的两个点，则线段 B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A 1A2|=2a，|B 1B2|=2b。a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。注意：双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用 e表示，记作 。因为
5、 ca0，所以双曲线的离心率 。 由 c2=a2+b2，可得，所以 决定双曲线的开口大小， 越大，e 也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线 ，所以离心率 。（5）渐近线：经过点 A2、A 1作 y轴的平行线 x=a，经过点 B1、B 2作 x轴的平行线 y=b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是 。我们把直线 叫做双曲线的渐近线。注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。知识点四：双曲线 与 的区别和联系标准方程图形性质 焦点 ， ，3 / 11焦距范围 ， ，对称性 关于 x轴、y 轴和原点对称顶点轴 实轴长= ，
6、虚轴长= 离心率准线方程渐近线方程知识点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为 ，则其渐近线方程为 注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为 ，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出 即可。（3）与双曲线 有公共渐近线的双曲线方程可设为 （ ，焦点在 轴上， ，焦点在 y轴上）（4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为 ，因此等轴双曲线可设为 .知识点六：双曲线图像中线段的几何特征： 双曲线 ，如图：4 / 11（1）实轴长 ，虚轴长 ,焦距
7、，（2）离心率： ；（3）顶点到焦点的距离： ， ；（4） 中结合定义 与余弦定理，将有关线段 、 、 和角结合起来.1如何确定双曲线的标准方程？当且仅当双曲线的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，双曲线的方程才是标准方程形式。此时，双曲线的焦点在坐标轴上。2双曲线标准方程中的三个量 a、b、c 的几何意义双曲线标准方程中，a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ca，cb，且 c2=b2+a2。3如何由双曲线标准方程判断焦点位置双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看
8、 x2、y 2的系数，如果 x2项的系数是正的，那么焦点在 x轴上；如果 y2项的系数是正的，那么焦点在 y轴上。注意：对于双曲线，a不一定大于 b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。4方程 Ax2+By2=C（A、B、C 均不为零）表示双曲线的条件方程 Ax2+By2=C可化为 ，即 ，所以只有 A、B 异号，方程表示双曲线。当时，双曲线的焦点在 x轴上；当 时，双曲线的焦点在 y轴上。5求双曲线标准方程的常用方法： 待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 、 、 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定
9、义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。注意：若定义中“差的绝对值”中的绝对值去掉，点的集合成为双曲线的一支，先确定方程类型，再确定参数 a、b，即先定型，再定量。若两种类型都有可能，则需分类讨论。6如何解决与焦点三角形PF 1F2（P 为双曲线上的点）有关的计算问题？ 5 / 11与焦点三角形 有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式 相结合的方法进行计算与解题，将有关线段 、 、，有关角 结合起来，建立 、 之间的关系.7如何确定离心率 e的取值情况与双曲线形状的关系？ ：离心率 ，因为 c2=a2+b2，用 a、b 表示
10、为，当 e越大时， 越大，即渐近线夹角（含 x轴）越大，故开口越大；反之，e 越小，开口越小。离心率反映了双曲线开口的大小，且 e1。8椭圆、双曲线的区别和联系： 椭圆 双曲线根据|MF 1|+|MF2|=2a 根据|MF 1|MF 2|=2aac0，a2c 2=b2（b0）0ac，c2a 2=b2（b0），（ab0），（a0，b0，a 不一定大于 b）标准方程统一为：类型一：双曲线的定义 1已知O 1：(x+5) 2+y2=4，O 2：(x5) 2+y2=9（1）若动圆 P与 1， 2均内切，求动圆圆心 P点的轨迹；（2）若动圆 Q与 1， 2均外切，求动圆圆心Q点的轨迹。解析：（1）设P
11、半径为 R， O 1与O 2相离， |PO 1|=R2，|PO 2|=R3 |PO 1|PO 2|=1，又|O1O2|=10由双曲线的定义，P 点的轨迹是以 O1，O 2为焦点，2a=1，2c10 的双曲线的右支。（2）设Q 半径为 r，则|QO 1|=r+2，|QO 2|=r+3 |QO 2|QO 1|=1，又|O 1O2|=10由双曲线的定义，Q 点的轨迹是以 O1，O 2为焦点，2a=1，2c10 的双曲线的左支。举一反三：【变式 1】已知定点 F1(2,0)、F 2(2,0)，平面内满足下列条件的动点 P的轨迹为双曲线的是（ ）A|PF 1|PF 2|=3B|PF 1|PF 2|=4C
12、|PF 1|PF 2|=5 D|PF 1|2|PF 2|2=4 【答案】A【变式 2】已知点 F1(0,13)、F 2(0,13)，动点 P到 F1与 F2的距离之差的绝对值为 26，则动点 P的轨迹方程为（ ）6 / 11Ay=0 By=0（x13 或 x13）Cx=0（|y|13）D以上都不对【答案】C【变式 3】已知点 P(x,y)的坐标满足 ，则动点 P的轨迹是（ ）A椭圆 B双曲线中的一支 C两条射线 D以上都不对 答案：B类型二：双曲线的标准方程： 2求与双曲线 有公共焦点，且过点 的双曲线的标准方程。解法一： 依题意设双曲线方程为 =1由已知得 ，又双曲线过点 ， ：故所求双曲线
13、的方程为 .解法二：依题意设双曲线方程为 ，将点 代入 ，解得 ，所以双曲线方程为.【变式 1】求与椭圆 有共同的焦点，且过点 的双曲线的标准方程。 【答案】依题意设双曲线方程为 由已知得 ，又双曲线过点 ， 故所求双曲线的方程为 .【变式 2】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且顶点在 轴，焦距为 10， 的双曲线的标准方程.【答案】3已知双曲线的两个焦点 F1、F 2之间的距离为 26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为 24，求双曲线的标准方程。解析：由题意得 2a=24，2c=26。a=12，c=13，b 2=13212 2=25。当双曲线的焦点在 x轴上时，双曲线的方程为 ； 当双
14、曲线的焦点在 y轴上时，双曲线的方程为 。7 / 11总结升华：求双曲线的标准方程就是求 a2、b 2的值，同时还要确定焦点所在的坐标轴。双曲线所在的坐标轴，不像椭圆那样看 x2、y 2的分母的大小，而是看 x2、y 2的系数的正负。 【变式】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且虚轴长与实轴长的比为 ，焦距为 10的双曲线的标准方程.【答案】由已知设, ，则 ( )依题意 ，解得 .当双曲线的焦点在 x轴上时，双曲线的方程为 当双曲线的焦点在 y轴上时，双曲线的方程为.类型三：双曲线的几何性质4方程 表示双曲线，求实数 m的取值范围。解析：由题意得 或 或。实数 m的取值范围为 。总结升华：方程
15、Ax2+By2=1表示双曲线时，A、B 异号。【变式 1】k9 是方程 表示双曲线的（ ）A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件 【答案】B【变式 2】求双曲线 的焦距。 【答案】8【变式 3】已知双曲线 8kx2ky 2=2的一个焦点为 ，则 k的值等于（ ）A2 B1 C1 D 【答案】C【变式 4】 （2011 湖南）设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为A4 B3 C2 D1【答案】C8 / 115已知双曲线方程，求渐近线方程。 （1） ；（2） ；（3） ；（4）解析：（1）双曲线 的渐近线方程为： 即 （2）双曲线 的渐近线方程为： 即 （3）双
16、曲线 的渐近线方程为： 即（4）双曲线 的渐近线方程为： 即总结升华：双曲线 的渐近线方程为 ，双曲线 的渐近线方程为即 ；若双曲线的方程为 （ ，焦点在 轴上， ，焦点在y轴上） ，则其渐近线方程为 。【变式 1】求下列双曲线方程的渐近线方程。： （1） ；（2） ；（3）【答案】 （1） ；（2） ；（3）【变式 2】中心在坐标原点，离心率为 的圆锥曲线的焦点在 y轴上，则它的渐近线方程为（ ）AB C D 【答案】D9 / 116根据下列条件，求双曲线方程。 （1)与双曲线 有共同的渐近线，且过点 ；（2）一渐近线方程为 ，且双曲线过点 。解析：（1）解法一： 当焦点在 x轴上时，设双曲
17、线的方程为由题意，得 ，解得 ， 所以双曲线的方程为当焦点在 y轴上时，设双曲线的方程为 由题意，得 ，解得 ，（舍去） 综上所得，双曲线的方程为 解法二：设所求双曲线方程为（ ） ，将点 代入得 ，所以双曲线方程为 即（2）依题意知双曲线两渐近线的方程是 . 故设双曲线方程为 ，点在双曲线上， ，解得 ， 所求双曲线方程为 .总结升华：求双曲线的方程，关键是求 、 ，在解题过程中应熟悉各元素（ 、 、 、 及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用。若已知双曲线的渐近线方程 ，可设双曲线方程为（ ）.【变式 1】中心在原点，一个焦点在(0,3)，一条渐近线为 的双曲线方程是（ ）A、 B、 C
18、、 10 / 11D、 【答案】D【变式 2】过点(2，-2)且与双曲线 有公共渐进线的双曲线是 ( )A B C D 【答案】A 【变式 3】以 为渐近线的双曲线方程不可能是（ ）A4x 29y 2=1 B9y 24x 2=1 C4x 29y 2= （R 且 0） D9x 24y 2=（R 且0） 【答案】D【变式 4】双曲线 与 有相同的（ ）A实轴 B焦点 C渐近线 D以上都不对 【答案】C类型四：双曲线的离心率：7已知 是双曲线 的左、右焦点,过 且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于 A、B 两点,若 是正三角形,求双曲线的离心率。解析： ， 是正三角形， ， ，【变式 1】已知双曲线 - =1与 x轴正半轴交于 A点，F 是它的左焦点，设 B点坐标为(0,b)，且ABBF，则双曲线的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、【答案】B 【变式 2】 若椭圆 的离心率为 ,则双曲线 的离心率为
