1、1一元一次方程知识点及基础训练全章知识网络图：知识详解：一、等式的概念和性质黑 1、等式的概念：用等号“”来表示相等关系的式子，叫做等式。2、等式的性质楷体等式的性质 1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。若 ，则 ；abmb等式的性质 2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是 0）或同一个整式，所得结果仍是等式若 ，则 ， a(0)注意：（1）在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边。（2）等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同。（3）在等式变形中，以下两个性质也经常用到：等式
2、具有对称性，即：如果 ，ab那么 ；等式具有传递性，即：如果 ， ，那么 ；baabcc判断题 2） 是等式；1Sh（3）等式两边都除以同一个数，等式仍然成立；（4）若 ，则 ；xy4my下列说法不正确的是（ ）A等式两边都加上一个数或一个等式，所得结果仍是等式；B等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式；C等式两边都除以一个数，所得结果仍是等式；D一个等式的左、右两边与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式；2回答下列问题，并说明理由（1）由 能不能得到 ？23abab（2）由 能不能得到 ？5656（3）由 能不能得到 ？7xy7yx（4）由 能不能得到 ？01下列结论中正确的是（
3、 ）A在等式 的两边都除以 3，可得等式 ；365ab25abB如果 ，那么 ；2x2C在等式 的两边都除以 ，可得等式 ；0.10.10.xD在等式 的两边都减去 ，可得等式 ；7x6346x根据等式的性质填空（1） ，则 ； （2） ，则 4abab59xx；（3） ，则 ； （4） ，则 683xyx1y用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的（1）如果 ，那么 ；2（2）如果 ，那么 ；6xy6x（3）如果 ，那么 ；42y（4）如果 ，那么 2二、方程的相关概念黑体小 1、方程：含有未知数的等式叫作方程。注意：定义中含有两层含义，即：方程必定是
4、等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必定有一个待确定的数即未知的字母，二者缺一不可。楷体五号2、方程的次和元：方程中未知数的最高次数称为方程的次，方程中不同未知数的个数称为元。楷体五号3、方程的已知数和未知数楷体五号已知数：一般是具体的数值，如 中（ 的系数是 1，是已知数但可以不50xx说） 。5 和 0 是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有 、 、 、abc、 等表示。mn未知数：是指要求的数，未知数通常用 、 、 等字母表示。如：关于 、 的yzxy方程 中， 、 、 是已知数， 、 是未知数。2axbyca2bcx楷体 4、方程的解楷体五号使方程左、右两边相等的未
5、知数的值，叫做方程的解。楷体五号5、解方程：求得方程的解的过程。注意：解方程与方程的解是两个不同的概念，后者是求得的结果，前者是求出这个结果的过程。楷体五号6、方程解的检验:要验证某个数是不是一个方程的解，只需将这个数分别代入方程的3左边和右边，如果左、右两边数值相等，那么这个数就是方程的解，否则就不是。下列各式中，哪些是等式？哪些是代数式，哪些是方程？ ； ； ； ； 34a28xy5321xy ；61x ； ； ； 8x302aa判断题（1）所有的方程一定是等式。 （ ）（2）所有的等式一定是方程。 （ ）（3） 是方程。 （ ）241x（4） 不是方程。 （ ）5（5） 不是等式，因为
6、与 不是相等关系。 （ ）787x8（6） 是等式，也是方程。 （ ）（7） “某数的 3 倍与 6 的差”的含义是 ，它是一个代数式，而不是方程。 （ 36）判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由。（1） ； （2） ； （3） ；37xxy251x（4） ； （5） ； （6） 24xy下列说法不正确的是（ ）A解方程指的是求方程解的过程；B解方程指的是方程变形的过程；C解方程指的是求方程中未知数的值，使方程两边相等的过程；D解方程指的是使方程中未知数变成已知数的过程；检验括号里的数是不是方程的解： （ ， ）321yy32在 、 、 中， _ 是方程 的解
7、1y23y104三、一元一次方程的定义黑体小四1、一元一次方程的概念楷只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，系数不等于 0 的方程叫做一元一次方程。这里的“元”是指未知数， “次”是指含未知数的项的最高次数。楷体五号2、一元一次方程的形式楷标准形式： （其中 ， ， 是已知数）的形式叫一元一次方程的标准形0axb0ab式最简形式：方程 （ ， ， 为已知数）叫一元一次方程的最简形式注意：（1）任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证，如方程 是2216xx4一元一次方程。如果不变形，直接判断就出会现错误。
8、（2）方程 与方程 是不同的，方程 的解需要分类讨论完成。axb(0)axbaxb下列各式中： ； ； ； ； ；325344x12213x； ； 。哪些是一元一次方程？4xx(2)3下列方程是一元一次方程的是（ ） （多选）A B C1xy25x0xD E F3a326.8R已知方程 是关于 的一元一次方程，求 ， 满足的条件。2(6)70nmxxmn若 是关于 的一元一次方程，求 。2(1)()(3)0kxkxk已知 是关于 的一元一次方程，求 的值。2(1)()30kxxk若 是关于 的一元一次方程，求 。2a a若关于 的方程 是一元一次方程，则方程的解 = 。x2()450kxkx求
9、关于 的一元一次方程 的解1()()80x已知方程 是一元一次方程，则 ； 1(2)40axax四、一元一次方程的解法黑体小四1、解一元一次方程的一般步骤楷体五（1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数注意：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号（2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号注意：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号（3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边注意：移项要变号；不要丢项（4）合并同类项：把方程化成 的形式 注意：字母和其指数不变axb（5）系数化为 1：在方程的两边都除以未知数的系数 （ ） ，
10、得到方程的解a0bxa5注意：不要把分子、分母搞颠倒楷体 2、解一元一次方程常用的方法技巧楷体五解一元一次方程常用的方法技巧有：整体思想、换元法、裂项、拆添项以及运用分式的恒等变形等。（1）基本类型的一元一次方程的解法楷体五号解方程： 6()5(2)(3)xx解方程： 3()()解方程： 2(4)56(32)(1)xx解方程： 1y解方程： 23x解方程： 164解方程： 253x解方程：1x强化训练解方程： 解方程：10.5.210.33xx0.120.135xx解方程： 解方程：0.4.910.53.0252xxx0.120.1.35xx解方程： 41.730%5x（3）含有多层括号的一元
11、一次方程的解法楷体五号6解方程： 解方程：13124y12(4)6819753x解方程： 解方程：()3624x11072()3xx解方程： 112()()3xx（4）一元一次方程的技巧解法楷体五号解方程： 解方程：123(23)()91xx11()()2()()3xx解方程： 解方程：13372525xx 2091232091xx解方程： . 2061352035207xxx解方程： 2081641579解方程： 解方程：325185xxx201309727xx解方程： ， （ ）3xabcxacb10bc解方程：（ ）4xabcxdxacdxabddbc10abcd7已知 ，求关于 的方程
12、 的解1abcx 20411xxxabca若 ，解关于 的方程：1abcx2211xxcabcba五实际问题与一元一次方程（这部分，建议基础不好的学生仅适当尝试做做）（1） 、售价指商品卖出去时的的实际售价。（2） 、进价指的是商家从批发部或厂家批发来的价格。进价指商品的买入价，也称成本价。（3） 、标价指的是商家所标出的每件物品的原价。它与售价不同，它指的是原价。（4） 、打折指的是原价乘以十分之几或百分之几，则称将标价打了几折。（5） 、盈亏问题：利润=售价成本； 售价=进价+利润；售价=进价+进价利润率；（6） 、产油量=油菜籽亩产量含油率种植面积。（7） 、应用：行程问题：路程=时间速
13、度； 工程问题：工作总量=工作效率时间；储蓄利润问题：利息=本金利率时间； 本息和=本金+利息。一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1）审审题：（2）设设出未知数：根据提问，巧设未知数（3）列列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程（4）解解方程：解所列的方程，求出未知数的值（5）答检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案 （注意带上单位）二、一般行程问题（相遇与追击问题）行程问题基本类型（1）相遇问题： 快行距慢行距原距（2）追及问题： 快行距慢行距原距1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用 3.6 小
14、时，已知步行速度为每小时 8 千米，公交车的速度为每小时 40 千米，设甲、乙两地相距 x 千米，则列方程为 。解：等量关系 步行时间乘公交车的时间3.6 小时 列出方程是： 6.3408x2、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行 15 千米，可比预定时间早到 15 分钟；若每小8时行 9 千米，可比预定时间晚到 15 分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？解：等量关系 速度 15 千米行的总路程速度 9 千米行的总路程 速度 15 千米行的时间15 分钟速度 9 千米行的时间15 分钟提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。方法一：设预定时间为 x 小/时，则列出方
15、程是：15（ x0.25）9（ x0.25）方法二：设从家里到学校有 x 千米，则列出方程是： 6015153、一列客车车长 200 米，一列货车车长 280 米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过 16 秒，已知客车与货车的速度之比是 3：2，问两车每秒各行驶多少米？提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。等量关系：快车行的路程慢车行的路程两列火车的车长之和设客车的速度为 3x 米/秒，货车的速度为 2x 米/秒，则 163 x162 x2002804、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时3.6km，骑自行
16、车的人的速度是每小时 10.8km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是 22 秒，通过骑自行车的人的时间是 26 秒。 行人的速度为每秒多少米？ 这列火车的车长是多少米？提醒：将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。等量关系： 两种情形下火车的速度相等 两种情形下火车的车长相等在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。解： 行人的速度是：3.6km/时3600 米3600 秒1 米/秒骑自行车的人的速度是：10.8km/时10800 米3600 秒3 米/秒 方法一：设火车的速度是 x 米/秒，则 26( x3)22( x1) 解得 x4
17、方法二：设火车的车长是 x 米，则 266、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度是 60 千米/时，步行的速度是 5 千米/时，步行者比汽车提前 1 小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。出发地到目的地的距离是 60 千米。问：步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）提醒：此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈即 步行者行的总路程汽车行的总路程602解：设步行者在出发后经过 x 小时与回头接他们的汽车相遇，则 5x60(x1)6027、某人计划骑车以每小时 12 千米的速度由 A 地到 B 地，
18、这样便可在规定的时间到达 B 地，但他因事将原计划的时间推迟了 20 分，便只好以每小时 15 千米的速度前进，结果比规定时间早 4 分钟到达 B 地，求 A、B 两地间的距离。解：方法一：设由 A 地到 B 地规定的时间是 x 小时，则12x x2 12 x12224(千米) 604215方法二：设由 A、B 两地的距离是 x 千米，则 （设路程，列时间等式）9x24 答：A、B 两地的距离是 24 千米。604215x温馨提醒：当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。8、一列火车匀速行驶，经过一条长 300m 的隧道需要 20s 的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直
19、向下发光，灯光照在火车上的时间是 10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。解析：只要将车尾看作一个行人去分析即可，前者为此人通过 300 米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长。此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。解：方法一：设这列火车的长度是 x 米，根据题意，得x300 答：这列火车长 300 米。1023方法二：设这列火车的速度是 x 米/秒，根据题意，得 20x30010 x x30 10 x300 答：这列火车长 300 米。9、甲、乙两地相距 x 千米，一列火车原来从甲地到乙地要用 15 小时，开通高
20、速铁路后，车速平均每小时比原来加快了 60 千米，因此从甲地到乙地只需要 10 小时即可到达，列方程得 。答案： 6015x10、两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为 100 米，慢车车长 150 米，已知当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口所用的时间为 5 秒。 两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少？ 如果两车同向而行，慢车速度为 8 米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒？解析： 快车驶过慢车某个窗口时：研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的相遇问题，此时行驶的路程和为快车车长
21、！ 慢车驶过快车某个窗口时：研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的相遇问题，此时行驶的路程和为慢车车长！ 快车从后面追赶慢车时：研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的追击问题，此时行驶的路程和为两车车长之和！解： 两车的速度之和100520（米/秒） 慢车经过快车某一窗口所用的时间150207.5（秒） 设至少是 x 秒， （快车车速为 208）则 （208）x8x100150 x62.5答：至少 62.5 秒快车从后面追赶上并全部超过慢车。11、甲、乙两人同时从 A 地前往相距 25.5 千米的 B 地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的 2 倍还快 2 千米/时，甲先到达 B 地后，立
22、即由 B 地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了 3 小时。求两人的速度。解：设乙的速度是 x 千米/时，则 103x3 (2 x2)25.52 x5 2 x212答：甲、乙的速度分别是 12 千米/时、5 千米/时。二、环行跑道与时钟问题：1、在 6 点和 7 点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？老师解析：6：00 时分针指向 12，时针指向 6，此时二针相差 180，在 6：007：00 之间，经过 x 分钟当二针重合时，时针走了 0.5x分针走了 6x以下按追击问题可列出方程，不难求解。解：设经过 x 分钟二针重合，则 6x1800.5 x 解得 1360822、甲、乙两人在 4
23、00 米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑 240 米，乙每分钟跑 200 米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？老师提醒：此题为环形跑道上，同时同地同向的追击与相遇问题。解： 设同时同地同向出发 x 分钟后二人相遇，则 240 x200 x400 x10 设背向跑， x 分钟后相遇，则 240 x200 x400 x 13、在 3 时和 4 时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针：重合； 成平角；成直角；解： 设分针指向 3 时 x 分时两针重合。 23580146答：在 3 时 分时两针重合。146 设分针指向 3 时 x 分时两针成平角。 01xx49x答：在 3 时
24、 分时两针成平角。49设分针指向 3 时 x 分时两针成直角。 6235xx1832x答：在 3 时 分时两针成直角。1824、某钟表每小时比标准时间慢 3 分钟。若在清晨 6 时 30 分与准确时间对准，则当天中午该钟表指示时间为 12 时 50 分时，准确时间是多少？解：方法一：设准确时间经过 x 分钟，则 x38060(603) 解得 x400 分6 时 40 分 6：306：4013：10方法二：设准确时间经过 x 时，则 51203三、行船与飞机飞行问题：航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度水流速度=（顺水速度-逆水速度）21、 一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是 3 千米/时，顺水航行需要 2 小时，逆水航
