1、1不等式的解法1、一元一次不等式 axb方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为 的形式，若 ,则 ；若 ,axb0abx0a则 ；若 ,则当 时， ；当 时， 。bx0xR0b【例 1-1】 （1）213ax解：此时，因为 的符号不知道，所以要分： a=0， 0, a1, 当 a=0 时， 01.所以，此时不等式无解. 当 a0 时， x1, 当 0； (2) 3 2-4 -1 0； (3) 2-2 +1 0； xxx(4) 2-2 +10； (5) 2-2 +30； (6) 2-2 +3 0.解析：（1） （2）代表判别式大于 0 的一元二次不等式的题目.只不过（1）对应的一元
2、二次方程容易因式分解求两根， （2）就不容易用十字相乘法因式分解，此时需要用一元二次方程的求根公式或者配成完全平方的形式来求两根.（3） （4）代表判别式等于 0 的一元二次不等式的题目.（5） （6）代表判别式小于0 的一元二次不等式的题目.（1）因为对此不等式对应的一元二次方程 2-3 -5=0 因式分解得x(2 -5)( +1)=0. 所以该方程的两根为： 1= ,或 2=-1.x x又因为此不等式对应的一元二次函数 =2 2-3 -5 的抛物线开口向上， y所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，可以直接写出不等式 2 2-3 -50 的范围： ，或 0,一元二次方程 3 2-4
3、-1=0 有两个不同的实数根为 1= , 或 2= .x x7x37此不等式中 的取值范围是 ；37x37（3） 2-2 +1=0 的判别式=0. x 2-2 +1=0 有两个相等的实数根， 1= 2=1.所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，不等式 2-2 +1 0 中 的取值范围是 1 1,即 =1；xx（4）与（3）类似分析，可知不等式 2-2 +10 中 的取值范围是 1，或 0，xx21）（ x不等式 2-2 +30 中 的取值范围是 R；x（6）与（5）类似分析，可知不等式 2-2 +3 0 中 的取值范围是空集.【例 2-2】解下列关于 的不等式：x2 2232(1)()0
4、()10.xaaxax不解析：这是与一元(一)二次不等式有关的含有参数的不等式题型，常考的有两种形式：易因式分解求根的形式和不易（能）因式分解求根的形式. 解这类题的关键是：把参数 以正确的情况来分类讨论，然后再用解一元一（二）次不等式的基本方法来做. ；， 或时 ，当 ， 或时 ，当 时 ，当 ）（易 知 原 不 等 式 因 式 分 解 ， 所 以 ，方 法 一 ： 因 为 本 题 容 易 axa1. .0)1()1(3一 ；以 下 讨 论 的 情 况 同 方 法三 种 情 况 讨 论 了所 以 ， 我 们 就 可 以 分 这 ；把 数 轴 分 为 三 部 分 ：此 时，只 能 取 一 个
5、值这 样 ）（即 ，令 判 别 式系 数 为 常 数 ， 我 们 只 要方 法 二 ： 因 为 二 次 项 的 . .111.041 02 aaaaa ；原 不 等 式 的 解 为 ：时 ，时 ， 即当 原 不 等 式 的 解 为 ：时 ， 或时 ， 即当 ， 或时 ， 原 不 等 式 的 解 为 ：， 或时 ， 即当原 不 等 式 系 来 讨 论 即 可只 要 根 据 两 根 的 大 小 关 ， 所 以 ，解 求 出 对 应 方 程 的 两 根类 似 ， 两 者 都 易 因 式 分与 axaax 22210 .10.0)(.)1(2（3）式对应的方程不易因式分解求出根，判别式的符号不能确定，
6、并且 2的系数含有参数. 这说明对x应方程根的情况不能确定，该不等式也不一定为一元二次不等式. 综合上述分析，我们应以 2的x系数为 0 以及判别式为 0 时，得出的参数 值作为讨论的依据. 求出的参数 把数轴分为几部分，aa相应的就分几种情况来讨论. .4400 .400. 22 aaa ax ； 值 把 数 轴 分 为 五 部 分 ：值 一 共 有 两 个 ， 这 两 个所 以 ， 求 出 的 ， 或， 即再 令 判 别 式， 即的 系 数 为令由上面的分析，我们就容易知道讨论的依据了. .24240 .,24 .00 21)12(0144 . 12212 axaxaaxa xxx ， 或
7、时 ， 原 不 等 式 的 解 为 ：所 以 ， 当 且 此 时或两 根 为 ：对 应 的 一 元 二 次 方 程 的 别 式数 的 图 像 开 口 向 下 ， 判时 ， 对 应 的 一 元 二 次 函当 时 ， 原 不 等 式当 集 为 空 集所 以 ， 此 时 不 等 式 的 解时 ， 原 不 等 式当.24244 .04. .,1axaa xa 时 ， 原 不 等 式 的 解 为 ：所 以 ， 当 只 不 过的 两 根方 程 的 根 仍 为 上 面 所 求此 时 ， 对 应 的 一 元 二 次 别 式数 的 图 像 开 口 向 上 ， 判时 ， 对 应 的 一 元 二 次 函当 为 空
8、集所 以 ， 原 不 等 式 的 解 集 无 根即 对 应 的 一 元 二 次 方 程别 式数 的 图 像 开 口 向 上 ， 判时 ， 对 应 的 一 元 二 次 函当总结：对于这种类型中易因式分解求出两根的题型，我们先因式分解求出两根，然后再以两根的大小来进行分类讨论；当不易因式分解求出两根时，我们应以 2的系数为 0 以及判别式为 0 时，得出的参数值作为讨论的依据.求出的参数 把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论，在每一种情况里就变aa成了解基本的不等式的题型.注意：每一种情况的内部既不能取交集，所有情况的结果也不能取并集，最终结果只能分类回答！要与前面所讲述的题型中“一种情况内
9、部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集”的原则进行区别和联系.3、简单的一元高次不等式的解法：数轴穿根法：基本步骤： 将不等式右边化为，左边分解成若干个一次因式或二次不可分因式的积. 把每个因式的最高次项系数化为正数.4 将每个一次因式的根从小到大依次标在数轴上. 从右上方依次通过每个点画出曲线，遇到奇次因式的根对应的点，曲线穿过数轴；遇到偶次因式的根对应的点，曲线不穿过数轴，仍在数轴同侧迂回. 即规律“奇穿偶不穿”. 根据曲线就可以知道函数值符号变化规律.【例 3-1】解下列关于 的不等式：x2 21)(3)0()1(3)410(314.xx不不解析：这种类型的不等
10、式如果用上述的方法 1，分类讨论可以做出来，但是比较复杂，而且易出现错误.所以，常用数轴表根法(又称零点分段法) 来做这类题.所谓数轴标根法，就是用一条曲线代替列表讨论，这条曲线虽不能准确表达出函数的图象，但能体现出函数值的符号变化规律即：曲线与 轴的交点将 轴分成若干区域，曲线在 轴上方所对应区间内的 值，xxxx使函数值大于 0 ；曲线在 轴下方所对应区间内的 值，使函数值小于 0 ；曲线与 轴的交点所对应的值，使 函数值等于 0.按照上述的方法，易解出以上各题.x参考答案： ；或）（；或）（ 413,2132,1 xxx.)4()3( 且；且4. 分式不等式的解法：一般不能去分母，但分母
11、恒为正或恒为负时可去分母。基本步骤：（1）标准化：移项、通分使右边为 0，即 )(xgf0(或 )(f0.x从而再利用一元二次不等式的解法得到原不等式中的 的范围为 111； （3）|2 -1|0；x（4）|2 -1 | 0； （5） |2 -1 |c(或c）以及| +b|( 或=)e 形式的绝对值（不）等式题ba ba型的解法总结（其中 ，b，c，d，e 为常数，且 0,c 0）【根据绝对值的几何意义， 或数形结合思想方法】【例 5-4】 解下列关于 的（不）等式：x75(1)|1|2|1|23|1|3|4|2|.2xxxx不解析：这是含有两个绝对值符号的（不）等式，并且（不）等号后面为常数
12、的题型.这种题型的基本解法有两种：讨论去绝对值和利用绝对值的几何意义来解.方法二，利;1| .1|,1.2)(1 .1|.2., x xxxx xR：以 上 三 种 情 况 取 并 集 得 两 者 取 交 集 得 ：）（时 ， 原 式当 两 者 取 交 集 得 ：）（时 ， 原 式当 集 为 空 集两 者 取 交 集 得 原 式 的 解）（时 ， 原 式当 对 值 ：方 法 一 ， 分 类 讨 论 去 绝）（用绝对值的几何意义： .的 距 离离表 示 数 轴 上 一 点 mm|如： .的 距 离离表 示 数 轴 上 一 点的 距 离 ；离表 示 数 轴 上 一 点 2|2|1|1| xxxx.
13、1 .1., .1,00xx所 以 ， 原 方 程 的 解 为 ： 时 ， 才 能 满 足 原 式， 我 们 知 道 只 有 当根 据 绝 对 值 的 几 何 意 义 部 分 ：这 两 个 值 把 数 轴 分 为 三 得 两 个 值， 即为令 绝 对 值 符 号 内 的 式 子对于（2） （3） （4）这三题，以上两种方法都可以用，读者可以自己试着做一做.参考答案： .2)4(;1,3)(;12xxx或）（总结：在解这种题型时，分类讨论去绝对值的原则是：令绝对值内的式子为 0 时，所得到的 值把数x轴分为几部分，与此相对应我们就分几种情况来讨论. 要注意：一种情况内部取交集，把所有情况的结果取
14、并集，最后得到的才是（不）等式的解集.利用绝对值的几何意义来解这类题时，一定要牢记： .的 距 离离表 示 数 轴 上 一 点 mxmx|比较这两种方法，我们可知：利用绝对值的几何意义来解这类题,相对要好一点.题型五：形如| | |c +d| ( 或=) 类型的绝对值baxxfexbaxfex不等式题型解法总结（其中 ，b，c，d，e， 为常数，且 ，c，e 0）.f 【例 5-5】解下列关于 的不等式：x.4|2|35|49|72|)(65|23|14|)( xxxxx ）（；解析：这类题与上一类题的共同点在于：都含有两个绝对值符号. 不同之处在于：这类题的（不）等号后是关于 的式子，而不是
15、常数了. 所以，解这种类型的题目，仍然可以用分类讨论去绝对值的方法. 但是，此时不易用绝对值的几何意义来解这类题了. 集 为 空 集 ；取 并 集 得 此 不 等 式 的 解由 上 述 三 种 情 况 的 结 果 取 交 集 得 空 集（时 ， 原 不 等 式当 取 交 集 得 空 集）（时 ， 原 不 等 式当 取 交 集 得 空 集）（时 ， 原 不 等 式） 当（ .,27.65)23()1441 .,3.32 .,125.65)23(14 xxxx xxxx对于（2） （3）两题，利用同样的方法易做出.8参考答案： .2147)3(81)2( xxx， 或；总结：这种类型的绝对值不等式
16、的主要解法是分类讨论去绝对值的方法. 这种方法也是解所有与绝对值有关的题目的基本方法. 同样，要注意：一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集.题型六、形如| 方法：两边平方|()|fxg【例 5-6】若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围为_。|32|xaRa6、含指数不等式：方法 利用函数的单调性（ ） 利用函数的图像01log,l1aa【例 6】 解下列关于 的不等式：x（1）2 4； (2) ； (3) 5 =1； (4) ； (5) 5 7.x x283212x1642x12x解析：这是与指数函数有关的（不）等式的题型.解决这类题的基本思路是：把常
17、数化成同底的指数形式. ；原 不 等 式 22)1( xx（ 2） 解析 这是一个指数不等式，基本解法是化为同底的指数形式，然后利用指数函数的单调性转化为整式不等式. 原不等式即 ，也就是 x2-2x-80，解得-2x4.故原不等式的解集为x| -xx2)8(322x4.(3) 原不等式 ；21015012 xx由 的 次 方 形 式 ）常 数 化 成用 这 个 公 式 可 以 把 任 意 aNabNab (loglog2 2(4)4.,12.xxx不5log71 55log751log7由 的 次 方 形 式 ）常 数 化 成用 这 个 公 式 可 以 把 任 意 aNabNab (ll总结
18、：解与指数函数有关的(不) 等式的基本原则是：1. 把不等式两边化成同底的指数形式. 常用对数的定义：.的 次 方 形 式 ）常 数 化 成用 这 个 公 式 可 以 把 任 意 aabaNb (loglog2. 然后根据底的范围，利用单调性（为等式时，省略这一步）化原不等式为基本的一元一次不等式或一元二次不等式来解.97、含对数不等式： 1log,0l1aa方法：1、化为同底 ，再利用函数的单调性；2、利用函数图象【例 7】解下列关于 的不等式：x. 1)(log4)1(log)3(log)2(1log 2122 xxx ）（；）（5） .122解析：与对数有关的（不）等式的解法和上一题型类
19、似. 都是要把常数化为同底的形式，然后再利用单调性列出基本的不等式来解. 只不过，解与对数有关的不等式时，需要注意真数一定要考虑到大于 0.210,20.)21(log)(log)4( 61,16.ll3 8.2)2(logl121432 xxxxxx ， 或原 不 等 式 ；原 不 等 式 ；原 不 等 式 ；原 式（5）解析 这是一个对数不等式，基本解法是化为同底的对数形式，然后利用对数函数的单调性转化为整式不等式.原不等式变形为 .所以，原不等式)(l)(l2121.320,3,0,20,2 xxxxx故原不等式的解集为 . |总结：解这种类型的不等式，首先要利用公式：N=log 把常数
20、化成同底的对数形式，然后根据单Na调性变原不等式为基本的不等式来解. 最后，别忘记对数的真数一定要大于 0.8、三角不等式：利用函数的图像或是三角函数线【例 8】解下列关于 的不等式：x.1)4tan()12sin3co21)6cos()23)sin(1 xxxx ；）（；）（解析：本题型是与各种三角函数有关的（不）等式的题型，解这种题型时一定要记住各种三角函数对应的图象和特殊角的三角函数值. 如果不是一个三角函数式的形式，要先化成一个三角函数式的形式然后再做. ；时 ， 易 知 ：推 广 到自 变 量 取 值 范 围 为的 足象 ， 在 这 个 周 期 上 ， 满的 这 个 周 期 作 为
21、研 究 对图 像 上 范 围 为选 择）（ )(232 ).(32.32, 23,0sin1 ZkxkRxx yy ；易 知 ： 时 ，推 广 到取 值 范 围 是 ：自 变 量 的足象 ， 在 这 个 周 期 上 ， 满的 这 个 周 期 作 为 研 究 对图 像 上 范 围 为选 择 )(124).(23623).,( 21cos)2( ZkxkZkxk Rxx yy (3) 原式等价于 .3121sin1 2注 ：）（ x10132cossin2,cos,sin.332()1, ,().,()xxkZxkkZ 不 不).(43).(43 .)(2.4,(1)2,tan)4( ZkxkZk
22、xkxxy 或 写 成 ：义 域 内 ， 易 知 ：推 广 到 该 函 数 的 整 个 定取 值 范 围 是 ：的 自 变 量满 足 象 ， 在 这 个 周 期 上 ，的 这 个 周 期 作 为 研 究 对图 像 上 范 围 为选 择总结：（1）解这种题型时一定要牢记各种三角函数的图象, 特殊角的三角函数值, k .Z（2）如果不是一个三角函数式的形式，要先化成一个三角函数式的形式然后再做.化成一个三角函数式常用辅助角公式：.为 非 零 常 数 ）、或 baxbaxbaxba ()cos()sin(cossin 22 （3） 选择哪一个周期不影响答案的正确性，但实际做题时主要选择原点附近的一个
23、周期，并且使满足条件的答案形式尽量简单（例如: 能用一个不等式组表示解集时，就不要用更多的不等式组来表示）.9、含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键 ”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是” 。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 【例 9-1】 0)2(ax解：当 时，原不等式化为 ，得 ；02x当 时，原不等式化为 ，得 ；0)(axx当 时，原不等式化为 ，得 ；1aa2或当 时，原不等式化为 ，得 ；)2(x2x当 时，原不等式化为 ，得0a2x或综合上面各式，得原不等式的解集为： 【例 9-2】关于 的不等式 的解集为 ，求 的解集。xbax,10ba解：由题意得： ，且0则不等式 与不等式组 同解2x02)(x得所求解集为 1|或【例 9-3】记关于 的不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 xaP1x Q（I）若 ，求 ；（II ）若 ，求正数 的取值范围3aPQa() 当 =3 时，由 易求出 P= .01x31|x
